邢惠焱 陳宗強(qiáng) 陳 靖 劉松芬

(南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院， 天津 300071)

圖1 咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)[1]

咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)是一種有趣的力學(xué)玩具，它可以演示兩個(gè)沿著互相垂直方向的正弦振動(dòng)合成的利薩如圖軌跡。其主體木棒上有一系列的凹槽，在其末端有一螺旋槳，圖1中展示了咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)的模型。如果用另一根較小的滑動(dòng)桿劃過(guò)凹槽，則螺旋槳會(huì)開始旋轉(zhuǎn)。

人們很早就對(duì)于螺旋槳旋轉(zhuǎn)以及螺旋槳和木棒的耦合運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了相關(guān)的研究。Clifford和Bishop在1937年首先提出一個(gè)木棒末端的釘子在兩個(gè)正交方向力的作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)橢圓，釘子的運(yùn)動(dòng)可帶動(dòng)螺旋槳旋轉(zhuǎn)[2]。1993年?yáng)|南大學(xué)的葉善專等人也曾提出過(guò)類似理論[3]。1960年，Caughey研究了以呼啦圈為代表的一類參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)指出了支點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的單擺與呼啦圈系統(tǒng)的等效性，呼啦圈的運(yùn)動(dòng)與咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)的運(yùn)動(dòng)相似[4]。Seyranian和Belyakov 在2010年從牛頓力學(xué)的角度對(duì)呼啦圈的運(yùn)動(dòng)作了系統(tǒng)的研究[5]，發(fā)現(xiàn)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員的腰以橢圓為軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，呼啦圈可以穩(wěn)定地旋轉(zhuǎn)，同時(shí)這一橢圓的軌跡可以具有相位差。James Wilson曾在1997年指出對(duì)于咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)這一完整的系統(tǒng)其運(yùn)動(dòng)滿足參數(shù)共振(PSR)，即當(dāng)中心軌道的旋轉(zhuǎn)頻率為某一定值時(shí)，螺旋槳有一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值相等旋轉(zhuǎn)角速度[6]。上述研究的理論大都假設(shè)釘子與螺旋槳始終保持接觸。 Martin Marek 等人的最新研究則認(rèn)為，螺旋槳與釘子之間的接觸為瞬時(shí)碰撞，且釘子的橢圓運(yùn)動(dòng)并非為螺旋槳旋轉(zhuǎn)的必要條件，當(dāng)釘子的平均加速度為重力加速度g時(shí)，螺旋槳穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)的角速度最大[7]。咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)這一問(wèn)題在第30屆國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(30stIYPT)中被提出[1]，題目描述如下：咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)是一種力學(xué)玩具，它由一個(gè)簡(jiǎn)單的木棒(后稱為滑動(dòng)桿)和一個(gè)具有一系列凹槽的木棒組成，在木棒末端有一個(gè)螺旋槳，當(dāng)滑動(dòng)桿劃過(guò)凹槽時(shí)，螺旋槳開始旋轉(zhuǎn)，解釋這一現(xiàn)象并研究相關(guān)參數(shù)對(duì)它的影響。

Clifford和Bishop[2]指出帶凹槽木棒上釘子的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)利薩如圖[8]，同時(shí) Caughey的理論被用來(lái)描述螺旋槳的運(yùn)動(dòng)。如果帶凹槽木棒在整體彈性形變的基礎(chǔ)上在驅(qū)動(dòng)力的作用下做不完整諧振，螺旋槳的真實(shí)運(yùn)動(dòng)與呼啦圈的運(yùn)動(dòng)不完全相同，其旋轉(zhuǎn)的原因是碰撞時(shí)橫向摩擦力沖量對(duì)螺旋槳角動(dòng)量有貢獻(xiàn)。

1 咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)

操作咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)時(shí)，雙手各執(zhí)一根木棒，這會(huì)引入非常大的誤差。為了研究的準(zhǔn)確性，我們?cè)O(shè)計(jì)了如圖2的實(shí)驗(yàn)裝置，采用小型臺(tái)鉗將帶凹槽木棒的一端完全固定，采用手來(lái)控制滑動(dòng)桿的劃動(dòng)，并盡量控制壓力和劃動(dòng)速度的恒定。利用光電門測(cè)定木棒滑動(dòng)的速度，利用高速攝像機(jī)拍攝螺旋槳的運(yùn)動(dòng)情況。

圖2 咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)實(shí)驗(yàn)裝置

使用tracker軟件追蹤釘子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖3中可以得出釘子的位置點(diǎn)沿y軸的分布，其原因是隨著施力位置不斷遠(yuǎn)離固定點(diǎn)，彎矩變大造成釘子位移增大。同時(shí)還得出：(1) 將滑動(dòng)桿由小型臺(tái)鉗處劃至帶凹槽木棒末端(即螺旋槳處)時(shí)，釘子沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)；(2)當(dāng)滑動(dòng)桿從帶凹槽木棒末端劃至小型臺(tái)鉗時(shí)，釘子順時(shí)針運(yùn)動(dòng)；(3) 當(dāng)滑動(dòng)桿垂直于凹槽平面劃動(dòng)時(shí)，釘子的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條直線。

圖3 當(dāng)劃動(dòng)速度保持25m/s左右時(shí)，釘子的運(yùn)動(dòng)軌跡。(a) 滑動(dòng)桿由小型臺(tái)鉗處劃至木棒末端時(shí)，釘子沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)； (b) 滑動(dòng)桿從木棒末端劃至小型臺(tái)鉗時(shí)，釘子沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)； (c) 滑動(dòng)桿垂直于凹槽所在平面劃動(dòng)時(shí)，釘子的軌跡為一條直線

圖4 在右手系中的咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)模型，帶凹槽木棒沿z軸放置，滑動(dòng)桿對(duì)帶凹槽木棒施加的力沿y方向，木棒受力點(diǎn)距離點(diǎn)O的距離為a，大小為F，帶凹槽木棒的形變角度為θ

2 模型建立

通常情況下，螺旋槳旋轉(zhuǎn)有兩種方式，其一是將滑動(dòng)桿旋轉(zhuǎn)一定角度，沿同一個(gè)方向劃動(dòng)；其二是用手指和滑動(dòng)桿同時(shí)劃過(guò)凹槽，且手指和滑動(dòng)桿的施力方向相互垂直。下面以第一種劃動(dòng)方式為例進(jìn)行分析。如圖4所示，以釘子為原點(diǎn)建立右手系滑動(dòng)桿保持在xOz平面內(nèi)，并且其與x軸成一定角度。它使帶凹槽木棒受到兩種作用：沿y方向的正壓力和沿x,y兩個(gè)方向的同頻率振動(dòng)。下面分別對(duì)兩種作用進(jìn)行分析。

2.1 帶凹槽木棒的形變

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)：在木棒劃過(guò)凹槽時(shí)會(huì)對(duì)帶凹槽木棒施加壓力，使之形變。由胡克定律得木棒的應(yīng)變與應(yīng)力的大小成正比，并假定木棒質(zhì)量均勻，彈性模量處處相同且撓度較小，這符合微小形變的實(shí)際情況。

如圖4所示，令帶凹槽木棒長(zhǎng)度為l，沿y軸方向施加力F，通過(guò)牛頓第二定律和角動(dòng)量守恒定律，得到力平衡方程和力矩平衡方程為(略去高階小量)：

其中，ρ為木棒密度;A為截面積;Q為橫截面上的剪力;M為截面彎矩，m為單位長(zhǎng)度外力矩，代入4個(gè)邊界條件：

聯(lián)立式(1)～式(6)得帶凹槽木棒的形變?yōu)?/p>

(7)

其中，I=πd4/64;d為木棒直徑。從圖4可知，此形變?yōu)閥方向的形變，因此得到，帶凹槽木棒在y方向的形變遠(yuǎn)大于在x方向的形變。

2.2 釘子的運(yùn)動(dòng)軌跡

由文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[6]，凹槽末端釘子的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。通過(guò)高速攝像機(jī)觀察滑動(dòng)桿劃過(guò)凹槽的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)滑動(dòng)桿在劃過(guò)每一個(gè)凹槽時(shí)，會(huì)與帶凹槽木棒在兩個(gè)正交的方向上發(fā)生碰撞，這種周期性的碰撞會(huì)激勵(lì)釘子使其振動(dòng)。當(dāng)帶凹槽木棒受到一次碰撞達(dá)到最大形變之后會(huì)向平衡位置運(yùn)動(dòng)，由于有滑動(dòng)桿的約束，在平衡位置附近會(huì)發(fā)生下一次碰撞?？梢哉J(rèn)為在每一個(gè)“小周期”，即劃過(guò)單個(gè)凹槽的時(shí)間間隔內(nèi)，釘子的振動(dòng)近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。圖5為帶凹槽木棒在一個(gè)方向上的振動(dòng)示意圖。

釘子的運(yùn)動(dòng)軌跡為

此即為帶凹槽木棒末端的運(yùn)動(dòng)軌跡。設(shè)力F及單位外力矩m為零，將其代入式(1)和式(2)，代入邊界條件：Y(0)=0,Y′(0)=0,Y″(l)=0,Y?(l)=0，解得帶凹槽木棒的一階主振型為

(10)

其中，r1=(sinβ1l-sinhβ1l)/(cosβ1l-coshβ1l)；β1l=1.875；C1；β1；r1皆為常數(shù)。

同理可得x方向的一階主振型為

(11)

圖5 帶凹槽木棒在一個(gè)方向上的振動(dòng)示意圖

故在每個(gè)“小周期”內(nèi)，釘子作不完整的橢圓運(yùn)動(dòng)。兩方向振動(dòng)相位差φ影響了橢圓軌跡的傾斜程度，也會(huì)造成螺旋槳旋轉(zhuǎn)方向的不同。木棒劃過(guò)凹槽時(shí)，兩個(gè)方向的碰撞都同時(shí)發(fā)生，因此φ的兩個(gè)分立的取值對(duì)應(yīng)于螺旋槳的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向。

2.3 螺旋槳的運(yùn)動(dòng)

2.3.1 螺旋槳在實(shí)際狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)

通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在木棒劃過(guò)凹槽的階段，釘子會(huì)劇烈振動(dòng)，而螺旋槳與釘子之間并非始終保持接觸，而是會(huì)發(fā)生高頻率的碰撞，這使得定量研究這一現(xiàn)象較為困難。設(shè)μ為螺旋槳與孔內(nèi)壁之間的摩擦系數(shù)，α為釘子與孔壁碰撞前，二者相對(duì)速度方向與孔壁法線方向的夾角。碰撞中，螺旋槳受到的沖量由兩個(gè)力貢獻(xiàn)：橫向的摩擦力FN=μFT和徑向的正壓力FT。摩擦力沖量使螺旋槳的角動(dòng)量增加，轉(zhuǎn)速加快，是轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力來(lái)源。螺旋槳兩方向動(dòng)量的增量分別為

引入釘子的最大加速度an=4π2Anω，An為釘子的振幅，ω為釘子的旋轉(zhuǎn)頻率，由參考文獻(xiàn)[7]可知，螺旋槳能夠達(dá)到最大角速度的條件為：(1)當(dāng)an較小時(shí)，碰撞頻率較低且二者相對(duì)速度較小，加速作用不明顯；(2)當(dāng)an較大時(shí)，釘子的平均速度大于螺旋槳內(nèi)側(cè)的旋轉(zhuǎn)線速度，碰撞時(shí)摩擦沖量使螺旋槳減速，同時(shí)阻力矩增加，因此存在一個(gè)使轉(zhuǎn)速最高的an值。

圖6(a) 釘子與螺旋槳的受力示意圖； (b) 以O(shè)為中心的虛線為釘子的運(yùn)動(dòng)軌跡，O′為釘子的幾何中心，以C為圓心的實(shí)現(xiàn)為螺旋槳幾何中心繞釘子(以釘子為參考系)的運(yùn)動(dòng)軌跡

2.3.2 純滾條件下螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)

純滾模型可以近似表示螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí)發(fā)生的真實(shí)物理過(guò)程。螺旋槳的轉(zhuǎn)軸作橢圓運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)槳葉旋轉(zhuǎn)，其物理機(jī)制類似于呼啦圈的運(yùn)動(dòng)。如圖6(b)，虛線為釘子的運(yùn)動(dòng)軌跡，釘子的中心位于O′,而螺旋槳上圓孔的圓心位于C點(diǎn)，r和R分別為釘子和孔的半徑。如圖6(a)，以釘子為參考系，得到兩個(gè)方向上的轉(zhuǎn)矩平衡方程和牛頓第二定律方程：

其中,β為阻尼系數(shù)；FN為靜摩擦力；θ為螺旋槳相對(duì)于釘子的轉(zhuǎn)角；φ為螺旋槳相對(duì)于豎直方向的轉(zhuǎn)角；FT為正壓力；Ic為螺旋槳繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為螺旋槳質(zhì)量。對(duì)于純滾模型，有如下幾何關(guān)系：

從式(14)～式(16)，可以得到螺旋槳運(yùn)動(dòng)的微分方程為

(17)

其中，γ=β/(IC+mR2)；A0=(ω2a0)/(IC+mR2)；B0=(ω2b0)/(IC+mR2)；IC=[mab(a2+b2)-6πmR4]/[12(ab-πR2)]；a0、b0分別為釘子運(yùn)動(dòng)軌跡中的半長(zhǎng)軸和半短軸；a、b分別為螺旋槳的寬和長(zhǎng)；ω為釘子的運(yùn)動(dòng)頻率。該理論假設(shè)釘子與螺旋槳之間為純滾動(dòng)，不發(fā)生滑動(dòng)和脫離。螺旋槳不脫離釘子的條件為FN>0，即，壓力恒為正值，同時(shí)該旋轉(zhuǎn)滿足以下條件：

(18)

從式(17)中得到參數(shù)：γ,ω和r/R。為了研究相關(guān)參數(shù)對(duì)螺旋槳旋轉(zhuǎn)的影響，我們進(jìn)行了相關(guān)計(jì)算和實(shí)驗(yàn)。

3 實(shí)驗(yàn)

在實(shí)驗(yàn)部分，首先使用tracker軟件研究了釘子的軌跡,并研究螺旋槳角速度的變化趨勢(shì)及相關(guān)參數(shù)的影響，改變相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。

3.1 滑動(dòng)桿勻速運(yùn)動(dòng)的驗(yàn)證

圖7(a) 滑動(dòng)桿劃過(guò)凹槽一次時(shí)的相對(duì)響度，施加的壓力是近似恒定不變的； (b) 滑動(dòng)桿劃過(guò)兩個(gè)凹槽的時(shí)間間隔和凹槽數(shù)的關(guān)系

手執(zhí)滑動(dòng)桿滑動(dòng)可以達(dá)到一個(gè)近似恒定的速度，記錄下每次滑動(dòng)時(shí)碰撞的音頻并使用Adobe Audition進(jìn)行分析。每次碰撞對(duì)應(yīng)一個(gè)響度-時(shí)間圖像上的響度峰。從圖7(a)中可以看出每一個(gè)響度峰之間的間隔是均勻的，測(cè)量各個(gè)響度峰之間的時(shí)間間隔，即可測(cè)得劃動(dòng)木棒的速度。經(jīng)過(guò)音頻分析可得，證實(shí)可以將手的速度控制在(25.00?0.39)m/s，即，對(duì)帶凹槽木棒施加的力以及滑動(dòng)桿移動(dòng)的速度均為恒定的。對(duì)于數(shù)據(jù)采集，使用800幀/s的高速攝像機(jī)沿z軸方向正對(duì)釘子記錄其位置，使用tracker軟件來(lái)測(cè)量并分析釘子的軌跡。在每一種旋轉(zhuǎn)方向下，隨機(jī)選取滑動(dòng)桿劃過(guò)凹槽一次的音頻來(lái)進(jìn)行分析。得到的結(jié)果如圖7(b)。

3.2 螺旋槳的運(yùn)動(dòng)

為了探究相關(guān)參數(shù)(如：阻尼系數(shù)、碰撞頻率、半徑比)對(duì)螺旋槳運(yùn)動(dòng)的影響進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)，并且使用Mathematica計(jì)算螺旋槳在特定情況下的旋轉(zhuǎn)角速度。

3.2.1 滑動(dòng)桿的角頻率

通過(guò)改變凹槽間隔改變滑動(dòng)桿和凹槽的碰撞頻率，設(shè)置5組實(shí)驗(yàn)，凹槽間隔由2～10mm(如圖8)，保證滑動(dòng)桿的速度恒定。選擇不同角頻率，進(jìn)行5組實(shí)驗(yàn)。同時(shí)使用光電門計(jì)時(shí)器測(cè)量螺旋槳旋片兩端分別經(jīng)過(guò)光電門的時(shí)間間隔，以此間接計(jì)算螺旋槳角速度。最后使用Origin分析得到的數(shù)據(jù)，如圖9(a)，實(shí)驗(yàn)條件如表1。結(jié)果是，螺旋槳角速度正比于滑動(dòng)桿與凹槽碰撞的角頻率。

我們計(jì)算了螺旋槳角速度與滑動(dòng)桿角頻率的關(guān)系。螺旋槳質(zhì)量m為1.00g，孔徑R為3.20mm，螺旋槳寬和長(zhǎng)a、b分別為1.00cm和7.00cm，釘子的振幅a0、b0同為2.00mm，令阻尼系數(shù)γ為零?？梢缘玫饺鐖D9(b)的結(jié)果：圖線的斜率代表螺旋槳角速度，當(dāng)其為常數(shù)時(shí)，螺旋槳的旋轉(zhuǎn)是穩(wěn)定的；螺旋槳達(dá)到穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)所需要的時(shí)間與角頻率成反比，其角速度與滑動(dòng)桿角頻率成正比。因此實(shí)驗(yàn)與基于理論的計(jì)算結(jié)果是互相吻合的。

圖8 編號(hào)從(1)到(5)的帶凹槽木棒，其凹槽間隔分別為2mm,4mm,6mm,8mm和10mm

圖9(a) 改變凹槽間距，分別設(shè)置為2mm,4mm,6mm,8mm和10mm，同時(shí)控制手的移動(dòng)速度約為25m/s得到如圖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，螺旋槳旋轉(zhuǎn)角速度與木棒和凹槽碰撞的角頻率成正比； (b) 當(dāng)ω(即，滑動(dòng)桿與凹槽碰撞的角頻率)分別為10、50、100時(shí)螺旋槳轉(zhuǎn)過(guò)的角度隨時(shí)間的變化

凹槽間距/mm螺旋槳角速度/(rad·s-1)2732.314339.336201.208148.4410106.39

3.2.2 半徑比

使用不同直徑的鉆頭處理螺旋槳同時(shí)控制釘子的孔徑基本相同，以此控制半徑比(如圖10)；在5組實(shí)驗(yàn)中分別選用不同的半徑比，并且每組實(shí)驗(yàn)進(jìn)行5次；使用光電門計(jì)時(shí)器得到螺旋槳旋轉(zhuǎn)角速度，使用Origin分析得到的數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11(a)，實(shí)驗(yàn)條件如表2；同時(shí)從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)螺旋槳旋轉(zhuǎn)角速度反比于半徑比。

圖10 編號(hào)從(1)到(5)的螺旋槳，其小孔半徑與釘子半徑的半徑比分別為0.30,0.34,0.44,0.61,0.72

圖11(a) 通過(guò)改變螺旋槳孔徑控制半徑比分別為 0.30,0.34,0.44,0.61,0.72,同時(shí)控制手的移動(dòng)速度約為25m/s。圖中為實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，得到的結(jié)果顯示螺旋槳旋轉(zhuǎn)角速度反比于半徑比； (b) 令半徑比分別為0.2,0.5,0.8,并且控制其他條件相同，得到螺旋槳旋轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間的變化。

半徑比螺旋槳角速度/(rad/s)0.30556.000.34501.340.44324.150.61206.310.72105.27

接下來(lái)進(jìn)行計(jì)算得到理論上螺旋槳角速度與半徑比的關(guān)系。令螺旋槳質(zhì)量m為1.00g，滑動(dòng)桿角頻率為60π(rad/s)，螺旋槳的寬和長(zhǎng)a、b分別為1.00cm和7.00cm，釘子的振幅a0、b0同為2.00mm，令阻尼系數(shù)γ為零。得到如圖11(b)的計(jì)算結(jié)果：螺旋槳旋轉(zhuǎn)角速度與半徑比成反比。

3.2.3 阻尼系數(shù)

阻尼來(lái)源于空氣阻力和螺旋槳孔徑與釘子之間的摩擦，可以通過(guò)在螺旋槳孔壁和釘子之間滴加植物油來(lái)改變其阻尼系數(shù)。當(dāng)阻尼系數(shù)很小時(shí),螺旋槳會(huì)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)的狀態(tài)。使用tracker軟件得到螺旋槳的角度隨時(shí)間的變化，其中一個(gè)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)的狀態(tài)如圖12。

圖12 螺旋槳旋轉(zhuǎn)過(guò)的角度與時(shí)間的關(guān)系，在螺旋槳孔壁和釘子接觸點(diǎn)添加植物油潤(rùn)滑

接下來(lái)通過(guò)計(jì)算得到螺旋槳角速度與阻尼系數(shù)的關(guān)系。令螺旋槳質(zhì)量m為1.00g，螺旋槳半徑R為3.20mm，滑動(dòng)桿角頻率為60π(rad/s)；螺旋槳的寬和長(zhǎng)a、b分別為1.00cm和7.00cm，釘子的振幅a0、b0同為2.00mm。得到的結(jié)果顯示較小的阻尼系數(shù)下可以得到穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)，但該旋轉(zhuǎn)角速度低于無(wú)阻尼時(shí)的情況；同時(shí)，當(dāng)γ增加到1.9×105左右的臨界值時(shí)，其轉(zhuǎn)角開始出現(xiàn)隨時(shí)間的波動(dòng)，旋轉(zhuǎn)開始不穩(wěn)定；若γ繼續(xù)增大，則波動(dòng)增長(zhǎng)以使得轉(zhuǎn)動(dòng)難以進(jìn)行，這是因?yàn)轵?qū)動(dòng)力矩做功不足以抵消阻力矩做的負(fù)功。計(jì)算結(jié)果如圖13。

圖13 螺旋槳旋轉(zhuǎn)角度和時(shí)間的關(guān)系，理論計(jì)算結(jié)果顯示，阻尼系數(shù)很小時(shí)，螺旋槳旋轉(zhuǎn)是穩(wěn)定的，臨界阻尼系數(shù)為1.9×105(a) 阻尼系數(shù)很小時(shí)，可以得到穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)； (b) 在臨界阻尼系數(shù)下，螺旋槳的旋轉(zhuǎn)開始變得不穩(wěn)定； (c) 阻尼系數(shù)增大時(shí)，旋轉(zhuǎn)始終不穩(wěn)定

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)帶凹槽木棒及滑動(dòng)桿和螺旋槳組成的咿呀轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)機(jī)，使用動(dòng)力學(xué)方程(牛頓第二定律和角動(dòng)量定律)研究了帶凹槽木棒的形變和釘子的運(yùn)動(dòng)軌跡。從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面驗(yàn)證了釘子的

運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓，當(dāng)阻尼系數(shù)較小時(shí)螺旋槳可以達(dá)到穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)，同時(shí)當(dāng)滑桿的角頻率增加、釘子與螺旋槳半徑比減小時(shí)，螺旋槳的旋轉(zhuǎn)角速度會(huì)增大。