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        關(guān)于求解數(shù)列的通項公式九種常見類型與方法

        2019-09-19 08:47:28何正文
        數(shù)理化解題研究 2019年25期
        關(guān)鍵詞:公比通項等式

        何正文

        (廣東省肇慶市百花中學(xué) 526000)

        求數(shù)列通項題型具有很強(qiáng)的規(guī)律性,本文對數(shù)列通項公式問題進(jìn)行九種分類與歸納,希望對廣大師生有借鑒之用.

        一、形如

        這種題型適合用迭加法進(jìn)行求解.

        例1已知數(shù)列{an}滿足an+1-an=2n+1,a1=1,求數(shù)列{an}的通項公式.

        解由an+1-an=2n+1得

        an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

        =[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)+1

        =(2n-1)+(2n-3)+…+5+3+1

        所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n2.

        二、形如

        這種題型適合用迭乘法進(jìn)行求解.

        ∵a1=3,

        三、形如 (其中p,q均為常數(shù))

        這種題型可以設(shè)an+1+λ=p(an+λ),解出λ,再化為等比數(shù)列求解.

        例3已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.

        解設(shè)an+1+λ=2(an+λ),則an+1=2an+λ.

        ∵an+1=2an+3,∴λ=3,∴an+1+3=2(an+3).

        ∵a1=1,∴a1+3=4,

        ∴{an+3}是以4為首項,公比為2的等比數(shù)列.

        ∴an+3=4×2n-1,∴an=2n+1-3.

        這種題型可以設(shè)an+1+λ·qn+1=p(an+λ·qn),解出λ,再化為等比數(shù)列求解.

        例4已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3×5n,a1=6,求數(shù)列{an}的通項公式.

        解∵an+1=2an+3×5n,設(shè)an+1+λ·5n+1=2(an+λ×5n),則an+1=2an-3λ×5n.

        ∵an+1=2an+3×5n,∴λ=-1.

        ∴an+1-5n+1=2(an-5n).∵a1=6,a1-5=1,

        ∴數(shù)列{an-5n}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

        ∴an-5n=1×2n-1,即an=2n-1+5n.

        五、形如

        這種題型可以先由n=1求出a1,再由遞推式求n≥2時的通項公式,最后一定要檢驗n=1該通項公式是否滿足.如滿足,則所求通項公式為整個函數(shù)的通項公式,如不滿足,則最后結(jié)果要以分段函數(shù)的形式表示.

        例5已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),求{an}的通項公式.

        ∴an=2×3n-2(n≥2).

        六、形如為常數(shù)

        七﹑形如an+1=pan+qn+r(pq≠0),p,q,r為常數(shù)

        這種題型可以設(shè)an+1+A(n+1)+B=p(an+An+B),對比前后兩式,求出A,B,再化為等比數(shù)列求解.

        例7設(shè)數(shù)列{an}:a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),求an.

        解設(shè)an+An+B=3[an-1+A(n-1)+B],則an+An+B=3an-1+3An-3A+3B,∴an=3an-1+2An+2B-3A.

        ∵an=3an-1+2n-1,∴A=1,B=1,

        ∴an+n+1=3[an-1+(n-1)+1].

        又∵a1=4,∴a1+1+1=6,

        ∴數(shù)列{an+n+1}是首項為6,公比為3的等比數(shù)列.

        ∴an+n+1=6×3n-1,∴an=2×3n-n-1

        八、形如

        這種類型可以分類看看,若p=1,則等式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù),化為lgan=rlgan-1,得到首項為lga1,公比為r的等比數(shù)列{lgan},進(jìn)一步求解即可;若p≠1,則等式兩邊取以p為底的對數(shù)得:logpan=rlogpan-1+1,可利用類型三求解.

        ∴{lgan}是首項為lg3,公比為2的等比數(shù)列.

        ∴l(xiāng)gan=2n-1lg3,

        ∴an=32n-1.

        九、形如an+2=pan+1+qan,p,q為常數(shù)

        這種題型可以把a(bǔ)n+2=pan+1+qan化成an+2+λan+1=p(an+1+λan),求{an+1+λan}通項,再用類型三,類型四方法求解.

        ∵a1=1,a2=2,∴a2-a1=1.

        ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

        以上為常見求數(shù)列通項公式的九種方法,其實數(shù)列通項公式的條件往往就有很強(qiáng)的指向性,只要把握好其中規(guī)律,結(jié)合方法總結(jié),就可以對癥下藥,理清思路,這類型的問題就自然迎刃而解.

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