董頂國(guó)

(上海市松江一中 201600)

圓錐曲線中距離問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.通常使用距離或弦長(zhǎng)公式轉(zhuǎn)化求解，但也有較多的距離問(wèn)題使用此法，要么難以解出、要么過(guò)于繁瑣.為了準(zhǔn)確選擇解題思路 , 快速解決此類問(wèn)題,本文對(duì)距離常見(jiàn)轉(zhuǎn)化作如下辨析.

一、利用兩點(diǎn)間的距離公式或弦長(zhǎng)公式結(jié)合曲線性質(zhì)建模求解

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2){x2+4y2=4,

點(diǎn)評(píng)該問(wèn)題中距離處理運(yùn)用公式常規(guī)轉(zhuǎn)化，但對(duì)|ST|的求解要結(jié)合圖形分類求解，較多的考題也結(jié)合曲線性質(zhì)和定義直接求解.

二、運(yùn)用射影思想降維轉(zhuǎn)化求解

將有關(guān)的線段投影到坐標(biāo)軸上，化二維空間的問(wèn)題為一維空間的問(wèn)題，結(jié)合曲線方程達(dá)到求解的目的.

解析問(wèn)題關(guān)鍵是對(duì)|OQ|·|OP|=|OR|2處理，把關(guān)系|OQ|·|OP|=|OR|2投影到x軸上降維求解.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查直線、橢圓的方程和性質(zhì)，軌跡方程求法.求解問(wèn)題的關(guān)鍵是合理降維.

三、借助曲線定義結(jié)合性質(zhì)求解

圓錐曲線的第一定義和第二定義都與距離有關(guān),利用這兩個(gè)定義可以把兩個(gè)動(dòng)距離的和、差、商轉(zhuǎn)化為定值, 結(jié)合性質(zhì)解決問(wèn)題.

解題分析(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min.

設(shè)圓(x+5)2+y2=4的圓心為F1(-5,0).

設(shè)圓(x-5)2+y2=1的圓心為F2(5,0),|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1.

所以(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=|PF1|+2-(|PF2|-1)=(|PF1|-|PF2|)+3=9

點(diǎn)評(píng)該類問(wèn)題的核心是利用圓的幾何性質(zhì)和雙曲線定義，把兩動(dòng)點(diǎn)距離化歸為動(dòng)點(diǎn)到圓心的距離問(wèn)題，減少了變量個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)化了思考過(guò)程.

四、距離關(guān)系轉(zhuǎn)換為向量關(guān)系求解

向量的模就是向量起點(diǎn)和終點(diǎn)間的距離 , 因而圓錐曲線中的距離問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為平面向量的模的問(wèn)題，化距離關(guān)系為向量關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)來(lái)解決.

設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，代入橢圓方程得：(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0.

點(diǎn)評(píng)將長(zhǎng)度關(guān)系向量化后，再將向量關(guān)系坐標(biāo)化時(shí)往往會(huì)遇到縱、橫坐標(biāo)的選取，選擇的原則是以簡(jiǎn)便為主.

五、中點(diǎn)公式法求解距離相等問(wèn)題

對(duì)于直線與兩種曲線相交所截得線段長(zhǎng)相等問(wèn)題，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決可收到事半功倍之效.

例5已知拋物線y2=x和圓(x-7)2+y2=5，過(guò)點(diǎn)P(a,0)作直線l交拋物線于A,B,交圓于C,D,(自下而上依次為B,D,C,A),且|AC|=|BD|,求a得取值范圍.

當(dāng)直線l的斜率存在設(shè)為k(k≠0)，方程為y=k(x-a).

∵|AC|=|BD|,

點(diǎn)評(píng)若|AC|=|BD|，則AB,CD的中點(diǎn)重合，反之也成立.由四點(diǎn)共線，等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩中點(diǎn)橫坐標(biāo)的相等.這一轉(zhuǎn)化充分利用了曲線的幾何性質(zhì)，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.