唐海軍，呂傳漢

（1.四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 達(dá)州 635000；2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001）

一、引言

自2000 年起，經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）每三年組織一次成員國15歲中學(xué)生閱讀、數(shù)學(xué)與科學(xué)素養(yǎng)現(xiàn)狀的評(píng)估測(cè)試(PISA)，評(píng)估學(xué)生已經(jīng)完成或即將完成義務(wù)教育之后，是否掌握能夠參與社會(huì)所需的知識(shí)與技能。2018 年，OECD 發(fā)布的《OECD 學(xué)習(xí)框架2030》指出未來的學(xué)生將需要在未知的和不斷變化的環(huán)境中應(yīng)用他們的知識(shí)。面對(duì)這個(gè)不確定的、復(fù)雜的世界，今天的學(xué)生需要掌握什么樣的知識(shí)、技能、態(tài)度和價(jià)值觀才能塑造和繁榮他們未來要面對(duì)的世界？[1]如何在當(dāng)今的學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)行動(dòng)中，通過核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來體現(xiàn)出教育測(cè)評(píng)變革的理念，培育滿足21世紀(jì)技能需求的人才是很多研究者與學(xué)科教師一直在探索的問題。

隨著教育發(fā)展，傳統(tǒng)的“授課—作業(yè)—考試”的教育樣式與學(xué)生核心素養(yǎng)的培育要求不相適應(yīng)，教學(xué)方式也需要加以反思和探索。貴州師范大學(xué)呂傳漢教授針對(duì)基礎(chǔ)教育領(lǐng)域中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的應(yīng)試化現(xiàn)象，結(jié)合國際上中學(xué)生能力測(cè)評(píng)變革的背景，于2014 年1 月提出數(shù)學(xué)教學(xué)重在“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”（簡稱“三教”）的觀點(diǎn)，并在貴州、四川、重慶等省市的中小學(xué)教師培訓(xùn)與課堂教學(xué)中進(jìn)行實(shí)踐，取得了一定的效果。2015 年，又將“三教”推廣到語文、英語、物理、化學(xué)等其他學(xué)科的教學(xué)中，其目的：一方面是嘗試回應(yīng)國際數(shù)學(xué)教育形勢(shì)變化帶來的問題，即數(shù)學(xué)素養(yǎng)如何從國際的測(cè)評(píng)走向中國的中小學(xué)課堂；另一方面探索用“三教”+“情境與問題”的學(xué)科教學(xué)模式來促進(jìn)創(chuàng)新型人才的成長。部分教師在應(yīng)用“三教”觀點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué)的實(shí)踐中也產(chǎn)生了一些困惑，如為什么需要“三教”，“三教”與教師專業(yè)成長有何關(guān)系，如何評(píng)價(jià)“三教”，民族地區(qū)的農(nóng)村中小學(xué)課堂如何實(shí)施“三教”等帶有反思性的疑問。為回應(yīng)理念是否符合基礎(chǔ)教育“適切性”的問題，針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為什么需要“三教”的疑問，既需要從理論上明析“三教”各個(gè)要素的緣起（為什么），又需要結(jié)合案例來說明“三教”的現(xiàn)實(shí)存在性，為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地生根提供邏輯支撐。

二、“三教”的內(nèi)涵

所謂“三教”是基于創(chuàng)新型人才培養(yǎng)，在學(xué)科教學(xué)中教學(xué)生積極思考、自主體驗(yàn)、善于表達(dá)，以此促進(jìn)學(xué)生長見識(shí)、悟道理的一種教育理念?！叭獭奔仁且环N教育的理念，又是一種培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的途徑。已有相關(guān)研究表明思考、體驗(yàn)、表達(dá)等關(guān)鍵的教學(xué)行為、策略與學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有密切的關(guān)系。從數(shù)學(xué)學(xué)科角度來看，教思考，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，注重?cái)?shù)學(xué)抽象和直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。教體驗(yàn)，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，注重邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。教表達(dá)，讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，注重?cái)?shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。作為理念，“三教”指明了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)突出的方向；作為行動(dòng)的途徑，“三教”的課堂特征概括為：通過“情境激趣，恰當(dāng)應(yīng)用學(xué)習(xí)情境激活學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；問題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；積淀體驗(yàn)，解決問題的探究中獲取知識(shí)學(xué)習(xí)體驗(yàn)；深化思考，引導(dǎo)學(xué)生在交流表達(dá)中深化學(xué)習(xí)思考”等四個(gè)環(huán)節(jié)來實(shí)施教學(xué)，達(dá)成學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育的目的。

三、“三教”的緣起

（一）“教思考”及實(shí)踐

1.為什么需要“教思考”

思考，是思維的一種探索活動(dòng)，源于主體對(duì)意向信息的加工?！墩撜Z》中有“學(xué)而不思則罔”，凸顯學(xué)習(xí)中思考的重要性。

數(shù)學(xué)思考是人類的理性思維形式之一。美國數(shù)學(xué)史家、數(shù)學(xué)教育家M·克萊因曾說：“為力圖改善我們的物質(zhì)生活，我們被迫擴(kuò)展關(guān)于外部世界的知識(shí)。這樣我們必然將感官用到極限。不幸的是，對(duì)我們來說，感官不僅是有限的而且具有欺騙性。只相信感官甚至可導(dǎo)致災(zāi)難?！盵2]因?yàn)槿说母杏X器官和大腦的復(fù)雜性，導(dǎo)致感官容易出現(xiàn)錯(cuò)覺；而“至于直覺，實(shí)際上是經(jīng)驗(yàn)、感官印象和粗略猜想的結(jié)合，至多能說是濃縮的經(jīng)驗(yàn)，直覺只是根植于心理惰性的習(xí)慣力量”[3]。為避免錯(cuò)誤的感覺與直覺，人們?cè)诿鎸?duì)新事物、新問題、新現(xiàn)象時(shí)，需要持有一種批判性的精神，綜合歸納、類比推理、質(zhì)疑反思，從而獲得對(duì)事物與規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。所以，數(shù)學(xué)思考是人類十分重要的理性思維。恩格斯指出，數(shù)學(xué)是人類悟性的自由創(chuàng)造物。因此，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造本性賦予了數(shù)學(xué)教育重在培育學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，而創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)又貴在教思考。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思考是密切相關(guān)的。蘇霍姆林斯基認(rèn)為：“如果你想教你的‘頭腦遲鈍’的學(xué)生學(xué)會(huì)思考，那就請(qǐng)你把他們領(lǐng)到思維的源泉那兒去，那里會(huì)展示出現(xiàn)象的鏈條，一事物的結(jié)果成為另一事物的原因。在各種現(xiàn)象的鏈條中，要一個(gè)接一個(gè)地進(jìn)行發(fā)現(xiàn)，好比在兒童面前點(diǎn)燃起思考的火花，它們會(huì)刺激思維過程活躍起來”[4]。只要用數(shù)學(xué)思考來點(diǎn)燃這種火花，兒童就想知道更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，就想更深入地思考新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏認(rèn)為，“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益?！睌?shù)學(xué)的精神、思維、方法和思想的獲得，無疑都與數(shù)學(xué)的思考活動(dòng)是密切聯(lián)系的。

從課程標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)的目標(biāo)來看，對(duì)數(shù)學(xué)思考也提出了明確的要求。國內(nèi)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》將“數(shù)學(xué)思考”列為數(shù)學(xué)課程四大目標(biāo)之一。學(xué)生通過學(xué)習(xí)“會(huì)獨(dú)立思考問題，表達(dá)自己的想法”，同時(shí)要求教師“引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探究、合作交流”?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》的課程目標(biāo)也提出“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神”。數(shù)學(xué)的思考性是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)的抽象、建模、推理、計(jì)算、統(tǒng)計(jì)等都離不開思考[5]。在平時(shí)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去思考，數(shù)學(xué)教學(xué)，也重在教思考。

2.案例分析

課題：一元微積分

微積分在高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中的選修課程部分出現(xiàn)，分布在A類、B類和E類課程，其中B類是供有志于學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)、社會(huì)類和部分理工類學(xué)生選擇的課程，E 類課程中的大學(xué)先修課程也包含微積分內(nèi)容。對(duì)于有志于今后從事社會(huì)管理類（如大學(xué)的行政管理、思政管理、酒店管理等）的高中生（也包括職高生），如何學(xué)習(xí)這些選修課程，教師又該如何教學(xué)？由于微積分等具體知識(shí)很少顯而易見地直接用到今后人文社科類的專業(yè)課程學(xué)習(xí)上，教師更應(yīng)該引導(dǎo)選修這些課程的高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要敢于思考、學(xué)會(huì)思考，思考學(xué)習(xí)內(nèi)容涉及哪些數(shù)學(xué)思想、形成何種的數(shù)學(xué)思維、如何提升思辨的能力，從宏觀的視野來考慮數(shù)學(xué)中的基本思想對(duì)今后專業(yè)的發(fā)展有何啟示與幫助。

事實(shí)上，表面看來毫無聯(lián)系的事物，其實(shí)是有深刻的內(nèi)在聯(lián)系。比如一元微積分這部分內(nèi)容，對(duì)于選修B 類課程的學(xué)生，以后在處理很多涉及管理問題的時(shí)候也要借助微積分的思想。比如，國家的法律體系建設(shè)、醫(yī)療衛(wèi)生體制改革、精準(zhǔn)攻堅(jiān)扶貧、鄉(xiāng)村發(fā)展戰(zhàn)略等都是具體而復(fù)雜的工程。中央層面先對(duì)這些工程制定大的框架，進(jìn)行任務(wù)序列的分解，每個(gè)部委（地方）再制定一個(gè)指導(dǎo)性的解決方案，合起來就得到了整個(gè)工程的處理思路，最后針對(duì)基層因地制宜實(shí)施過程在出現(xiàn)的小問題進(jìn)行微調(diào)，逐漸去接近大家期望的完美結(jié)果。這正是數(shù)學(xué)定積分中“分割取近似，求和取極限”思想在工作中的體現(xiàn)。高中生學(xué)習(xí)經(jīng)歷這樣一個(gè)“整體與局部”、“近似與精確”辯證融合，科學(xué)認(rèn)識(shí)與數(shù)學(xué)方法相統(tǒng)一的過程，才有利于理解并將其應(yīng)用于人文社科領(lǐng)域，這才是學(xué)生去選修學(xué)習(xí)微積分的核心思想和意義所在。

（二）“教體驗(yàn)”及實(shí)踐

1.為什么需要“教體驗(yàn)”

體驗(yàn)一詞過去常常出現(xiàn)在實(shí)踐類、藝術(shù)課程的學(xué)習(xí)中。比如藝術(shù)家把長期對(duì)于生活的感受、觀察和思考，來形成藝術(shù)創(chuàng)作的基礎(chǔ)和前提，乃至觸發(fā)不可遏制的創(chuàng)作欲望。 依據(jù)“體驗(yàn)”的心理學(xué)與哲學(xué)的釋義，所謂“數(shù)學(xué)體驗(yàn)是主體對(duì)其數(shù)學(xué)活動(dòng)情境產(chǎn)生的心理感應(yīng)，從而形成數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知和情感”[6]。學(xué)習(xí)體驗(yàn)，可以理解為學(xué)生從經(jīng)歷的學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中獲得的感受、體會(huì)、領(lǐng)悟以及由此獲得的相關(guān)知識(shí)、技能、情感與觀念等內(nèi)容有機(jī)組合的個(gè)性內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)。為什么對(duì)于學(xué)生需要“教體驗(yàn)”？

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是一個(gè)體驗(yàn)的過程。學(xué)習(xí)本身就是有機(jī)體適應(yīng)環(huán)境的手段，有機(jī)體為了生存與適應(yīng)必須不斷地改變自己的行為。要做到學(xué)習(xí)的有效性，學(xué)習(xí)主體必須參與學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)在創(chuàng)造過程中的萌芽、成長。唯有經(jīng)歷了過程體驗(yàn)的學(xué)習(xí)者才能從根本上獲得持久而有意義的數(shù)學(xué)知識(shí)。大衛(wèi)·庫伯（David Kolb，1984）所開發(fā)的體驗(yàn)學(xué)習(xí)模型，將學(xué)習(xí)的過程分為具體體驗(yàn)、反思性觀察、抽象概念化和主動(dòng)嘗試等四個(gè)循環(huán)往復(fù)的環(huán)節(jié)[7]。他認(rèn)為所有這些階段都是學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷的。世界衛(wèi)生組織指出，基于體驗(yàn)學(xué)習(xí)模式的科學(xué)學(xué)習(xí)促進(jìn)了學(xué)生對(duì)科學(xué)知識(shí)的指導(dǎo)，提高了科學(xué)觀點(diǎn)產(chǎn)生的流暢性和靈活性。“學(xué)習(xí)者在學(xué)校里的學(xué)習(xí)可以看作是由社會(huì)知識(shí)向個(gè)人知識(shí)轉(zhuǎn)化的過程”[8]，要找到社會(huì)知識(shí)當(dāng)初所發(fā)生的情境或類似情境才可以理解其意義。這就是體驗(yàn)的必要之所在。

教學(xué)要為學(xué)生的體驗(yàn)學(xué)習(xí)服務(wù)。數(shù)學(xué)課堂的最高境界是真、善、美，基于審美要求的教學(xué)則追求著引導(dǎo)學(xué)習(xí)者在經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上對(duì)生命的體驗(yàn)?！耙?yàn)榻逃罡镜哪康木褪桥囵B(yǎng)人不斷地領(lǐng)悟世界的意義和人本身存在的意義。體驗(yàn)就是人對(duì)生命意義的把握，……體驗(yàn)是以認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，對(duì)認(rèn)識(shí)的一種升華和超越。”[9]孫俊三教授認(rèn)為，在經(jīng)典的教學(xué)理論中,大家將教學(xué)理解成一個(gè)特殊的認(rèn)識(shí)過程,過分關(guān)注教學(xué)過程的認(rèn)知特征（間接性、簡捷性和引導(dǎo)性）,而忽視了教學(xué)的體驗(yàn)特征（親歷性、過程性和自主性）。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)是人的一種活動(dòng)，如同游泳一樣，要在游泳中學(xué)會(huì)游泳，我們必須在做數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[10]。因此，教師的教學(xué)要為學(xué)生提供經(jīng)歷“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)的體驗(yàn)學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。

從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)來看，國內(nèi)外都重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)?；隗w驗(yàn)的課標(biāo)理念為聯(lián)系課堂活動(dòng)和現(xiàn)實(shí)世界提供了指導(dǎo)?！栋拇罄麃唽W(xué)校數(shù)學(xué)國家聲明書》（Australian Education Council,1990）中提出了學(xué)校數(shù)學(xué)教育的六個(gè)培養(yǎng)目標(biāo)之一便是“培養(yǎng)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的過程”。中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提出要讓“學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過程中，通過參與、經(jīng)歷、實(shí)踐、活動(dòng)、思考、探索、操作、交流等，逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想”。而近年國內(nèi)興起的STEM 教育理念或者STEAM 理念都強(qiáng)調(diào)了，教師要成為課程的組織者與合作者，通過創(chuàng)設(shè)問題情境提供具體的載體，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑、積極實(shí)踐，形成科學(xué)探究的良好品質(zhì)，在一系列學(xué)習(xí)體驗(yàn)中學(xué)會(huì)思考，勇于糾錯(cuò)，不斷反思改進(jìn)，最終形成獨(dú)創(chuàng)性的研究成果[11]。

2.案例分析

課題：對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（人教版）

從初中升入高一的學(xué)生，仍保留著初中生許多學(xué)習(xí)特點(diǎn)，能力發(fā)展正處于形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)折階段，且更注重形象思維。由于初中函數(shù)教學(xué)要求的降低，初中生運(yùn)算能力的下降，以及高中函數(shù)概念的抽象，學(xué)生對(duì)指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算感覺陌生，這增加了對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)的難度。針對(duì)這兩方面問題，教師必須認(rèn)識(shí)到，教學(xué)中要控制學(xué)習(xí)難度被人為拔高的情況，關(guān)注學(xué)習(xí)過程。

從教體驗(yàn)的角度，本節(jié)課的教學(xué)圍繞著“對(duì)數(shù)函數(shù)的由來——對(duì)數(shù)函數(shù)的定義——對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像——對(duì)數(shù)函數(shù)的特征（性質(zhì)）——對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用”展開，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“為什么學(xué)、對(duì)數(shù)函數(shù)是什么、怎么學(xué)、圖像是什么、有什么用、學(xué)得怎么樣？”等完整的認(rèn)知體驗(yàn)與情感交融的過程。具體而言：

（1）函數(shù)概念形成的體驗(yàn)，從情境（碳14 含量P 與生物死亡時(shí)間t）—提取數(shù)學(xué)信息—探究P 與t的關(guān)系，形成概念，達(dá)到初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)概念的目標(biāo)。

（2）函數(shù)性質(zhì)理解的體驗(yàn)，借助數(shù)形結(jié)合思想、類比指數(shù)函數(shù)研究的策略，學(xué)生經(jīng)歷了“作圖—觀察—比較—?dú)w納”的數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)的過程，達(dá)到初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的目標(biāo)。

（3）對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用的體驗(yàn)，學(xué)生在求解定義域、比較對(duì)數(shù)大小，匯報(bào)、爭辯、質(zhì)疑、補(bǔ)充對(duì)話的過程中完成求解，體會(huì)函數(shù)模型思想，達(dá)到應(yīng)用的目標(biāo)。

（三）“教表達(dá)”的有效實(shí)踐

1.為什么需要“教表達(dá)”

表達(dá)是指在個(gè)人方面將內(nèi)心之情感、情緒、意念或觀念的意義用語言、文字、符號(hào)、行動(dòng)或藝術(shù)作品表現(xiàn)出來。威爾金森（Louise Wilkinson，2018）認(rèn)為，數(shù)學(xué)表達(dá)既涉及學(xué)生使用語言的多種表達(dá)方式，如說話、傾聽、閱讀、書寫等，同時(shí)又包括使用到的一系列特定的數(shù)學(xué)詞匯，如直徑、斜邊、垂直等，同時(shí)它的語法也比較復(fù)雜[12]。表達(dá)看似人人都運(yùn)用自如的基本生存技能，為什么還需要對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)進(jìn)行專門的教學(xué)指導(dǎo)？

數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)交流的前提。弗賴登塔爾(1973)認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是要通過數(shù)學(xué)語言，用它特定的符號(hào)、詞匯、句法去交流，去認(rèn)識(shí)世界。教師的主要目標(biāo)是為學(xué)生創(chuàng)造有意義的學(xué)習(xí)情境，然后將其引入數(shù)學(xué)表達(dá)，這些問題情境為學(xué)生提供數(shù)學(xué)化經(jīng)驗(yàn)和建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的機(jī)會(huì)[13]。“學(xué)生的數(shù)學(xué)思考具有內(nèi)隱性，讓學(xué)生的思維看得見摸得著的一種重要方法就是數(shù)學(xué)表達(dá)——學(xué)生和老師可以積極討論他們是如何著手處理各種問題的以及為什么這樣做，可以幫助課堂上的每個(gè)學(xué)生理解某一特定的概念或方法”[14]。因此，數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中非常關(guān)鍵的一部分，通過交流能澄清困惑和分享數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。教學(xué)活動(dòng)本身就是一種師生間相互交往交融的過程，交往的前提是參與者要有一定的表達(dá)能力。

數(shù)學(xué)問題解決過程實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)的過程。溫特（Heinrich Winter，1995）談到數(shù)學(xué)教育應(yīng)該帶來三種基本的普遍經(jīng)驗(yàn)：了解自然、社會(huì)和文化中的本質(zhì)現(xiàn)象；理解以語言、符號(hào)、圖形和公式表示的數(shù)學(xué)對(duì)象和關(guān)系；提高參與問題解決的能力[15]。數(shù)學(xué)表達(dá)的經(jīng)驗(yàn)是提高問題解決能力的前提。從數(shù)學(xué)問題解決過程看，學(xué)生首先需要通過閱讀來理解有待于解決的問題；其次，需要使用數(shù)學(xué)表征以及操縱符號(hào)表達(dá)式（包括一些形式化操作）[16]，才能給出答案，并進(jìn)行解釋。在正式測(cè)驗(yàn)中，看似簡單的問題情境，在語言理解方面對(duì)部分學(xué)生來說是具有一定的難度，比如在“計(jì)算2+2=?，并給出你使用的方法”這樣的題目中，學(xué)生不僅需要給出答案，而且還要使用數(shù)學(xué)表達(dá)闡述其完整的思考路徑[17]。

從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)來看，教表達(dá)是課程標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)然要求。因?yàn)樵趩栴}解決過程中有交流、傾聽、爭執(zhí)、協(xié)調(diào)以及答案的確定，所以處處都需要語言表達(dá)。鄭毓信教授2004 年就提出將熟練掌握數(shù)學(xué)語言，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地表達(dá)、數(shù)學(xué)地理解（包括批判地傾聽）作為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)基本目標(biāo)[18]。美國《學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則與標(biāo)準(zhǔn)》（2000 年）要求K12的學(xué)生都能夠產(chǎn)生并使用合理的表達(dá)方法去組織、記錄和交流思想；選擇、使用和轉(zhuǎn)換各種數(shù)學(xué)表達(dá)方法解決問題；使用合理的表達(dá)方法去模擬和解釋物質(zhì)的、社會(huì)的和數(shù)學(xué)自身的現(xiàn)象。最近幾年的美國私立高中聯(lián)盟在學(xué)生綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)模式中，將口頭和書面表達(dá)等復(fù)雜溝通能力作為評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)的八個(gè)指標(biāo)之一[19]。中國澳門2017 年6 月頒布的《高中教育數(shù)學(xué)基本學(xué)力要求》將“培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和交流能力”作為五條核心課程目標(biāo)之一；中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》要求學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在數(shù)感方面能夠表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系，在符號(hào)意識(shí)方面能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，……理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。

2.案例分析

課題：用坐標(biāo)表示平移（人教版）

用坐標(biāo)表示平移, 是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了圖形的平移（從形的角度理解平移），以及平面直角坐標(biāo)系（研究的工具）之后，需要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容（即從數(shù)的角度刻畫平移）[20]。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并歸納圖形的平移與坐標(biāo)變化關(guān)系；難點(diǎn)在于讓學(xué)生結(jié)合圖形，將自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用文字語言來描述，再轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言，實(shí)現(xiàn)三種數(shù)學(xué)語言表征的靈活轉(zhuǎn)化。

教學(xué)設(shè)計(jì)片斷：如圖1，已知A（-2 ,-3），根據(jù)下列條件，在相應(yīng)的坐標(biāo)系中分別畫出平移后的點(diǎn)，寫出它們的坐標(biāo)，并觀察平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)變化。

圖1

（1）將點(diǎn)A 向右平移3 個(gè)單位長度，得到點(diǎn)B；將點(diǎn)A向右平移5個(gè)單位長度，得到點(diǎn)C；（2）將點(diǎn)A向上平移4 個(gè)單位長度,得到點(diǎn)B′；將點(diǎn)A 向上平移5 個(gè)單位長度, 得到點(diǎn)C′；（3）將點(diǎn)A 先向上平移3個(gè)單位，再向右平移5 個(gè)單位長度到點(diǎn)B"；（4）將點(diǎn)A 先向右平移5 個(gè)單位長度,再向上平移3 個(gè)單位長度到C"，你有什么發(fā)現(xiàn)？

分析：此環(huán)節(jié)主要是引導(dǎo)學(xué)生探究點(diǎn)的坐標(biāo)變化與點(diǎn)的平移規(guī)律。教學(xué)過程中注重讓學(xué)生明確，將哪個(gè)點(diǎn)沿著什么方向，平移幾個(gè)單位后，得到的是哪個(gè)點(diǎn)。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，充分考慮到給學(xué)生提供表達(dá)與交流的機(jī)會(huì)。比如，通過動(dòng)畫演示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題（1）中點(diǎn)的平移引起點(diǎn)的坐標(biāo)變化的情況；再放手讓學(xué)生自主探究問題（2）、（3）、（4）并總結(jié)規(guī)律。在學(xué)生探究交流完成后，教師安排部分學(xué)生上臺(tái)表達(dá)（包括學(xué)習(xí)單展示、黑板上畫點(diǎn)、口頭講述等形式），其他學(xué)生提出質(zhì)疑。通過生生、師生互相質(zhì)疑，促進(jìn)問題再思考，加深體驗(yàn)，深化知識(shí)理解，從而突破教學(xué)的難點(diǎn)，即“學(xué)生能夠用文字語言、圖形語言、坐標(biāo)表示三種方式來描述平移現(xiàn)象”。

四、結(jié)語

教育不是工業(yè)流水線下的“快餐”式的知識(shí)傳授，而是一種慢藝術(shù)，是一種期待，一種守望。這是“三教”理念在認(rèn)識(shí)論中的基點(diǎn)，生命觀的起點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)要重在“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”，既是回應(yīng)教育哲學(xué)對(duì)人成長的關(guān)切，又是回答核心素養(yǎng)如何走進(jìn)課堂的疑問。無論從理論思辨角度看，“三教”有存在的應(yīng)然性，還是從教學(xué)實(shí)踐看，“三教”有存在的實(shí)然性。

課堂教學(xué)重在提供給學(xué)生思考、體驗(yàn)、表達(dá)的機(jī)會(huì)，創(chuàng)設(shè)更多學(xué)生能夠提問的機(jī)會(huì)，給予學(xué)生充分的表達(dá)思考過程與學(xué)習(xí)體驗(yàn)的時(shí)間；指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思考、表達(dá)的策略，才能發(fā)展學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生的表達(dá)能力，培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。

課堂教學(xué)要基于學(xué)生的思考與體驗(yàn)。教師了解學(xué)生的現(xiàn)有思維水平與體驗(yàn)狀態(tài)越深刻，學(xué)生能學(xué)習(xí)到的知識(shí)才會(huì)越多！如果教師能潛心研究課堂，每一節(jié)課做一點(diǎn)改變與嘗試，如從關(guān)心學(xué)生、減少控制、澄清主題、適當(dāng)挑戰(zhàn)、教學(xué)激趣等方面入手，學(xué)生學(xué)習(xí)才有從表層理解走向深層和概念性理解的可能，并成長為復(fù)雜世界中情感積極、善于表達(dá)、深思熟慮的批判性參與者！▲