陳巧陸 欣雨寧 詠梅 彭歡 許璐

摘 要 大學(xué)數(shù)學(xué)知識面更廣，難度更大，思維層次更高，它可以從不同角度、高觀點下去分析許多中學(xué)數(shù)學(xué)知識，對很多中學(xué)數(shù)學(xué)的解題具有指導(dǎo)作用。本文從高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、解析幾何等方面分別分析了它們對中學(xué)數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 線性代數(shù) 解析幾何 中學(xué)數(shù)學(xué) 指導(dǎo)作用

中圖分類號：G633.3文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

許多中學(xué)數(shù)學(xué)的知識，由于學(xué)生的可接受性原則和知識面所限，往往是以教育形態(tài)呈現(xiàn)，因此中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的一些知識內(nèi)容不可能嚴(yán)謹(jǐn)透徹，例如高中代數(shù)中的指數(shù)函數(shù)，然而要在中學(xué)階段講清這些問題往往是不大容易的，需要涉及極限理論。然而，我們利用高等數(shù)學(xué)的知識則能將中學(xué)數(shù)學(xué)中不能或很難徹底解決的基本理論加以嚴(yán)格地證明，使之更加清晰明了，易于接受，且初等數(shù)學(xué)問題往往以高等數(shù)學(xué)問題為背景，許多初等數(shù)學(xué)問題有極強的高等數(shù)學(xué)知識背景，特別是數(shù)學(xué)競賽中的一些命題更為突出，然而大多數(shù)中學(xué)生無法解決競賽中的一些問題，基于大學(xué)知識，將大學(xué)數(shù)學(xué)作為解決某些初等問題的手段和方法，研究大學(xué)數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)作用意義深刻。其主要思想和方法有：轉(zhuǎn)化與化歸;函數(shù)與方程;分類的思想;換元的思想;數(shù)形結(jié)合的思想等。下面從高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、解析幾何等方面分別分析說明它們對中學(xué)數(shù)學(xué)解題的一些指導(dǎo)作用。

1高等數(shù)學(xué)對中學(xué)數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)作用

中學(xué)數(shù)學(xué)在求函數(shù)單調(diào)性及極值時往往是運用定義法和分段討論法，這樣做比較復(fù)雜繁瑣，如果運用大學(xué)數(shù)學(xué)中的一階、二階導(dǎo)數(shù)則容易得多。還有不等式是初等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在初等和高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用極廣。不等式的證明方法很多，初等數(shù)學(xué)主要采用比較法、綜合法、放縮法等方法進(jìn)行證明，學(xué)生掌握起來較難，而用通過高等數(shù)學(xué)中構(gòu)建函數(shù)，以導(dǎo)數(shù)為工具進(jìn)行證明很容易得多等等。下面舉一例說明。

2線性代數(shù)對中學(xué)數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)作用

中學(xué)數(shù)學(xué)中求函數(shù)的迭代和求代數(shù)式的值等等?？梢岳镁€性代數(shù)中的矩陣或行列式來求解往往容易得多。特別是針對中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題，學(xué)生做起來一般都較難，而通過引入線性代數(shù)中的相關(guān)知識，往往會達(dá)到事半功倍的效果。下面舉一例說明。

3解析幾何對中學(xué)數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)作用

中學(xué)數(shù)學(xué)的立體幾何中點、線、面之間的各種關(guān)系都可以運用向量法也稱坐標(biāo)法來解決，特別是點到平面的距離，二面角等用向量法來求解或證明既簡單又可以定量計算。傳統(tǒng)方法求二面角的平面角是從公共棱上一點在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于公共棱的兩條射線，它們形成的角即是二面角的平面角，但是這一點往往很難找，不少學(xué)生無從下手。那么，如果引進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何中法向量的方向，則可以輕而易舉地求出二面角的平面角，限于篇幅，這里就不舉例說明了。

參考文獻(xiàn)

[1] 教育部考試中心.2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2] 許璐，許紹元.關(guān)于線性分式函數(shù)的n次迭代及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2006（36）：225-227.