☉浙江省杭州市文海實驗學(xué)校 徐宏暉

☉浙江省杭州市文海實驗學(xué)校 李衛(wèi)明

一、研究問題的背景分析

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與思維力緊密相關(guān)，數(shù)學(xué)從“雙基”到“四基”，都與思維力相輔相成，相得益彰.而現(xiàn)狀是學(xué)生迷失在題海中，失去了思考的動力，為了完成作業(yè)而做題.既為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和“四基”，也為了學(xué)生能脫離題海，我們需要合理設(shè)計作業(yè).

雖然目前我們有很多可以借鑒的好資源，例如，教材配套作業(yè)、各種教輔資料等，但各校的生源不同，決定了一套面向全體的作業(yè)不一定適合本校的實際，而且在學(xué)生思維力的培養(yǎng)上不能有所側(cè)重.拿來主義的作業(yè)不整合、不分層，往往造成有的學(xué)生吃不飽、有的學(xué)生吃不下，若增加量只會增加學(xué)生的負擔(dān)，但在思維力的培養(yǎng)上不見得有收益.編寫適合自己學(xué)生特點的作業(yè)迫在眉睫，編寫真正培養(yǎng)學(xué)生思維力的作業(yè)更迫不及待.在這樣的背景下，我們編寫了基于思維力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)校本作業(yè)，本文側(cè)重對每日一題進行研究與實踐.

二、研究指向

思維力是人腦對客觀事物間接的、概括的反映能力.當(dāng)人們在學(xué)會觀察事物之后，他逐漸會把各種不同的物品、事件、經(jīng)驗分類歸納，不同的類型他都能通過思維進行概括.思維力是整個智慧的核心，參與、支配著一切智力活動.每個人的學(xué)習(xí)、工作和生活都離不開思維力.筆者借助物理學(xué)力的分析，力具有三個基本要素：大小、方向、作用點，定義思維力同樣具有三個最基本的要素：大小、方向、作用點.

關(guān)于校本作業(yè)，在知網(wǎng)上可以查到60篇文章，有的從校本作業(yè)設(shè)計的原則與策略入手，有的從學(xué)情出發(fā)探索如何進行校本作業(yè)的設(shè)計，有的從提高數(shù)學(xué)作業(yè)效率的角度編寫校本作業(yè)，有的根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，結(jié)合本校的傳統(tǒng)和優(yōu)勢、學(xué)生的興趣和需要，設(shè)計校本作業(yè)，有的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，以提高學(xué)生在課堂上的求知欲為目標(biāo)設(shè)計校本作業(yè)，有的以當(dāng)前作業(yè)中存在的問題為背景設(shè)計校本作業(yè).知網(wǎng)上關(guān)于數(shù)學(xué)校本作業(yè)的研究不多，注重思維力培養(yǎng)的校本作業(yè)的研究更是沒有，因此筆者所在團隊想借校本作業(yè)編制的東風(fēng)，促進思維力的發(fā)展，嘗試專門設(shè)置一個板塊，以提高思維力培養(yǎng)的效果，而且可以讓學(xué)生主動參與到課堂教學(xué)中，能夠大膽創(chuàng)新.校本作業(yè)是根據(jù)各自學(xué)校的實際情況，由學(xué)校自發(fā)組織，教師自主編制的學(xué)生書面作業(yè).不同于以往的練習(xí)冊等配套教輔資料的形式，校本作業(yè)由教師自行編制，更能切合本校學(xué)生實際情況，是“因地制宜”教育思想的具體體現(xiàn).根據(jù)筆者團隊的實際情況及學(xué)生的學(xué)情，只對九年級校本作業(yè)中的“每日一題”進行研究與實踐.到時根據(jù)九年級的研究情況再推廣到七、八年級“每日一題”的研究與實踐.

三、研究過程

1.九年級校本作業(yè)每日一題的設(shè)計編制研究

本研究將對九年級校本作業(yè)中每日一題的編制進行深入探索，以吃準(zhǔn)教材的編寫意圖為前提，準(zhǔn)確把握教材考查要求，在鞏固學(xué)生所學(xué)知識的基礎(chǔ)上側(cè)重學(xué)生思維力的培養(yǎng).同時“每日一題”的編制會關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科的特點和學(xué)生認知的發(fā)展規(guī)律，滿足學(xué)生的需求，切實減輕學(xué)生的負擔(dān).例如，在“1.3二次函數(shù)圖像性質(zhì)”的“每日一題”中，我們編寫了這樣一題：

已知關(guān)于x的函數(shù)y=kx2+（2k-1）x-2（k為常數(shù)）.

（1）試說明：不論k取何值，此函數(shù)圖像一定經(jīng)過點（-2，0）.

（2）當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍.

（3）該函數(shù)是否存在最小值-3？若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由.

第（1）問建立在學(xué)生能熟練畫圖的基礎(chǔ)上，任取一個k都可以畫出一個函數(shù)圖像，不管取幾會發(fā)現(xiàn)都經(jīng)過點（-2，0），學(xué)生容易上手操作，當(dāng)然有學(xué)生可能也會這樣理解，不論k取何值都經(jīng)過點（-2，0），說明與k無關(guān)，合并k使其的系數(shù)為0.第（2）問與圖像性質(zhì)有關(guān)，因為已知只是說函數(shù)，所以首先要分類，k＝0（一次函數(shù)）或k≠0（二次函數(shù)），再利用一次函數(shù)或二次函數(shù)的圖像性質(zhì)解決，特別是二次函數(shù)的圖像性質(zhì)只跟開口方向與對稱軸有關(guān)，因此k≠0還要細分成k＞0和k＜0，再結(jié)合對稱軸判斷增減性，確定k的取值范圍.第（3）問的分類與第（2）問相同，當(dāng)k＝0或k＜0時，顯然不存在最小值，只有當(dāng)k＞0時可以利用頂點的縱坐標(biāo)公式代入解得.

這題的編制緊緊圍繞圖像展開，真正做到有圖有思路，利用圖像這個工具，把抽象的性質(zhì)直觀呈現(xiàn)出來，問題設(shè)計由易到難，層層深入，步步面向函數(shù)圖像性質(zhì)的本質(zhì)，既滿足知識點鞏固與練習(xí)的需求，也符合學(xué)生的認知特點，從隨便畫找出規(guī)律到有針對性地畫，畫出滿足條件的圖像再進行研究，對學(xué)生思維力的培養(yǎng)有重要意義.

2.每日一題的素材研究

（1）有效整合拓展數(shù)學(xué)課本資源.

將九年級教材中的例題、課后習(xí)題、探究活動、閱讀材料等內(nèi)容進行科學(xué)整合重組，形成每日一題，使之更適合學(xué)生思維力培養(yǎng)的需要.例如：

（九上教材P90例題）如圖1，等腰△ABC的頂角為50°，AB=AC，以AB為直徑作半圓交BC于點D，交AC于點E，求和所對圓心角的度數(shù).

每日一題改編：

如圖2，以△ABC的邊AB為直徑作半圓，分別交BC、AC于點D、E，且BD=DC.

（1）求證：△ABC是等腰三角形；

（2）當(dāng)AB=AC=13、BC=10時，求BE的長；

（3）連接DE，求證：2CD2=EC·AC.

幾何證明一直是學(xué)生感覺比較困難且掌握得不是很理想的內(nèi)容，圓周角相關(guān)的內(nèi)容是圓中考查的重點內(nèi)容.直徑所對圓周角等于90°能與等腰三角形的三線合一相結(jié)合，從計算看也可以用勾股定理，在圓的背景下也容易得到相似三角形，便于產(chǎn)生邊的比例關(guān)系和角的等量關(guān)系等.但學(xué)生往往不能綜合運用，融會貫通.本題想從教材出發(fā)，在不改變主要考查知識點的基礎(chǔ)上做出一些改變.例如，第（1）問剛好與教材中的問題反了一下.第（2）問想充分運用這個直角，考查三角函數(shù)的知識，或者說考查已知三邊求腰上的高，有多種方法可以解決.第（3）問想通過證明線段的比例關(guān)系，特別是含具體數(shù)的線段比例關(guān)系，在利用三線合一的基礎(chǔ)上利用相似三角形就可解決.題目來源于教材，改編于教材，促使學(xué)生重視教材，同時幫助學(xué)生對所學(xué)東西建立固著點，有本有源.學(xué)生在解決改編題的過程中思維力得到不斷挑戰(zhàn)與培養(yǎng)，也便于學(xué)生反思，促使學(xué)生思考，思維得到不斷提升與優(yōu)化.

（2）對現(xiàn)有資料的整合改編.

目前數(shù)學(xué)作業(yè)可供我們選擇的有《全效學(xué)習(xí)》《全優(yōu)新同步》《尖子生》《走進重高》《培優(yōu)班》，以及各類試卷，還有近幾年各地的中考題等，也有各種網(wǎng)站上可供選擇的資料.可供選擇的資料很多，但適合學(xué)生的不多，特別是培養(yǎng)學(xué)生思維力的不多.在適合教材要求的條件下，對現(xiàn)有資料進行整合、適當(dāng)改編，減少每天的作業(yè)量，同時提高解題的思維含量，培養(yǎng)學(xué)生的思維力.既要有基礎(chǔ)鞏固，又要有思維提升，改編重組十分必要.

整合改編的一般步驟：確定目標(biāo)→收集資料→交流討論→整合改編→實踐反思→二次討論→二次整合優(yōu)化→定稿.

例如，在編圓的綜合題時，目標(biāo)是重點考查與圓的切線相關(guān)的知識，通過各種資料與網(wǎng)絡(luò)收集各種與切線有關(guān)的綜合題，然后選擇合適的問題或改編成合適的問題得到下題：

如圖3，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，CO⊥AB于點O，弦CD與AB交于點F，過點D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，DE交AB的延長線交于點E.過點A作⊙O的切線交ED的延長線于點G.

（1）求證：GE是⊙O的切線.

（3）若OF∶OB=1∶3，BE=3，求OB的長.

第（1）問是切線的判定（證明），第（2）問是切線性質(zhì)及弧長公式的應(yīng)用（計算），第（3）問是利用切線性質(zhì)得到垂直，利用勾股定理建立方程解決.從切線的判定到切線的應(yīng)用，再到切線的創(chuàng)造性應(yīng)用，學(xué)生在解決問題鏈的過程中思維得到不斷鍛煉，思維力得到提升.實踐以后，根據(jù)學(xué)生反饋情況，確定是否要對條件或問題進行優(yōu)化，確定后再提交給下一屆使用，他們也可以根據(jù)自己學(xué)生的情況提出修改或優(yōu)化，最后確定使用.

（3）課堂生成問題的利用.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系.教案是教師對教學(xué)過程的“預(yù)設(shè)”，教案的形成依賴于教師對教材的理解、鉆研和再創(chuàng)造.實施教案，則是把“預(yù)設(shè)”轉(zhuǎn)化為實際的教學(xué)活動.在這個過程中，師生雙方的互動往往會“生成”一些新的教學(xué)資源.作為數(shù)學(xué)教師，我們要根據(jù)學(xué)科知識特點及學(xué)生認知特點關(guān)注課堂上即時生成的問題，捕捉教學(xué)資源，指導(dǎo)教學(xué)活動，進而促進學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)，提高教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的思維力.例如：

（九上教材P149作業(yè)題）有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120，BC邊上的高AD=80.如果把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，加工成的正方形零件的邊長是多少？

課上學(xué)生提出問題：如果把它加工成長方形零件，使長方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，加工成的長方形零件的最大面積是多少？（課堂上生成的問題：正方形改為長方形可以嗎？）

每日一題：在教材作業(yè)題相同條件下，在△APM中再作一個類似正方形.

（1）求邊長.

（2）若按之前的規(guī)律再在小三角形中作一個正方形，一直作n個，求第n個正方形的邊長.

教材例題利用相似求正方形的邊長，由相似得到對應(yīng)邊之比等于對應(yīng)高線之比，得到方程之解即可.學(xué)生生成的問題是把正方形的背景替換成長方形，看似相同卻又不同，相同的是對應(yīng)邊之比還等于對應(yīng)高線之比，但有兩個未知數(shù)，要求長方形的邊長，一個方程不能解決，需要改變問題：例如，問長方形長與寬的關(guān)系式；也可以給出長方形長與寬的比（如3∶2），求長方形的長或?qū)挼?

因為有了課堂上學(xué)生提出的問題，就順著學(xué)生的思考把“每日一題”進行了改編，再作一個小正方形，求小正方形的邊長.從思維上講就是教材例題問題解決的模型用兩次，只是計算復(fù)雜一點，學(xué)生的思維夠得著，可以試試.第（2）問求第n個正方形的邊長，不僅僅是應(yīng)用例題問題解決的方案及計算問題了，重復(fù)做可以，重復(fù)幾次呢？所以第（2）問的設(shè)計涉及探究規(guī)律，在前面計算的基礎(chǔ)上利用歸納法探究邊與已知條件中高的關(guān)系.

在學(xué)生做好“每日一題”的講評中，又有學(xué)生提出這個小正方形是否可以在△BPQ（△CNM）中或在兩個三角形中都作，作一個從本質(zhì)上看沒有變化，但作兩個的話求兩個小正方形的邊長有什么關(guān)系還是值得思考的.問題的關(guān)鍵是學(xué)生有不同的思考，有更深層次的思維值得欣喜.

3.每日一題編制的案例分析

從思維力培養(yǎng)的角度對每日一題編寫進行分析，從已知（多少）、求證求解（目標(biāo)）、過程方法思維展現(xiàn)（著力點）三個維度研究.本研究還將結(jié)合學(xué)生在做每日一題中的具體情況進行實證研究，并總結(jié)和梳理研究結(jié)果，形成案例，便于分析與分享.

學(xué)生思維展現(xiàn)（暴露）步驟：

仔細審題（找出已知條件、隱含條件及問題）—理解題意（利用定理、定義、概念等從已知條件、隱含條件中推出相應(yīng)的結(jié)論，作為備用條件，審題及理解題意即已知多少）—確定思路（結(jié)合問題組織已知條件、隱含條件及備用條件，選擇跟問題有關(guān)的有用信息，過程方法思維展現(xiàn)即著力點）—實踐反思（根據(jù)解題思路寫出證明過程，反思整個推理過程，若不嚴密或不準(zhǔn)確再重新審題，重復(fù)前面的步驟，即目標(biāo)），再借鑒SOLO分類評價法對學(xué)生展現(xiàn)的思維程度進行評價，反思“每日一題”的編制，再讓學(xué)生變式，完善思維過程.