摘 要：關(guān)于多面體外接球的表面積、體積的計算問題成為這幾年高考題型中的一個熱點和難點問題，也是很多考生最為頭疼的問題，往往感到無從下手。而解決這一問題的難點就在于正確找出球心，算出球的半徑。本文通過對近年高考試題的大量研究，以及連續(xù)多年高三一線的教學經(jīng)驗，就這一問題總結(jié)一些自己的經(jīng)驗，希望能使廣大在高三苦戰(zhàn)的莘莘學子撥云見日。

關(guān)鍵詞：多面體外接球;解法策略;計算問題

一、 規(guī)則多面體外接球半徑的計算方法

（一） 長方體的外接球問題

由于長方體是一個規(guī)則幾何體，并且各個面都是中心對稱圖形，所以它的八個頂點在球面上關(guān)于球心中心對稱，所以它的外接球的直徑就是長方體的體對角線，其公式為2R=a2+b2+c2（R為外接球半徑，a，b，c為長方體的長、寬、高）。

例：（2017天津，文11）已知一個正方形的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為 。

（二） 可補成長方體的多面體外接球問題

這類問題必然有三條側(cè)棱互相垂直。這時就可以直接用補體法，補成長方體，然后轉(zhuǎn)化為長方體的外接球問題解決就行。

例：如圖，四邊形ABCD是邊長為23的正方形（圖1），點E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點重合于點P（圖2），若四面體PAEF的四個頂點在同一球面上，則該球的表面積是（）

分析：因為本題有三個直角B、C、D重合于點P，所以在同一點處有三條兩兩垂直的直線，這為構(gòu)造長方體提供了有利的條件，這時，可以將圖形轉(zhuǎn)化成圖3。

（三） 正棱錐的外接球問題

因為正棱錐的頂點在底面上的攝影正好是底面正多邊形的中心，所以正棱錐的外接球的球心在它的高線上。這樣基本就確定了球心的位置，再設(shè)球心，運用勾股定理就能算出球的半徑。

（四） 棱柱的外接球問題

由于球的對稱性，棱柱的外接球的球心必然是和棱柱的兩個底面都平行，且和兩個底面距離都相等的大圓圓心。然后結(jié)合底面圖形的特點就能求出外接球的半徑。

（五） 可以建立空間直角坐標系的問題

這是這類問題的代數(shù)解法，其基本的解題思路是：建系，設(shè)球心，列等式（多應(yīng)用勾股定理或兩點間的距離公式），計算。這種做法思路簡單，但往往運算量比較大。

二、 不規(guī)則多面體外接球半徑的計算方法

解決這類問題的關(guān)鍵在充分研究多面體，盡量能求出各棱長以及個別面之間的關(guān)系，如垂直等。

（一） 球心在該多面體的某一條棱上的

這種題一般是這個多面體有一條棱最長，且它所對的角是直角。通過驗證其中點到各個頂點的距離相等就可以了。

例：已知三棱錐A-BCD中，AC=AD=2，BD=2，BC⊥BD，∠BDC=π3，則此三棱錐外接球的表面積為。

（二） 球心不在該多面體的任何面或棱上，但球心、小圓圓心能構(gòu)成平行四邊形或矩形

它是這類問題中最難，最讓人頭疼的。解決它的關(guān)鍵是通過棱的關(guān)系推出面的關(guān)系，尤其是垂直關(guān)系或夾角為30°、45°、60°最好。

例：已知一個四面體的一條邊長為6，其余邊長均為2，則此四面體的外接圓的半徑為（）

分析：本題的關(guān)鍵是由邊的關(guān)系，得出面ACD與面DBC垂直，球心在△DBC中心正上方，與△DBC中心，BC的中點構(gòu)成矩形（平行四邊形）。

（三） 涉及最值的問題

例：（2015年高考全國卷Ⅱ，9）已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點。若三棱錐O—ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）

A. 36π

B. 64π

C. 144π

D. 256π

分析：本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大是關(guān)鍵。

解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，V=13×12×R2×R=36。

得出R=6，所以S=4πR2=144π。

例：（2018年全國卷Ⅲ理）設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）

A. 123

B. 183

C. 243

D. 543

這類問題的關(guān)鍵是高是多少時，體積最大。如本題中當高為球的半徑加球心到△ABC的距離時，體積最大。

作為數(shù)學教師，要立足方法育人，作為學生學習數(shù)學更要講方法，解一道題不是能力，應(yīng)該通過解題培養(yǎng)自己的空間想象能力和識圖能力等數(shù)學基本素養(yǎng)，以達到由點到面、逐漸輻射的學習模式，達到觸類旁通的目的。以上是本人對多面體外接球的表面積、體積的計算問題的一點經(jīng)驗，總結(jié)如上，希望對各位學子在以后的學習和高考中有所幫助。

作者簡介：

郭喜宏，甘肅省平?jīng)鍪?，甘肅省平?jīng)鍪徐`臺縣第一中學。