黃 云，林鴻志，杜長城

(1.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，成都 610500，2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

圖1 薄壁圓筒受扭示意圖

圖2 薄壁圓筒受內(nèi)壓示意圖

在求解薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)和受內(nèi)壓的強(qiáng)度時(shí)，如果直徑選擇不恰當(dāng)，其相對(duì)誤差將大于工程中所允許的5%。在有些材料力學(xué)教材中，其近似計(jì)算公式中直徑的選擇也沒有給出合理的解釋，因此,很有必要討論材料力學(xué)中薄壁圓筒受扭和受內(nèi)壓作用時(shí)其強(qiáng)度公式中取不同直徑的相對(duì)誤差，以便確定近似公式中應(yīng)選何種直徑。在材料力學(xué)中，薄壁圓筒的定義與薄壁圓筒的變形形式有關(guān)[1-3]，(1)薄壁圓筒受扭時(shí)：t/D1/20的圓筒才為薄壁圓筒，其中t為薄壁圓筒的壁厚；D為薄壁圓筒的平均直徑Dm，如圖1所示。(2)薄壁圓筒受內(nèi)壓時(shí)：D為薄壁圓筒的內(nèi)徑Di。在壓力容器中[4-5]，Do/Di1.2稱為薄容器，如圖2所示。

1 薄壁圓筒的強(qiáng)度計(jì)算及相對(duì)誤差分析

1.1 薄壁圓筒受扭時(shí)其強(qiáng)度計(jì)算和相對(duì)誤差分析

1.1.1 薄壁圓筒受扭時(shí)應(yīng)力分析

在材料力學(xué)中假設(shè)薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力均勻分布，其切應(yīng)力τ可近似表示為[6]：

1.1.2 薄壁圓筒受扭時(shí)應(yīng)力相對(duì)誤差分析

如取λ為壁厚與平均直徑之比(λ=t/Dm)，式(3)可表示為：

(式4)。

由式(4)可知，當(dāng)0<λ1/20時(shí)，δ1為增函數(shù)，可以得出，在薄壁圓筒受扭時(shí)，壁厚與平均直徑之比越小，采用(2)式計(jì)算其切應(yīng)力與最大切應(yīng)力的相對(duì)誤差越小。即滿足薄壁圓筒的條件下，相對(duì)于平均直徑，壁越薄，采用(2)式計(jì)算其應(yīng)力相對(duì)誤差越小。

現(xiàn)討論用式(2)來近似計(jì)算τmax，如式(2)中D取不同的直徑，其相對(duì)誤差的最大值(即D/t=20時(shí))如表1所示。

表1 薄壁圓筒受扭D取不同的直徑最大的切應(yīng)力的相對(duì)誤差

由表1可知，薄壁圓筒受扭時(shí)，采用式(2)來近似計(jì)算其最大切應(yīng)力，如式中D取平均直徑Dm，此時(shí)的相對(duì)誤差小于5%。如取內(nèi)徑Di，其相對(duì)誤差已大于5%，如取外徑Do時(shí)，其相對(duì)誤差高達(dá)14.025%，所以，式中的D取薄壁圓筒的平均直徑Dm才相對(duì)合理。

圖3 薄壁圓筒受內(nèi)壓示意圖

1.2 薄壁圓筒受內(nèi)壓時(shí)其強(qiáng)度計(jì)算和相對(duì)誤差分析

1.2.1 薄壁圓筒受內(nèi)壓時(shí)的應(yīng)力分析

(1)軸向應(yīng)力

如圖3(a)所示的薄壁壓力容器厚度為t，內(nèi)徑為Di，受內(nèi)壓p作用，現(xiàn)討論其軸向應(yīng)力、周向應(yīng)力和徑向應(yīng)力。

在材料力學(xué)中，由于壁厚遠(yuǎn)小于直徑，其橫截面面積近似取為A=πDt，則其軸向應(yīng)力為[7]：

(2)周向應(yīng)力和徑向應(yīng)力

1.2.2 薄壁圓筒受內(nèi)壓時(shí)應(yīng)力相對(duì)誤差分析

(1)薄壁圓筒周向應(yīng)力相對(duì)誤差分析

(2)薄壁圓筒軸向應(yīng)力相對(duì)誤差分析

(3)薄壁圓筒強(qiáng)度理論等效應(yīng)力相對(duì)誤差分析

在滿足薄壁圓筒的前提下，以碳鋼為例，取材料的泊松比υ=0.3，δ4b的最大相對(duì)誤差(即Di=20t時(shí))為6.336%。

在滿足薄壁圓筒的前提下，δ4c的最大相對(duì)誤差(即Di=20t時(shí))為4.545%。

在滿足薄壁圓筒的前提下，δ4d的最大相對(duì)誤差(即Di=20t時(shí))為4.414%。

現(xiàn)討論式(6)、(11)中直徑取不同的直徑所引起的最大相對(duì)誤差(即Di=20t時(shí))如表2所示(在計(jì)算δ4b時(shí)泊松比υ=0.3)。

表2 薄壁圓筒受內(nèi)壓材料力學(xué)中近似公式中直徑取不同的直徑引起的相對(duì)誤差

由表2可以看出：在計(jì)算軸向應(yīng)力時(shí)，取內(nèi)徑最為合理，如取平均直徑和外徑，其相對(duì)誤差遠(yuǎn)大于5%，是不合理的；在計(jì)算周向應(yīng)力時(shí)，材料力學(xué)中取平均直徑時(shí)相對(duì)誤差最小，也最為合理，如取內(nèi)徑和外徑是其相對(duì)誤差仍小于5%，仍可取；在計(jì)算等效應(yīng)力時(shí)，取平均直徑相對(duì)誤差最小，如取內(nèi)徑和外徑，除第二強(qiáng)度理論等效應(yīng)力取內(nèi)徑時(shí)的相對(duì)誤差大于5%以外，其它等效應(yīng)力的相對(duì)誤差均小于5%，仍可取。取平均直徑相對(duì)誤差最小的主要原因是薄壁圓筒受內(nèi)壓時(shí)內(nèi)表面上危險(xiǎn)點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力中σ1為周向應(yīng)力，而且周向應(yīng)的絕對(duì)值遠(yuǎn)大于其它兩個(gè)主應(yīng)力，因此周向應(yīng)力的相對(duì)誤差起主導(dǎo)作用，通過分析周向應(yīng)力在取平均直徑時(shí)相對(duì)誤差較小，僅為0.226%，因此，薄壁圓筒受內(nèi)壓在計(jì)算等效應(yīng)力時(shí)取平均直徑更為合理。

2 結(jié)語

通過前面的分析可知，在材料力學(xué)中薄壁圓筒受扭以及薄壁圓筒受內(nèi)壓進(jìn)行強(qiáng)度分析時(shí)必須正確的選取直徑，其相對(duì)誤差才能最小并滿足工程的要求，其具體結(jié)論為：

(1)薄壁圓筒受扭采用式(2)近似計(jì)算切應(yīng)力應(yīng)選薄壁圓筒的平均直徑Dm。

(2)薄壁圓筒受內(nèi)壓采用式(6)近似計(jì)算軸向應(yīng)力應(yīng)選薄壁圓筒的內(nèi)徑Di。

(3)薄壁圓筒受內(nèi)壓采用式(11)近似計(jì)算周向應(yīng)力應(yīng)選薄壁圓筒的平均直徑Dm。

(4)薄壁圓筒受內(nèi)壓計(jì)算四種強(qiáng)度理論的等效應(yīng)力時(shí)應(yīng)選薄壁圓筒的平均直徑Dm。