鄧崇林

(獨立研究員)

1 淺談指南車的來歷

指南車這個人造的物理系統(tǒng)是本文的研究對象，想來很多人對此都是一知半解。在本文開始深入探討之前，先簡單回顧指南車的來歷。指南車是中國古代的偉大發(fā)明之一，也是華夏文化重要遺產(chǎn)之一，在《古今注》及《志林》等中國古籍的記載中，相傳四千多年前東方一帶的九黎族，為了與炎帝爭奪黃河下游地區(qū)，為首的首領(lǐng)蚩尤帶領(lǐng)九黎族進(jìn)入中原，并把炎帝趕到涿鹿，于是炎帝向黃帝求救。黃帝聯(lián)合統(tǒng)帥炎帝等部落，與蚩尤戰(zhàn)于涿鹿之野，然而蚩尤善用濃霧，使黃帝的部隊迷路陷入險境。黃帝為了克服霧中作戰(zhàn)的困難，發(fā)明了“指南車”以辨別方向，最終成功突破濃霧的重圍，戰(zhàn)勝蚩尤，史稱“涿鹿之戰(zhàn)”，是中國古代歷史上一個標(biāo)志性的重大事件。

指南車乃黃帝與蚩尤之戰(zhàn)為破大霧迷陣的一項發(fā)明。該車上有一木童，在出發(fā)前，令其手指南方，當(dāng)車啟程后，由于車內(nèi)設(shè)有機(jī)關(guān)，能使該木童手指方向并不隨車行進(jìn)轉(zhuǎn)彎而變，因而有了指向功能，又因其專司指南，又謂“司南”。現(xiàn)代研究者一般皆以齒輪系復(fù)原指南車，普遍認(rèn)為黃帝時代并未發(fā)明齒輪，何來指南車，因此傳說不可信。雖然傳說不可考，但傳說并沒用一般神話手法講述涿鹿之戰(zhàn)，而是憑借著發(fā)明物“指南車”協(xié)助作戰(zhàn)，言之有物，況且現(xiàn)代已經(jīng)有人發(fā)明了完全沒用到齒輪，而是使用了斜面、杠桿與曲軸等很原始的簡單機(jī)械做出指南車[4]，因此，傳說是可信的，然而這個問題，應(yīng)該留給考古學(xué)家去傷腦筋。接下來，還是回到指南車有關(guān)其運動現(xiàn)象的研究吧。

2 研究動機(jī)與方法概要

關(guān)于大小近乎零的微型指南車之功能屬性，已經(jīng)由文獻(xiàn)[1,2]證得它是一臺能夠在曲面上遂行向量平行移動的機(jī)器，然而這只完成了該車作用在曲面上的定性分析，卻沒有對其運動現(xiàn)象進(jìn)行更深入的定量探索。前人遺珠后人拾穗，本研究將加以完善前人階段性成果，以方程為主體思路，發(fā)現(xiàn)在純滾動下，指向器表征的向量經(jīng)平行移動后，測地曲率會造成其方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象，進(jìn)而創(chuàng)建微型指南車之廣義運動方程。如將作用曲面退化成平面時，該廣義運動方程也隨之簡并成一般在平面上的運動方程。相較于曲面上廣義運動方程的微分形式，其另有對封閉路徑積分形式的相位方程，這部分已于文獻(xiàn)[3]里推導(dǎo)立論。另，本文末尾會以一般指南車行進(jìn)在平面上以及在球面緯圓上，進(jìn)行曲、平面兩類不同性質(zhì)的實驗，依此驗證理論的正確性。

在進(jìn)行研究探索之前，除前面提到的純滾動條件之外，有些前提假設(shè)在這里補(bǔ)充說明，本文立論都是基于這些假設(shè)。由于本研究乃以運動學(xué)為基礎(chǔ)分析指南車的運動現(xiàn)象，即把一般指南車視為理想剛體同時不考慮指南車重量、施力、轉(zhuǎn)動慣量、力矩等力的作用，加上文獻(xiàn)[4]里所提到有關(guān)機(jī)械線性組件、車輪直立平面、輪軸與指向器平行于地面運動等諸多約束條件，在進(jìn)行理想化之后，便能簡化讓指南車形同剛體的平面運動，而指向器的任意轉(zhuǎn)動，將原本由歐拉角表征的章動、進(jìn)動和自旋3部分運動，跟著退化只剩自旋。至于行駛在曲面的運動情況，因為微型指南車的大小近乎零，同時也滿足前述理想化條件，所以可看成是個帶有自旋的質(zhì)點，又由于這是將平面情況加以推廣，因而特稱為曲面廣義運動，該廣義一詞并非指廣義坐標(biāo)，其乃借鑒廣義相對論名稱中的“廣義”(general)是也，此外，指南車曲面廣義運動還真的與廣義相對論有那么一點點微妙關(guān)系，其中的平行移動就是它們的共通紐帶，而且都會牽涉到彎曲空間里的運動情況，也都要考慮空間退化的議題。

另，由文獻(xiàn)[4]指南車控制理論得知，指南車除了有制造上的系統(tǒng)誤差之外，它還無法克服車輛行進(jìn)間地面顛簸或光滑所產(chǎn)生的誤差，總之(1)輪打滑則輪多轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致指向精度更差；(2)車跳動則車多轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)彎精度更差；(3)現(xiàn)實工藝非線性，從而導(dǎo)致構(gòu)件精度變差等無法消除的三差環(huán)節(jié)，導(dǎo)致不可能將近似理想化指南車化為現(xiàn)實，換言之，在現(xiàn)實環(huán)境下為指南車進(jìn)行定量實驗是沒有實質(zhì)意義的，這也就是為什么一般指南車設(shè)計文獻(xiàn)并不討論其定向能力精度的重要因素，因此，本文在第6節(jié)中于緯圓上進(jìn)行的指南車實驗，也局限于定性方面的演示，至于定量方面的演示，在不追求精度下可參考文獻(xiàn)[3]里的指南車平行動移整合實驗儀，它能進(jìn)行指南車、物理與幾何、靜態(tài)與動態(tài)的整合實驗，能夠?qū)崟r觀察曲面圖紙上向量方向與指南車指向器的偏轉(zhuǎn)變化的一次到位整合性實驗，并依靠曲面圖紙上的向量箭頭符號所代表的方位角刻度，能給出指南車指向器的定量角度，后續(xù)還會提到。至于要有良好精度的指南車運動量化量測，在現(xiàn)實里是無法實現(xiàn)的，只能靠計算機(jī)模擬出精確的向量平行移動，本研究后續(xù)也會做出計算機(jī)模擬，該動畫可在其參考文獻(xiàn)中直接執(zhí)行。

3 曲面上原地打轉(zhuǎn)的微型指南車

今有一緊致定向曲面S，存在弧線元素第一基本形式為：ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2的參數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)(u,v)，現(xiàn)我們操作一臺微型指南車，并利用其能遂行向量平行移動的此一特性，令其純滾動行駛于前述二維曲面上的局部區(qū)域，讓車中央劃過曲面上一條路徑之正則曲線C，且車頭方向永遠(yuǎn)保持與行駛路徑相同方向。這就等同于該路徑曲線上的切向量，其車架就相當(dāng)于一個行駛路徑上該點的切平面，那么車上指向器就坐落在這個切平面上，而該指向器可看成是此切平面上的單位向量，使得這車平臺中央都會接觸到行經(jīng)路徑曲線上的一點。那么，此車劃過曲線在該點的測地曲率kg可表示為下列克氏符號(Christoffel symbols)相關(guān)的Beltrami公式[5-7]

(1)

由于克式符號屬曲面的內(nèi)蘊性質(zhì)，而上述式(1)測地曲率公式只與克式符號和曲面第一基本形式有關(guān)，因此，測地曲率與坐標(biāo)基底選取無關(guān)，實屬曲面的內(nèi)蘊幾何量[8]。又該曲面S的度量張量為

(2)

(3)

如果曲面參數(shù)化改采正交坐標(biāo)網(wǎng)，也就當(dāng)F=0時，則所有克氏符號各分量與第一基本形式的參數(shù)關(guān)系式如下[10]：

(4)

現(xiàn)令該微型指南車在原地打轉(zhuǎn)Δθ，由于曲面屬黎曼流形，流形上每一點的有限鄰域不一定是“平”的，然而當(dāng)這個鄰域夠小時，是可以當(dāng)成平面來看，能滿足歐氏幾何三角形三邊的勾股定理，此時的曲面參數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)(u,v)在該點之式(1)測地曲率并不會對原地打轉(zhuǎn)的指向器造成影響，所以當(dāng)車頭原地拐角產(chǎn)生Δθ的幾何相位變化時，指向器會隨之轉(zhuǎn)動Δφ，兩者運動關(guān)聯(lián)可表成下列的關(guān)系式：

Δφ=-Δθ

(5)

上式等號兩邊同時對時間微分，則可描述微型指南車的原地補(bǔ)轉(zhuǎn)運動現(xiàn)象，就如同一般指南車在平面上的運轉(zhuǎn)情況，其指向器會以車頭旋轉(zhuǎn)方向同時做等量反轉(zhuǎn)，使得指向器方向沒變，只有車頭在轉(zhuǎn)，這也就是式(5)中負(fù)號所起的作用，這在后續(xù)探索指南車平面運動時還會深入討論。

4 創(chuàng)建曲面上指南車的運動方程

當(dāng)車頭停止拐角之后，此微型指南車所在曲面局部區(qū)域改采半測地坐標(biāo)網(wǎng)，則該曲面有第一基本形式為：ds2=du2+Gdv2，且車頭將沿著v坐標(biāo)線行駛，那么沿C曲線行進(jìn)的指向器向量之各分量ξk必須滿足平行移動方程，其分量公式如下所示[11]：

(6)

(7)

(8)

以上推得指向器隨路徑的方向轉(zhuǎn)變量|dφ/ds|，正是沿該路徑各點的測地曲率kg，其負(fù)號表示相對于行駛路徑偏轉(zhuǎn)的反方向。此外，前述推導(dǎo)雖是基于半測地坐標(biāo)網(wǎng)以及特定路線的選用，然著實與微分幾何專書[12]所得結(jié)果殊途同歸，同樣指出向量在曲線上平行移動時將伴隨著方向偏轉(zhuǎn)，且其背后唯一成因是測地曲率。又，該專書是以測地曲率定義結(jié)合向量運算方式得到上述式(8)的異曲同工推論，這也額外左證了測地曲率的確是個與坐標(biāo)選取無關(guān)的不變量(invariant)?，F(xiàn)把式(5)對時間微分以及將式(8)重新整理得出微型指南車的曲面廣義運動方程如下：

(9)

查式(9)之隨行運動方程，會發(fā)現(xiàn)其運動與所耗時間多寡毫無關(guān)聯(lián)，此時，微型指南車其指向器偏向角隨運行路徑的微分變量，是完全依據(jù)微型指南車行經(jīng)該曲面路徑上的測地曲率來描述其運動現(xiàn)象，這是純?nèi)坏膸缀涡?yīng)。另查式(9)之拐角運動方程，由于指向器是反車頭打轉(zhuǎn)方向進(jìn)行等量的自旋運動，方向上因車頭打轉(zhuǎn)所生的虧角能立即完全得到補(bǔ)償而不發(fā)生變化，保證了其方向固定不變，同時，也可從式(5)知車頭原地拐角Δθ時，表示曲線切線方向的幾何相位也產(chǎn)生等量變化。

5 創(chuàng)建平面上指南車的運動方程

圖1 取自文獻(xiàn)[1].B.1.指南車在平面上小轉(zhuǎn)彎示意圖

這里暫且撇下方向只看相關(guān)量的變化，首先來建立前述(1)、(2)情況與指南車的關(guān)聯(lián)性。由于曲面上曲線的“測地曲率”，是平面曲線其“曲率”的推廣[13]，反過來說，就是當(dāng)曲面退化成平面時，測地曲率kg就會變成一般的曲率κ[14]。又由物理直觀得知，在同一小段時間內(nèi)，上述3種情況是同時發(fā)生的，而且前兩種情況有共同的曲率中心，這同時，指南車車架中央指向器也會自旋δΨ，因此，曲面上的式(9)之隨行運動方程也會退化演變成下列平面上中央弧線曲率κ與指南車兩輪行程差的關(guān)系式：

(10)

以上算式表明中央弧線線素與曲率的乘積，等于一般指南車在平面純滾動行駛時，其內(nèi)部機(jī)構(gòu)能將左右輪之行程差變成指向器轉(zhuǎn)角δΨ的證明，這正是那個由車輪直徑等于兩輪間距又等于2ε所建構(gòu)而成的Lanchester型指南車機(jī)構(gòu)之運轉(zhuǎn)公式[1]。這有雙層意義，第一層表示一般指南車兩輪行進(jìn)劃過平面的雙軌等距曲線，可以改用由車架中央微型指南車劃過平面的單條路徑曲線來取代，因此，一般指南車車心與車頭連線方向就是該中央曲線的切線方向，換句話說，曲面上退化的隨行運動方程是可以描述一般指南車在平面上小轉(zhuǎn)彎的運動現(xiàn)象；第二層則是微型指南車其指向器運動現(xiàn)象，是等同于一般指南車中心之指向器運動現(xiàn)象，都擁有隨行轉(zhuǎn)角的共同基因，也就是平面上微型指南車與一般指南車這兩者是等效的。余下的問題是，該如何正確描述其指向器轉(zhuǎn)角的運動現(xiàn)象。

現(xiàn)在定義一般指南車右左輪子相對輪軸心的旋轉(zhuǎn)角速度ωi≡d(si/ε)/dt,i=R,L，以及定義θ為車架以車心到車頭為準(zhǔn)的方向旋轉(zhuǎn)角度，并令指南車以車架中心為圓心做原地旋轉(zhuǎn)一圈行打轉(zhuǎn)動作，又車輪轉(zhuǎn)一圈所走的長度為2Rπ，且兩輪間距L=2R=2ε，而車輪轉(zhuǎn)一圈所走的長度剛好是輪車架繞滿車心一圈的圓周長(Lπ=2επ)。所以當(dāng)車輪以輪軸心自轉(zhuǎn)一圈，這同時輪車架也繞車心公轉(zhuǎn)一圈，也就是兩者具有完全同步化且相等的角速度，若對時間微分，則有ω=dθ/dt。又由于兩側(cè)車輪需反向等量的轉(zhuǎn)速才能原地打轉(zhuǎn)，且令左輪之ωL=ω，那么車架做原地旋轉(zhuǎn)的另一側(cè)右輪角速度則為ωR=-ω，代入式(10)，可得指向器轉(zhuǎn)角Ψ與車架原地打轉(zhuǎn)θ的關(guān)系式為

(11)

前述是指向器補(bǔ)償自旋、車輪自轉(zhuǎn)與繞車心圓周運動此3者同步的特征，完全符合實際運動現(xiàn)象，所以車輪以輪軸心自轉(zhuǎn)一圈，同時輪車架繞車心公轉(zhuǎn)一圈，恰好指向器也反向自旋一圈(相對于車架)，是同時開始進(jìn)行也同時繞滿一圈之故，其中，輪車架公轉(zhuǎn)與指向器反向自旋剛好相互抵消，使得指南車具有指向不變作用。此處計算是居于車架原地打轉(zhuǎn)的結(jié)果，直覺上，式(11)乃是指南車平面運動中的一個特例，我們要問果真是如此嗎？是否另有文章，這得繼續(xù)深究下去尋找答案。

設(shè)T(s)是曲線C的單位切向量場，s是弧長參數(shù)，用δθ表示向量T(s) 與T(s+δs) 之間微小弧長變化下的微小夾角，也就是車架轉(zhuǎn)向的微轉(zhuǎn)角，又文獻(xiàn)[15]對曲率可定為κ(s)=|T′(s)|=|dθ/ds|，它表征著平面曲線的彎曲度，也就是曲率度量了曲線在兩鄰近點之切向量其間夾角對弧長的變化率。此時將該公式代入到式(9)之隨行運動方程同時對時間取微分，可得到退化的隨行運動方程式為

(12)

上式原本是將與路經(jīng)有關(guān)的隨行運動方程代入運算，結(jié)果弧長參數(shù)居然消失了，即此運動方程與坐標(biāo)選取無關(guān)，也與路徑無關(guān)，當(dāng)然也就與曲率無關(guān)。不僅僅如此，連整個方程都與原地打轉(zhuǎn)的式(11)一模一樣，于是原本用于曲面上的兩個運動方程式(9)，若退化成平面，那么將簡并為單一個運動方程，現(xiàn)加入方向考慮，也就是，車架打轉(zhuǎn)與指向器自旋是等量反向關(guān)系，于是重新整理如下：

(13)

圖2 在平面上任意行駛

圖3 與任何行經(jīng)路徑無關(guān)示意圖

圖4 原地打轉(zhuǎn)方向不變

上式運動方程表明，等號前面左項之車架轉(zhuǎn)向的角速度dθ/dt與右項之指向器的角速度dΨ/dt等兩者之和永遠(yuǎn)為零，無論指南車運動狀態(tài)是原地打轉(zhuǎn)或是任意行駛，只要當(dāng)車架轉(zhuǎn)向產(chǎn)生角速度變量，這同時，其指向器會反車頭旋轉(zhuǎn)方向做等量反轉(zhuǎn)的角速度，這兩項運動現(xiàn)象疊加起來剛好相互抵消，這樣就能讓指向器一直保持所指定的方向。從式(13)中可觀察到，此運動方程與坐標(biāo)基底選取無關(guān)，也與行駛路徑無關(guān)，這就是一般指南車在平面上進(jìn)行任何運動時，其指向器絲毫不受影響并一直保持特定方向的密秘所在。指南車無論在平面上原地打轉(zhuǎn)或任意行駛，基于其自身機(jī)械機(jī)構(gòu)的補(bǔ)償旋轉(zhuǎn)作用[4]，讓指向器就如同一般向量在歐氏幾何平面里任意自由平移，因此特稱式(13)為平面上指南車的“自由平移方程”。圖2與圖4是指南車在平面上任意行駛的實際實驗照片，其指向器始終保持固定方向，與任何行經(jīng)路徑無關(guān)，就像圖3的示意圖，其運動與原地打轉(zhuǎn)無異。由于此處物理系統(tǒng)是選取指南車一整體的運動，因而其輪子、機(jī)構(gòu)等運作細(xì)節(jié)被當(dāng)成似內(nèi)力傳遞般不做表述。

回顧第2節(jié)中所說的，在理想化條件下，能簡化讓指南車形同剛體在平面上的運動，根據(jù)運動的疊加原理，剛體平面運動可看成是剛體的平動與轉(zhuǎn)動的疊加，又前述式(12)已證得指南車在平面上的運動完全與選取路徑無關(guān)；或者，采另外一個觀點，由于平面時克氏符號為零，使得直角坐標(biāo)中平行移動任一向量V的協(xié)變導(dǎo)數(shù)將縮減成只有一項：dVi/ds=0，這也充分證明了此時的向量平移移動與路徑毫無關(guān)聯(lián)，這與圖2至圖4之指南車平面運動的觀察十分吻合，同時也驗證了指南車平面運動是其曲面平行移動的特例。以第5節(jié)這樣分析指南車在平面上的運動現(xiàn)象，就能再次化簡成剛體在平面上如式(11)的轉(zhuǎn)動而已，于文獻(xiàn)[4]中就是采此條件另用控制理論證明任何一種車軸輪徑比例設(shè)計的指南車在平面上運動都遵守著式(13)自由平移方程，這是一般認(rèn)知的經(jīng)驗公式。

6 緯圓上的指南車實驗

在這個例子中，我們感興趣的是微型指南車?yán)@某個閉曲線尤其是在單位球面緯圓作平行移動一周之后，經(jīng)式(9)之隨行運動方程主導(dǎo)下，其指向器所表征的向量方向或幾何相位的變化。首先選用球極坐標(biāo)系(θ,φ)，其第一基本形式為：ds2=dθ2+sin2θdφ2，其中θ是極角，與緯度λ的角度變換為：λ=π/2-θ，這使得cosθ=sinλ兩者成余角關(guān)系，則其度量張量可表成下列關(guān)系式：

(14)

由式(14)知E=1,F=0且G=sin2θ，再代入式(4)中便可求得球面上微型指南車式(9)之隨行運動方程中測地曲率所需的相關(guān)克氏符號系數(shù)為

(15)

今微型指南車行經(jīng)緯圓曲線是沿著v=φ(s) 坐標(biāo)線，使得u=θ是常數(shù)值，那么其測地曲率可從式(3)中化簡為

(16)

又，緯圓的弧長元素為ds=sinθdφ，經(jīng)式(9)之隨行運動方程對封閉路徑作線積分，就能計算出向量于北緯λ平行移動繞該緯圓一圈后指向器之方向變化量或幾何相位如下：

(17)

從理論上推導(dǎo)便知該當(dāng)如何操作微型指南車，使其指向器向量圍繞單連通區(qū)域的閉曲線作平行移動，但其微型化在實務(wù)上往往并不是那么容易成為現(xiàn)實。所幸球面的對稱性與指南車中心相對于兩側(cè)雙輪具左右對稱性，只要指南車相對球面是夠小的話，其實這個指南車操作式實驗證明是容易實施的。在本文段落下方圖5至圖9布置了此項實際實驗經(jīng)過照片，正是拿一般指南車置于夠大的地球儀上，且車架中心恒對準(zhǔn)北緯30°線，只要穩(wěn)當(dāng)操作，讓指南車純滾動向東行駛一圈后，可以觀察到指南車上頭的指向器會順時鐘方向轉(zhuǎn)180°，與前述理論推算值Ψ=-2πsin(30°)完全吻合。另，這個指南車在球面上的操作式實驗，也能給出傅科擺擺面進(jìn)動的理論與實驗證明[3]。若在北緯48.8°巴黎做傅科擺實驗一天偏轉(zhuǎn)約270°，當(dāng)然用指南車也能做出同效演示。雖然傅科擺是一種動態(tài)的物理系統(tǒng)，綜合來看，它確實具有物理與幾何更深層的連結(jié)，研究[16-19]指出不同緯度傅科擺擺面周期互異，其擺面一天幾何相位也是一樣同式(17)的數(shù)學(xué)模式：Ψ=-2πsinλ。另，傅科擺在巴黎展出的第二年，傅科更發(fā)明了機(jī)械式的陀螺儀來證明地球自轉(zhuǎn)[20]，當(dāng)陀螺儀里的轉(zhuǎn)子高速轉(zhuǎn)動時，由于角動量守恒使其軸永遠(yuǎn)指向一固定方向，這和傅科擺的擺面向量是相通的，他用希臘字根 gyros(旋轉(zhuǎn))和scope(看)兩字合為“gyroscope”一字來命名這種儀器并沿用至今。

圖5 北緯30°開始向東出發(fā)

圖6 指南車過境美國

圖7 指南車快到地中海

圖8 指南車經(jīng)過中國

圖9 繞回到原出發(fā)處

在前面第2節(jié)已經(jīng)提起過，由于各種無法消除的誤差存在，這里只能進(jìn)行定性方面的演示，至于定量方面的演示，在不追求精度下可參考文獻(xiàn)[3]里像圖10所示的指南車平移整合實驗儀，該圖是這個指南車行駛于曲面能觀察指向器運動的整合實驗視頻[21]里記錄的一幕，百聞不如一見，相信在觀賞該視頻之后，會對老祖宗傳下來的古科技刮目相看，它居然也能探索曲面空間的新領(lǐng)域。

圖10 指南車平移整合實驗儀

7 再論平行移動方程與隨行運動方程

曲面上操作微型指南車已經(jīng)能用平行移動方程描述其指向器隨行偏轉(zhuǎn)過程，那為何還要多此一舉，另行尋找廣義運動方程呢？此處會將該理由說個明白。這里沿用前述在單位球面緯圓上向量作平行移動的例子，并且改符號選用了球極坐標(biāo)系(φ,θ)及第一基本形式為：ds2=dφ2+sin2φdθ2，其中φ是極角，現(xiàn)在要對其平行移動方程進(jìn)行求解。首先，可以從式(4)中很容易求得與平行移動方程相關(guān)且不為零之克氏符號系數(shù)有：

(18)

今在極角φ=φ0的緯圓上有任一向量(θ)=(vφ(θ),vθ(θ))進(jìn)行平行移動，則該緯圓曲線的參數(shù)表示式為γ(θ)=(sinφ0cosθ,sinφ0sinθ,cosφ0)，那么將該向量套用式(6)平行移動方程可得到下列兩個微分方程：

(19)

(20)

接著運用矩陣指數(shù)(matrix exponential)技巧套用到式(20)之矩陣方程并求得其解為

(21)

上述式(21)告訴我們新位置向量是通過對初始位置向量經(jīng)2×2旋轉(zhuǎn)矩陣的一個順時針旋轉(zhuǎn)所生成的。雖然解出來的這個向量在長度上不同于先前的v(θ)向量，但其順時針旋轉(zhuǎn)角度卻是一致的，也就是說，在極角φ=φ0緯圓曲線上任一點該向量會順時針旋轉(zhuǎn)且其角度為((cosφ0)θ)。如果初始條件是一個朝南方的單位向量，即vφ(0)=1,vθ(0)=0，代入式(21)將會得到新向量其分量如下：

(22)

今于緯度30° 向東繞一圈θ=2π回到原出發(fā)點時，也就是φ0=π/3，((cosφ0)θ)=π，代入式(22)將求得繞一圈回到原出發(fā)處之向量變?yōu)椋簐φ(2π)=-1,vθ(2π)=0，這是個朝北方的單位向量，于是我們可以看到如圖11所示的單位向量在單位球面緯圓30°向東繞一圈之平行移動的運動圖像。

在單位球面向東繞緯圓一圈之同一個問題上，回顧前兩個理論計算例子中，前一個運用隨行運動方程手法只求得向量順時針旋轉(zhuǎn)了180°；至于后一個運用平行移動方程手法，從平行移動方程求解中，不僅能與隨行運動方程一樣求得向量經(jīng)平行移動回轉(zhuǎn)一圈后發(fā)生相同的順時針旋轉(zhuǎn)角度，另外還能得到向量在緯圓參數(shù)曲線上任一點如式(22)的參數(shù)表示式，有了這個參數(shù)式就能用計算機(jī)為其繪制如圖11所示的明確圖像，這一特點是隨行運動方程辦不到的?，F(xiàn)在該是時候進(jìn)一步討論，微型指南車需要怎么樣的運動方程。雖說平行運動方程兩者都是與坐標(biāo)選取無關(guān)的數(shù)學(xué)表述，然而從前面探討得知平行移動方程能帶來更多物理內(nèi)涵的優(yōu)勢，那為何還要額外為其界定廣義運動方程呢？這會牽涉到下列7項議題：

圖11 向量在北緯30 度向東平行移動圖

(1) 物理系統(tǒng)的運動方程主要是以其物理量作為表征。針對微型指南車這個人造的古典物理系統(tǒng)，當(dāng)其在曲面上行進(jìn)運動時，如式(9)所示會帶來路徑變量與其指向器伴隨的角度變量，但平行移動方程并沒有涉及到這些直觀物理量。

(2) 物理系統(tǒng)的運動方程最好能明確表征造成運動與其作用量的因果關(guān)系。式(9)之隨行運動方程能表明微型指南車在曲面上其指向器角度的隨行偏轉(zhuǎn)運動，其作用量是來自測地曲率，但平行移動方程并無法指出該偏轉(zhuǎn)運動與其成因之間的直接關(guān)系。

(3) 物理系統(tǒng)的運動方程最好能有簡明的數(shù)學(xué)形式。很顯然，平行移動方程的數(shù)學(xué)形式要比隨行運動方程復(fù)雜得多。

(4) 方程能充分表征其對應(yīng)的物理模型特征。微型指南車在曲面上行進(jìn)運動，其指向器之角度變量是依賴行經(jīng)路徑的，這個重要特征在平行移動方程里直觀上找不到。

(5) 方程能方便帶出幾何相位。若將微型指南車其指向器之角度視為相位角，由于我們對相位角的絕對值和瞬時值都不感興趣，至于在曲面上行進(jìn)運動其始末狀態(tài)間的相位角偏差量方具有物理意義，然而在求得這個幾何相位方面，在前面對平行移動方程探索例子中，要先運用聯(lián)立微分方程解題技巧求解之后方能得到；反觀隨行運動方程就簡明多了，只要進(jìn)行相關(guān)路經(jīng)積分就得了。

(6) 運動方程無論在曲面或平面要有直接演繹關(guān)聯(lián)性。式(13)自由平移方程是式(9)曲面廣義運動方程跟隨作用面退化成平面之后自然衍生而導(dǎo)出的結(jié)果，然而當(dāng)作用曲面退化成平面時，曲面上平行移動方程卻無法依作用面退化條件直接演繹成平面上的自由平移方程。

(7) 理論與實驗的自洽性。本文從微型指南車在曲面上行駛滿足平行移動方程的假設(shè)開始，經(jīng)嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)理推導(dǎo)出式(9)，之后可退化成平面上的式(10)，如將該式中行程里的輪半徑因子提出來，那將會是個一般指南車的角速度特征公式[4]；回頭看文獻(xiàn)[1]的推導(dǎo)方式則是倒過來的，一開始先把式(10)取微型化推廣至曲面，接著用一階近似方式算得其協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零，證明了微型指南車在曲面上運動乃遂行平行移動，因此，本文與文獻(xiàn)[1]相互論證了指南車遂行平行移動的理論自洽性，而且可由式(9)能自然衍生出平面上的式(13)自由平移方程，而式(13)乃傳統(tǒng)設(shè)計指南車必須遵循的經(jīng)驗公式，這樣，理論與實驗完全一致自洽。

平行移動方程是微分幾何中的一般通用公式，并經(jīng)文獻(xiàn)證明[1,2]可套用解析微型指南車行駛在曲面上的運動現(xiàn)象，然而綜觀上述分析，就知此方程如要做為微型指南車的運動方程是有所欠缺或針對性不足，因為該方程并不針對微型指南車這個物理系統(tǒng)來表征其運動現(xiàn)象，是個純數(shù)學(xué)觀點下的產(chǎn)物。至于隨行運動方程，則能很好地滿足前述7項議題要求，它正是為微型指南車量身訂做的微分方程，因此將其納入式(9)微型指南車廣義運動方程里面的一員。

8 結(jié)論

看似積木玩具般的指南車，以前覺得它只會木童遙指向南且不隨行而偏轉(zhuǎn)，之外，就沒別的能耐了，何曾想到，當(dāng)指南車從平面走向曲面，深入研究發(fā)現(xiàn)，竟有如此有趣的運動現(xiàn)象?，F(xiàn)總結(jié)一下探究其運動規(guī)律心得如下：

(1) 指南車保守方向的守恒律。在保守力場且無摩擦力的力學(xué)系統(tǒng)下，保守力所做的功可用位能的形式表示，物體運動將遵守著機(jī)械能守恒律，其數(shù)學(xué)關(guān)系式表為：ΔE+ΔU=0，其中等號前面左項E為動能而右項U為位能，且這兩項總合的總能量始終為零。其實像這樣的特征，是具有更為豐富的普遍性，換言之，當(dāng)一個物理系統(tǒng)有這種不變量的物理內(nèi)涵，正意味著一種守恒律，例如，平面上的指南車，由于幾何空間的平坦對稱性以及在純滾動的力學(xué)系統(tǒng)下，其自由平移方程式(13)也有著兩項總合為零的特征，在該方程式中，等號前項車架轉(zhuǎn)向θ與后項指向器反其方向偏轉(zhuǎn)Ψ這兩項運動現(xiàn)象疊加起來始終相互抵消，使得平面上指南車其指向器保守著方向上的守恒律。

(2) 指南車的幾何相位。微型指南車在不考慮力的作用下，若將式(9)之隨行運動方程中的左項里分別對分子、分母加入對時間的微分，這樣會將原式中指向器偏向角隨行駛路徑的微分變量，變成是指向器自旋角速度除以車輛動作路徑的切線速度，就能得到式(9)新的數(shù)學(xué)形式，那么運動學(xué)物理圖像的感覺就復(fù)活了，然而這樣會顧此失彼，喪失了對該運動現(xiàn)象本質(zhì)上是純?nèi)粠缀涡?yīng)的直觀描述，又由于微型指南車每每在曲面相鄰兩點運動時，其法線方向也隨之改變，因此在回到閉合回路的原出發(fā)處之前，是無特定基準(zhǔn)來衡量其指向器方向的偏轉(zhuǎn)量，因而有意義的觀察是讓車?yán)@回到原出發(fā)處，即從幾何觀點對運動方程進(jìn)行封閉路徑積分，這已于文獻(xiàn)[3]里推導(dǎo)立論，可視為一種對曲面上高斯-博內(nèi)公式的操作式證明，其結(jié)果只呈現(xiàn)幾何效應(yīng)。在前述文獻(xiàn)[3]中之式(8)，正是本文之式(9)對封閉路徑積分與累積拐角的相位方程，其指向器偏向角總量，稱之為指南車的幾何相位。

(3) 以方程為主體思路。很多微分幾何專書能從測地曲率定義切入，運用向量運算，最后推導(dǎo)出向量方向隨行偏轉(zhuǎn)變化量與測地曲率的關(guān)系式，例如文獻(xiàn)[12]。毋庸置疑這些數(shù)學(xué)家的超強(qiáng)能力，但似乎沒能認(rèn)識到這項公式對指南車的運動有重要意義，其主要障礙應(yīng)來自兩個癥結(jié)，首先是缺乏跨領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，無法有效地將微分幾何知識鏈接跨越到機(jī)械領(lǐng)域的指南車；其次是缺乏以方程為主體的思路，這在量子力學(xué)科學(xué)史上，就曾發(fā)生涅盤般的方程之戰(zhàn)。在1925年，瑞士蘇黎世每兩周會舉辦一場物理學(xué)術(shù)研討會，有次研討會里，薛定諤做完有關(guān)德布羅意波粒二象性的報告后，德拜(Peter Debye)指出，既然粒子具有波動性，應(yīng)該有一種能夠作為表征的波動方程式。薛定諤深受這種以方程為主體思路的引領(lǐng)，很快地，在下一輪研討會中，薛定諤就提出了量子力學(xué)的波動方程[22]。本文乃以方程為主體思路，先是從“平行移動方程”切入，發(fā)現(xiàn)指向器表征的向量經(jīng)平行移動后其方向會產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象，并找到造成方向偏轉(zhuǎn)的原因是測地曲率，進(jìn)而創(chuàng)建微型指南車之廣義運動方程。

(4) 古代指南車的新時代詮釋。本文以黎曼幾何切入討論了指南車在彎曲空間的平行移動特性，這些都不是古人能夠想到，或者總結(jié)出來的。不僅如此，這也創(chuàng)新突破了用復(fù)原或復(fù)興訴求進(jìn)行指南車的研究，更把英國學(xué)者李約瑟對指南車的研究[23]帶到全新篇章，本研究重新發(fā)現(xiàn)其曲面運動規(guī)律之奧妙，而一般對指南車所認(rèn)知的平面運動，只是其曲面運動規(guī)律退化后的特例。

(5) 應(yīng)該是首次用微分幾何為中國古科技創(chuàng)建數(shù)理模型。對于學(xué)習(xí)或研究非歐氏空間例如微分幾何、廣義相對論或量子物理的相位因子等等的初學(xué)者而言，由于那些純?nèi)粩?shù)學(xué)符號充滿高度抽象且艱澀難懂，很難有具體化的感覺，讓人望而生畏。一般會借助計算機(jī)繪圖幫助建立平行移動概念，本研究也做出計算機(jī)模擬，其源碼放在參考文獻(xiàn)[24]中，執(zhí)行結(jié)果如圖11所示，它雖是動態(tài)演示，然而卻無法與指南車相比，因為指南車恰好提供一種手腦并用效果，只要動手做，能很快地把非常抽象的數(shù)理概念予以具體化，這對學(xué)習(xí)效果大有幫助，對前沿研究的養(yǎng)成教育亦有幫助，也提供看問題的多元角度，并有助提升中高等自然科學(xué)教育。

(6) 本文視指南車內(nèi)在運作機(jī)理為黑箱。本文乃研究指南車外在的運動規(guī)律，至于其內(nèi)在運作機(jī)理則視為黑箱，已與本文做了切割。關(guān)于指南車內(nèi)在運作機(jī)理的探討，將于文獻(xiàn)[4]做進(jìn)一步的研究。