王爾申，趙 珩，曲萍萍，龐 濤，孫 軍

(1.沈陽航空航天大學(xué) a.電子信息工程學(xué)院；b.遼寧省通用航空重點實驗室，沈陽 110136;2.中國人民解放軍93798部隊，沈陽 024413)

用戶測距誤差URE(User Range Error)是空間信號(SIS)精度的重要指標(biāo)之一[1]，SIS URE定義為導(dǎo)航衛(wèi)星位置與鐘差的實際值與利用預(yù)報衛(wèi)星星歷得到的預(yù)測值之差[2-4]，其主要反映了導(dǎo)航星歷和預(yù)報鐘差的精度。URE能夠綜合反映控制段、空間段對精度的影響，進(jìn)而反映衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的系統(tǒng)性能，其主要取決于衛(wèi)星的位置和鐘差的精度[5-6]。目前的URE計算方法有網(wǎng)格法和高精度的激光角反射器測量評估法，但由于計算量較大和不能廣泛分布等原因使這兩種方法都未能得到廣泛使用，其中激光測距法得到的數(shù)據(jù)可以減少衛(wèi)星坐標(biāo)與時鐘的相互影響[7-9]。廣播星歷采用本地接收機(jī)采集到的2018年11月13-14日共48小時的GPS和BDS廣播星歷和IGS提供的GPS和BDS精密星歷數(shù)據(jù)對GPS和北斗的空間信號精度進(jìn)行了評估。

對于精密星歷的處理，傳統(tǒng)的拉格朗日插值方法雖然具有較高的精度，但是隨著插值節(jié)點的增多，插值節(jié)點邊緣的精度會急劇下降，并出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。滑動式拉格朗日插值法處理精密星歷具有較高的精度和插值效率，且其精度能夠達(dá)到毫米級別[10-12]。文中采用10階拉格朗日滑動式分段插值法對精密星歷進(jìn)行處理，基于以上方法得到的數(shù)據(jù)，使用分段式評估模型對GPS和北斗導(dǎo)航系統(tǒng)的空間信號精度進(jìn)行了評估，其具有運(yùn)算量小、精度高的優(yōu)點。統(tǒng)計分析置信度為95%的GPS、BDS SIS URE、URRE(User Range Rate Error)、URAE(User Range Acceleration Error)。

1 SIS URE分段評估模型

SIS URE是指衛(wèi)星位置和鐘差的實際值和預(yù)測值之差。但由于衛(wèi)星的真實位置無法獲取，通常將事后精密星歷中取得的衛(wèi)星位置作為該時刻的真實衛(wèi)星位置。通常用瞬時URE和置信度為95%的URE表示SIS URE[13]。當(dāng)IURE～N(0,σ2)，則95%URE=URE(1s)×1.96。

通過廣播星歷和精密星歷，統(tǒng)計得出衛(wèi)星軌道的R，A，C，T，得出SIS URE的分段式計算公式為

rmsUREGPS=

(1)

SIS rms UREBDS(MEO)=

(2)

SIS rms UREBDS(GEO,IGSO)=

(3)

其中，R、A、C分別為徑向、切向、法向軌道誤差；c為光速；T為鐘差誤差。

通過GPS的接口控制說明文檔中的計算公式，計算出GPS在地心地固(ECEF)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。由于IGS提供的精密星歷時間間隔為15 min和5 min，無法滿足間隔30s的采樣率，因此通過10階拉格朗日插值法對精密星歷進(jìn)行內(nèi)插，以得到與廣播星歷對應(yīng)時間節(jié)點的真實衛(wèi)星位置?？紤]到由于插值節(jié)點增多帶來的龍格現(xiàn)象，文中選取10階滑動式拉格朗日插值法，取待插節(jié)點的前后各5組精密星歷數(shù)據(jù)作為插值區(qū)間，相比于其他算法，具有精度高、運(yùn)算量小等特點[10]。拉格朗日插值法的表達(dá)式為

(4)

其中，t為待插時間節(jié)點；t0,t1,t2，…，tn為n+1個待插值時間節(jié)點；y0,y1,y2，…，yn是與n+1個待插值時間節(jié)點對應(yīng)的精密星歷軌道誤差和鐘差分量。

選取部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)傳統(tǒng)的拉格朗日插值法進(jìn)行數(shù)據(jù)內(nèi)插，得到結(jié)果如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)拉格朗日插值法

從圖1可以看出，龍格現(xiàn)象對插值方法的影響主要集中在前后三個內(nèi)插節(jié)點。對PRN21采用間隔30 min數(shù)據(jù)作為已知點，對間隔15 min的數(shù)據(jù)根據(jù)滑動拉格朗日插值法進(jìn)行插值，得到結(jié)果如下：

圖2 GPS PRN21精密星歷插值精度

從圖2可以看到，對GPS精密星歷插值結(jié)果中，在x、y、z方向上的插值精度基本均優(yōu)于50 mm，滿足高精度的使用需求。

在此基礎(chǔ)上，得到對應(yīng)的R、A、C誤差

ECI=R(θ)·ECEF

(5)

ECI=R(θ)·CGCS2000

(6)

(7)

其中，ECI表示衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系下的軌道誤差；ECEF為在GPS衛(wèi)星在地心地固坐標(biāo)系下的衛(wèi)星軌道誤差；r為衛(wèi)星速度在衛(wèi)星到地心連線方向單位向量；v為衛(wèi)星速度在切向上的單位向量；c為垂直于軌道面的法向單位向量。

2 SIS URE數(shù)據(jù)處理與結(jié)果分析

(1)廣播星歷解析

廣播星歷使用本地接收機(jī)接收到的實測數(shù)據(jù)，仿真時間為2018年11月13日-14日。將GPS和BDS廣播星歷中得到的星歷參數(shù)分別代入GPS和北斗接口控制文件提到的相關(guān)模型中[14]，可計算得到GPS和北斗分別在地心地固坐標(biāo)系和北斗坐標(biāo)系下的軌道位置和鐘差。

(2)衛(wèi)星真實位置獲取

文中使用的GPS精密星歷是通過IGS(時間間隔為15 min)獲取，精密星歷具有精度高的特點，因為需要事后獲取，因此不具有實時性。IGS提供的精密星歷定位精度可達(dá)到5 cm左右，鐘差精度優(yōu)于1 ns，達(dá)到0.2～0.8 ns，因此一般將事后精密星歷作為衛(wèi)星的真實位置[11]。利用式(3)～(4)獲得與廣播星歷對應(yīng)時刻的衛(wèi)星真實位置和鐘差。

(3)SIS 軌道誤差及鐘差誤差計算

可以直接通過上述方法來計算GPS和BDS在仿真時段內(nèi)的SIS的徑向、切向、法向軌道誤差和鐘差誤差。在計算軌道誤差和鐘差誤差時需要解決以下幾個問題：

① 地心地固坐標(biāo)系、北斗坐標(biāo)系與軌道坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。GPS和BDS通過廣播星歷計算得到的衛(wèi)星位置屬于地心地固坐標(biāo)系和北斗坐標(biāo)系，在后續(xù)計算中涉及到地心地固坐標(biāo)系與軌道坐標(biāo)R、C、A之間的轉(zhuǎn)換問題。

② 剔除計算過程中的明顯粗差。在處理實測廣播星歷數(shù)據(jù)時，計算得到的軌道誤差、鐘差等數(shù)據(jù)波動較大，會出現(xiàn)較明顯的粗差，需要在對數(shù)據(jù)預(yù)處理的過程中剔除掉；例如廣播星歷中衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)標(biāo)識為“不健康”、精密星歷中出現(xiàn)的不正常的坐標(biāo)和鐘差等。此外，在計算衛(wèi)星位置過程中會有一些標(biāo)識為“健康”的衛(wèi)星，但對其計算得到的結(jié)果可能會包含粗差，這些也需要剔除。

使用式(5)～式(7)分別對GPS和BDS SIS URE進(jìn)行計算和統(tǒng)計，得到結(jié)果分別如圖3和圖4所示。

由圖3可知，2018年11月13日-14日可觀測到的GPS衛(wèi)星中，除PRN4始終無法觀測到和另外幾顆衛(wèi)星的樣本數(shù)據(jù)較少無法得出統(tǒng)計數(shù)據(jù)外，PRN1、PRN19和PRN23都大于2.5 m，其中PRN1的URE最大，接近3.5 m；其余衛(wèi)星的SIS URE均低于2 m，均優(yōu)于GPS標(biāo)準(zhǔn)性能文件中的指標(biāo)。受到徑向誤差的影響，使部分衛(wèi)星的SIS URE偏大，因此衛(wèi)星的徑向經(jīng)度對SIS URE有重要影響。

圖3 GPS SIS URE(95%置信度)

圖4 BDS SIS URE(95%置信度)

圖4為BDS SIS URE，從圖中可以看到部分衛(wèi)星樣本較少無法得到統(tǒng)計數(shù)，C4、C5、C7的URE均大于2 m，其中C5略大于2.5 m；其余衛(wèi)星均小于2 m，符合北斗標(biāo)準(zhǔn)性能服務(wù)規(guī)范中的指標(biāo)。

3 SIS URRE、URAE結(jié)果分析

大量研究表明，衛(wèi)星時鐘的不穩(wěn)定會引起較大的URRE和URAE誤差，時鐘的不穩(wěn)定性將直接反映在URRE和URAE中，其誤差可達(dá)到軌道誤差的10倍以上。常用的計算衛(wèi)星SIS URRE和SIS URAE有差分法和載波法，由于這兩種傳統(tǒng)方法均存在一定局限性，而高穩(wěn)定度振蕩器的頻率穩(wěn)定度的時域表征目前均采用Allan方差，因此本文采用交疊式Allan方差法來評估衛(wèi)星的URRE和URAE。

Allan方差基本原理：設(shè)系統(tǒng)采樣周期為τ，連續(xù)采樣N個數(shù)據(jù)點X(i),i=1,2,3,…，N。將其每按M個點進(jìn)行分組，則每組時間內(nèi)各點的均值序列Y(k) 為

(8)

從而差值序列D(k)為

D(k)=Y(k+M)-Y(k),k=1,2,…,N-2M+1

(9)

交疊式Allan方差表達(dá)式如下所示，其〈〉表示求取均值

(10)

文中以計算得到的鐘差作為初始樣本，使用式(8)～(10)，得到SIS URRE和SIS URAE，并統(tǒng)計得到仿真時段內(nèi)置信度為95%的SIS URRE和SIS URAE數(shù)據(jù)，如圖5和圖6所示。

圖5 GPS SIS URRE(95%置信度)

由圖5可以看到，除PRN4在仿真時段內(nèi)始終沒有被接收機(jī)觀測到外，其余所有GPS衛(wèi)星的SIS URRE均小于0.006 m/s，均優(yōu)于GPS SPS PS(2008)中的指標(biāo)。

圖6 GPS SIS URAE(95%置信度)

由圖6可以看出，除了由于換星等因素使PRN8和PRN24的SIS URAE偏大外，所有GPS可見衛(wèi)星的SIS URAE均優(yōu)于GPS PS SPS(2008)0.002 m/s2的指標(biāo)。

利用式(8)～式(10)，對BDS的URE數(shù)據(jù)進(jìn)行計算和統(tǒng)計，得到如圖7～8所示的BDS SIS URRE和URAE。

圖7 BDS SIS URRE(95%置信度)

由圖7知，在仿真時段內(nèi)所有可見BDS衛(wèi)星的SIS URRE均小于BDS接口文件中所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)0.006 m/s。

由圖8可知，在仿真時段內(nèi)所有可見BDS衛(wèi)星置信度為95%的SIS URAE均小于BDS接口文件中所規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)0.002 m/s2的指標(biāo)。

圖8 BDS SIS URAE(95%置信度)

4 結(jié)論

文中采用滑動式拉格朗日插值法對精密星歷進(jìn)行處理，仿真驗證了滑動式拉格朗日插值法的精度。并根據(jù)本地接收機(jī)實測廣播星歷數(shù)據(jù)對2018年11月13日-14日的GPS和北斗實測數(shù)據(jù)的SIS URE精度進(jìn)行了仿真驗證，仿真分析結(jié)果表明：在GPS可見衛(wèi)星中，除PRN1、PRN19和PRN23三顆衛(wèi)星的SIS URE大于指標(biāo)數(shù)值外，其余GPS衛(wèi)星的SIS URE均優(yōu)于指標(biāo)數(shù)值。對于BDS SIS URE，除C4、C5、C7外，其余衛(wèi)星的SIS URE均優(yōu)于接口文件中的指標(biāo)。GPS SIS URRE和URAE均優(yōu)于指標(biāo)數(shù)值。