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        例談數(shù)列求和
        ——裂項相消法

        2019-09-19 08:47:36趙秋鳴
        數(shù)理化解題研究 2019年25期
        關鍵詞:裂項消法通項

        趙秋鳴

        (河北省唐山市第二中學 063000)

        數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,又是學習高等數(shù)學的基礎.等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項,數(shù)列求和等問題,每年都是考查的重點.數(shù)列求和的問題需要根據(jù)數(shù)列特點選擇解決方法,必須掌握常用的數(shù)列求和方法,數(shù)列求和的常見方法有錯位相減法、裂項相消法、分解轉(zhuǎn)化法、倒序相加法,數(shù)列求和往往和其他知識綜合在一起,綜合性較強.下面通過例題來說明用裂項相消法求數(shù)列前n項和,希望能對同學們有所幫助.

        例1已知等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn,等差數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),且a1=1,S5=25,S2=b2,S4=b4.

        (1)求{an}和{bn}的通項公式;

        ∴an=1+2(n-1)=2n-1.

        ∴S2=b2=4,S4=b4=16.

        ∵{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,

        ∴bn=b2qn-2=2n.

        點評本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、裂項求和方法,考查了推理能力與計算能力.

        例2已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2Sn+1,其中Sn為{an}的前n項和,n∈N*.

        (1)求an;

        分析(1)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2Sn+1,n≥2時,an=2Sn-1+1,相減可得:an+1-an=2an,即an+1=3an,利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.

        解(1)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2S1+1=3.an+1=2Sn+1,

        n≥2時,an=2Sn-1+1,

        相減可得:an+1-an=2an,即an+1=3an,n∈N*.

        ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比為3,首項為1.

        ∴an=3n-1.

        (2)數(shù)列{bn}滿足

        ∴{bn}的前n項和為

        對任意的正整數(shù)n都有Tn

        點評本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的定義通項公式、裂項求和、數(shù)列的單調(diào)性、對數(shù)運算性質(zhì),考查了推理能力與計算能力.

        例3設數(shù)列{an}的前n項和Sn,Sn=n2(n∈N*).

        (1)記bn=22n-1,求數(shù)列{bn}的前n項的和Tn;

        分析(1)根據(jù)當n≥2時,an=Sn-Sn-1,當n=1時,a1=S1,求出an=2n-1,從而求出bn=22n-1,用等比數(shù)列的前n項和公式可得答案;

        (2)利用“裂項求和”即可得出.

        解(1)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,

        當n=1時,S1=1,∴a1=1,符合上式,∴an=2n-1.

        ∵bn=22n-1,

        點評本題考查了等差數(shù)列前n項和與an的關系、等比數(shù)列的前n項和公式,裂項求和,考查了推理能力與計算能力.

        分析因為Tn←bn←Sn←an←a1,d,所以應確定{an}的首項及公差.

        Tn=b1+b2+b3+…+bn

        點評本題中的條件較多,通過分析找出基本量,簡化條件,同時明確解題方向. 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn使用的是裂項法.

        通過以上例題的分析,我們可以看到由于條件不同,裂項方法不同,具有很強的靈活性,但我想信只要同學們在平時學習中多練習這類題,能夠積累一些方法技巧,體會解法思路,肯定會有大的收獲.

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