孫四周

摘要：所有概念都處于一個系統(tǒng)之中，完全孤立的概念是沒有生命力的，或者說“是無法存在的”。任何一個概念，必存有上位概念、下位概念或平行概念中的一種或全部。概念教學應該始于學生的經(jīng)驗，遵循歸納的路徑，但并不意味著只能從下位概念開始。讓上位概念和平行概念充當先行組織者，實現(xiàn)對新概念的同化，倒是值得優(yōu)先考慮的方法。

關鍵詞：概念概念層級概念教學

一、為什么要談概念

先看兩個問題。請先試著自己回答，然后再往下看解析。

題1螺母受熱均勻膨脹后，內(nèi)孔直徑是擴大還是縮??？

題2lg x2=2lg x是不是恒等式？

第一個問題，首先要弄明白“均勻膨脹”的概念，否則便無法進入邏輯思考。“均勻膨脹”可以理解為：物體上任意兩點之間的距離增大相同的倍數(shù)。如此一來，內(nèi)孔直徑也“增大相同的倍數(shù)”，即擴大。

第二個問題中，什么叫“恒等式”？就是“在兩端都有意義時，等號一定成立的式子”，也就是說，此題并不要求對任意實數(shù)成立，也不要求兩端各自的定義域相同，只要兩端的定義域交集非空即可。因而是恒等式。

由此我們可以看到，做出判斷的唯一依據(jù)是概念，概念清晰了，推理也就清晰了。一個命題如此，一門學科也是如此。即使是一個非常龐大的理論體系，它的根本立足點還是概念。只要核心概念建立起來了，那個理論就算沒有完成，也至少是接近于完成。有人做過這樣的設想，假如把馬克思的《資本論》全部燒掉，僅僅留下“剩余價值”四個字，就可以把它重新寫出來;如果把伽利略的物理書全部燒掉，僅僅留下“運動”二字，也可以重新寫出來。同理，牛頓體系只要一個“力”，愛因斯坦理論只要一個“相對”，量子力學只要一個“量子”，麥克斯韋電磁理論只要一個“場”，微積分只需要一個“極限”……

美國科學哲學權威庫恩說：“如果因為一個突然的災難，人類喪失了所有的知識，那么，只要留下一個概念，人類遲早還會把這些知識重新寫出來，這個概念就是原子?！币馑际钦f，只要人類還有“原子”這個概念，那么此后的科學發(fā)展就能沿著曾經(jīng)走過的路再走一遍。

我國著名數(shù)學家華羅庚主張在學習中遇到困難的時候，要“退，足夠地退，退到最基本而不失去重要性的地方”。這樣的“地方”，其實就是概念。

這就是概念的作用，概念不僅僅是知識的固化，還蘊含著知識與能力，凝聚著過程與方法，體現(xiàn)著情感態(tài)度與價值觀。羅增儒教授在《中學數(shù)學教學參考（上旬）》2016年第3期和第4期上連載了長文《數(shù)學概念的理解和教學》，說明了他對概念教學的高度重視。此文也載入了我所見到的關于概念的最新的、比較有價值的材料。

二、概念的來源

（一）什么是概念

按照習以為常的說法，概念“是對事物本質的認識”。但也有一種觀點，認為概念只是一種“心理表征”——愛因斯坦就是這樣認為的。概念并不一定反映“本質屬性”，有的概念只是一種約定。有的概念表征的是本質，更多的則不是。

但不論哪種觀點，都認為概念是“思維的單元”，這個單元不論大小皆具有整體性，回想和應用時它都是整體呈現(xiàn)的，不耗費時間和精力，就像我們一眼就認出大象一樣。而且，認出大象并不比認出小狗耗費更多時間，因為兩者都不耗時。

古希臘哲學家認為形而上的知識是不變的，形而下的知識是可變的。老子也說：“天不變，道亦不變?！爆F(xiàn)在看來，他們?nèi)疾粚?，所有的概念包括“宇宙”的概念都是不斷發(fā)展的，宇宙之下更不應該有不變的東西。古希臘的宇宙是“月下世界”，哥白尼的宇宙是太陽系，愛因斯坦的宇宙限于銀河系，而現(xiàn)在我們知道，宇宙中有無數(shù)多個銀河系，可測的大約就有2000億個。

根據(jù)現(xiàn)象學的觀點，我對“本質認識”的說法抱有懷疑的態(tài)度。因為“本質”是無從知道的，我們只知道“認識”。小孩子頭腦中就有“爸爸”的概念，但他們肯定不知道爸爸的“本質是什么”;原始人也有“太陽”的概念（20000多年前的原始壁畫里出現(xiàn)了太陽），但他們也肯定不知道太陽的“本質是什么”;而我們對電子的認識是不是本質，還要等待檢驗，因為它已經(jīng)變過多次了。所有的概念都是隨時可以發(fā)展、隨時可能被推翻的，就連陰陽、以太、燃素那樣曾經(jīng)統(tǒng)治人們思想的“絕對核心”概念，都已經(jīng)被徹底拋棄了。我們現(xiàn)在的認識有沒有真的反映“本質”，實在很難說。

教師很特殊。第一，從角色定位上看，他必須把知識看作是穩(wěn)定的，否則其所傳的“道”和所授的“業(yè)”便失去正當性;第二，在工作中，教師還要把學生眼里的知識看作是發(fā)展的，處于動態(tài)生成的過程中。第三，如果剝離掉社會角色、撇開工作，作為獨立的人怎樣看待人類知識，是需要繼承還是需要反思，就在于各人了，因此又具有更大的不確定性。

（二）概念的形成過程

概念形成于人的頭腦之中，源于外界信息的刺激;但是如果離開了人腦的反映，一切的刺激都不具有意義。人腦對感知到的信息給予解釋，如果解釋是凝聚的、有獨立建構傾向的，就會指向一個具體的外界物體或人類意識，就有可能形成一個表象。比如光線進入人的眼睛，如果你把它解釋成“光明”，那就不是凝聚性的而是發(fā)散的，在這個解釋下你不能形成任何具體的認識;而如果你把它解釋成“光源”，就是向著剝離出獨立物體的方向邁進了;很可能你不會就此停止，而是再做辨認，也許經(jīng)過多次的反復，最后認出了發(fā)光物體的輪廓，把它與鄰近的物體區(qū)分開來。這就形成了表象。表象是模糊的、整體性的，人能感覺其存在，卻不能清晰地描述出來。這有點像中國畫中的寫意山水，飄忽不定。對表象進一步解釋，即在內(nèi)部細節(jié)上確認，在外部聯(lián)系上豐富，就形成了一個獨立的認知單元，就像西洋畫中的寫生實物，清晰而穩(wěn)定。這就形成了概念。概念以其清晰，故而可以表述，也可用于論證。表象因其含混，難以為外人道，但它代表了想象的自由，在創(chuàng)造性上更有潛力。心理學上有一種“舌尖現(xiàn)象”，是說某個東西只差一點點就能說出來，卻又始終說不出，指的就是表象的發(fā)展已經(jīng)到了概念的邊緣。

概念的演進過程是：感知→表象→概念。而人為了在頭腦中建構起一個概念，可能在感知和表象之間進行多次的反復（如圖1），一旦某個概念建構完成以后，它就穩(wěn)定了下來，并可用以組織其他概念。清晰起來的，不會再模糊;穩(wěn)定下來的，不會再含混。這就是認識發(fā)展的棘輪效應，即只向前進不向后退的認知規(guī)律（遺忘不是認識的倒退，而是失去認識）。

當然，清晰性與穩(wěn)定性不是自動形成的，它不是知識本身的屬性，而是人腦對知識的組織程度。如果不經(jīng)過自己主動、積極的建構，人就無法形成一個概念。比如，老師把一個概念的形成過程的每一步都告訴學生，學生也“知道”或記住了這個過程，這并不能讓學生在頭腦中形成概念，甚至連表象都不能形成。這樣的“告知教學”就沒有效果。就算學生聽得非常認真，每一個字都沒有遺漏，全都清清楚楚地記在筆記本上，也不能有任何收獲——所以，一定不要用“告知”的方法教概念，這應該作為教師的職業(yè)倫理。

（三）如何定義概念

概念必須能夠被清晰地表達，學術上的行為就是“下定義”。即用已知概念說明未知概念，前者叫作定義項，后者叫作被定義項。例如，“有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)”，“有理數(shù)與無理數(shù)”是定義項，“實數(shù)”是被定義項;“平行四邊形是兩組對邊分別平行的四邊形”，“平行四邊形”是被定義項，“兩組對邊分別平行的四邊形”是定義項。也許你會想：最原始的概念又是如何定義的呢？最原始的概念是不加定義的，其意義借助于其他術語和對它們各自的特征給予形象的描述。

下定義（或形成定義）的方法一般有下列幾種：

1.直覺定義法——最初的定義方法。

直覺定義法就是憑直覺產(chǎn)生概念，這些概念不能用其他概念來解釋，故稱為原始概念。如幾何中的點、直線、平面、集合、元素、對應等。

2.“屬+種差”定義法——內(nèi)涵式定義方法。

“屬+種差”定義法，即：被定義的概念=最鄰近的屬概念+種差?！白钹徑膶俑拍睢保褪前欢x概念的最小的屬概念;“種差”，就是被定義概念在“屬”內(nèi)最鄰近的種概念里區(qū)別于其他概念的屬性。如“等腰梯形是兩腰相等的梯形”“直角梯形是有一個底角是直角的梯形”“等腰三角形是兩邊相等的三角形”等。這種定義方法揭示了概念的內(nèi)涵，既準確又明了，有助于建立概念之間的聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化，因此應用較多。

3.發(fā)生式定義法——構造性定義方法。

發(fā)生式定義法，是通過對被定義概念的發(fā)生過程或形成的特征的描述，來揭示被定義概念的屬性的定義方法。如“平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于定值的點的軌跡叫作橢圓（附加數(shù)值限制）”“矩形繞著它的一條邊所在直線旋轉一周所圍成的幾何體叫圓柱”。

這種定義法也被有些人看作是“屬+種差”定義法的一種特殊形式。定義中的種差是描述被定義概念的發(fā)生過程或形成的特征，而不是揭示被定義概念的特有屬性。而羅增儒教授則認為，“‘屬+種差’定義法是發(fā)生式定義法的特例”。

4.逆式定義法——外延式定義方法。

逆式定義法又叫歸納定義法。如“整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”“正弦、余弦、正切和余切函數(shù)叫作三角函數(shù)”“橢圓、雙曲線和拋物線叫作圓錐曲線”“邏輯的和、非、積運算叫作邏輯運算”等。

5.約定式定義法。

指由于實踐需要或自身發(fā)展的需要而被指定的概念。比如，一些特定的數(shù)，圓周率π、自然對數(shù)的底e等;一些人為的約定，“0！=1”“零向量的方向是任意的”等。約定要符合兩個原則：一是有必要，二是無矛盾。0的0次方不能規(guī)定為任何數(shù)，只能說它無意義?！盁o意義”也是一種規(guī)定，在這種規(guī)定下，“無意義”就是它的意義。對此我們早已熟悉，比如“90°的正切”意義是非常明確的，那就是“無意義”。相應的，復數(shù)0的輻角的意義就不是“無意義”而是“任意實數(shù)值”。

此外，還有刻畫性定義、過程性定義、公理法定義等。

既然是定義，就必須符合下列要求：第一，定義應當相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小，既不寬也不窄。如“無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)”，以“無限小數(shù)”來定義無理數(shù)則外延過寬，以開不盡方根的數(shù)來定義無理數(shù)則外延過窄，它們都是錯誤的。第二，定義不能循環(huán)。即在同一個科學系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，同時又以B概念來定義A概念。如“90°的角叫作直角，直角的九十分之一叫作1°的角”，這就發(fā)生了循環(huán)。第三，定義應清楚、簡明，一般不用否定的形式，絕不能用未知的概念。比如，“筆直筆直的線叫作直線”是定義不清楚;“兩組對邊互相平行的平面四邊形叫平行四邊形”是定義不簡明;“不是有理數(shù)的數(shù)叫作無理數(shù)”是否定形式;對初中生來說，“在復數(shù)a+bi中，虛部b=0的數(shù)叫作實數(shù)”則是應用了未知概念。這些都是不妥的。用否定形式下定義，即使符合邏輯，也不符合人的心理習慣。我留意過這樣的現(xiàn)象：在老師問“什么叫平面外直線”時，學生更愿意回答“是指直線與平面相交或者平行”，而不愿意回答“直線不在平面內(nèi)”，盡管后一個說法是正確的而且更簡潔。

以上是邏輯學中的要求，知道這一點，有利于教師塑造自己對概念的看法。在具體面對一個概念的時候，可以不去深究它是用哪種方式定義的，因為這基本不影響對概念本身的理解和掌握。

三、概念教學的現(xiàn)狀

張奠宙、羅增儒、章建躍、李善良等對目前概念教學的形勢都有分析，認為一線教師對概念教學的態(tài)度大致存在以下一些不足：

其一，直接呈現(xiàn)結果，然后是記憶和辨析。張奠宙稱之為“掐頭去尾燒中斷”。

其二，盡快地告知學生定義，還從多個方面諄諄告誡。這就是李善良在多個場合質疑過的“一個定義，幾項注意”，羅增儒和章建躍的文章中對此也都有批評。

其三，學生自己看書記定義，然后相互背誦;或者老師提問背誦，名曰“閱讀”或“自學”。

上述做法的出發(fā)點是“盡快進入問題解決的教學”，認為解題的能力才是數(shù)學能力，因為“會解題”與“得高分”是等價的?！暗酶叻帧钡亩ㄎ皇艿搅藢W生、家長和社會的一致歡迎，以至于大量的解題教學屢禁不絕，概念教學反被虛化。

在路上走得久了，我們已經(jīng)忘了為什么出發(fā)，還以為走路就是我們的全部;題目解得多了，我們忘了為什么要解題，還以為解題就是數(shù)學的全部。當然，反復操練或者題海戰(zhàn)術，也會在不同角度、不同場合應用概念，也能在一定程度上促進學生對概念的差異性及共同性的認識。也就是說，解題教學并不是反概念的，但其教學重心不在概念而在程序或技巧。

最近，李邦河院士的一句話很流行：“數(shù)學是玩概念的，技巧無足道也。”“回歸概念，不忘初心?！边@是筆者寫作本文的立意。

四、概念的相對層級：上位概念、平行概念和下位概念

（一）概念分層

所有概念都處于一個系統(tǒng)之中，完全孤立的概念是沒有生命力的，或者說“是無法存在的”。任何一個概念，必存有上位概念、下位概念或平行概念中的一種或全部（如圖2）。相對來說，下位概念是特殊的、具體的、可感的;上位概念是一般的、抽象的、不可感的。心理學告訴我們，人的認識總是從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性的。這就是說，“人的認識是從下位概念走向上位概念的”，它遵循的是歸納的思維方式。教育學又

告訴我們，教學行為必須遵循人類認識的一般規(guī)律。這就得出一個推論：學習概念必須從下位概念開始，按照歸納的路徑獲得。教育學理論普遍要求我們這樣做。

但是，上位概念有更大的概括性和更強的認識功能。比如，愛斯基摩人從來沒有一個“雪”的概念，他們對綿軟的雪、干硬的雪、斜飄的雪、飛舞的雪、落在地上的雪、落在石頭上的雪、落在樹上的雪、將化的雪、化了一半的雪，等等，都給出了具體的名稱。滿族人也類似，老滿語中記錄雪的單詞達110多個，卻不見統(tǒng)一的“雪”的名稱，說“降雪量”這個詞他們是不懂的。如果要問一年下了多少雪，愛斯基摩人就會分別告訴你綿軟的雪下了多少、干硬的雪下了多少……我們用一個“降雪量”就夠了，他們卻不能聽懂。而在我們用降雨量、降雪量、降雹量、降霜量等做思考的時候，氣象學家卻用上了“降水量”這個詞。所以，如果有可能，我們就應該不斷去追求更上位的概念。人類文明的進化亦是如此。

我們知道，最初幾何概念的形成相當艱難。在300萬年的歷史中，一直到了古希臘才有明確的幾何概念。歐氏幾何發(fā)展了2000多年才進化出羅氏幾何，而且羅氏幾何竟然是幾乎同時、在不同地方由多個人獨立完成的（已知的就有羅巴切夫斯基、高斯、鮑耶）。這說明，經(jīng)過長期的具體研究，人類已經(jīng)走到了形成頓悟的門檻邊。在羅氏幾何問世后，黎曼幾何立刻就被構造出來，原因很簡單，羅氏幾何與黎曼幾何是平行概念，而且兩者的種差（“三角形的內(nèi)角和小于180°”和“三角形的內(nèi)角和大于180°”）太容易被發(fā)現(xiàn)，幾乎一眼就可以看到。再接下來，在歐氏、羅氏、黎氏之上，還有更上位的幾何學嗎？有的，那就是絕對幾何。這個上位概念的產(chǎn)生又非一般人可以完成，連高斯都沒有做到，黎曼也沒有做到（他太早地去世被認為是一個原因）。完成絕對幾何的是20世紀初的頂尖數(shù)學大師希爾伯特，他的《幾何基礎》構造了一種到現(xiàn)在仍然是最上位的幾何概念。那么，還有沒有比“絕對幾何”更上位的概念？目前人類連想象它的勇氣都沒有?！敖^對幾何”這個名字體現(xiàn)的究竟是傲慢還是無知，就在于各人的理解了。

很顯然，如果從上位概念開始學習，則效率一定會很高，前提是必須掌握了這個上位概念;從平行概念開始學習，也很好，同樣必須已經(jīng)掌握了這個平行概念;如果前面兩個前提條件都不具備，便只有從下位概念開始學習了。也就是說，選擇概念教學的先行組織者應該遵循這樣的次序：上位概念→平行概念→下位概念。比如，從“對稱圖形”來學習“橢圓的對稱性”，是從上位概念開始學習;從“橢圓的對稱性”學習“雙曲線的對稱性”，是從平行概念開始學習;從“點的對稱性”學習“橢圓的對稱性”，則是從下位概念開始學習。

這似乎與上面所說的“人類的認知規(guī)律”相矛盾，也為教育學理論所不容。但是，我實在無法割舍對上位概念和平行概念的偏愛，我也相信會有許多人與我持類似的觀點。難道我們的直覺錯了，我們的堅持是無理的？進一步分析，發(fā)現(xiàn)并非如此。

人類的認識從特殊到一般、從具體到抽象是毫無疑問的，但那是在人類認識推進的過程中，是在沒有上位概念和平行概念下的無奈之舉。教學是在人類認識已經(jīng)完成的情況下的學習活動，發(fā)現(xiàn)式教學、探究式教學也不是學生完全自己在做，還有老師在場。那么，老師能做什么？能選擇學習資料和學習次序。在上位概念已經(jīng)學會的前提下，我們當然可以選擇從它開始，平行概念也是如此。有這種可能性嗎？不光有，還很多。人可以通過某一些下位概念把某個上位概念掌握了。再回過頭來認識其余的下位，到那時就當然可以用那個上位概念充當先行組織者。比如蘇教版高中數(shù)學必修一對函數(shù)的處理就是這樣：先講“函數(shù)”概念，然后再講指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等;先講一般函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，再講具體函數(shù)的性質。至于“函數(shù)”的概念是怎么學會的呢？那是通過學習正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，由下位概念發(fā)展而來。它起到了非常好的先行組織者作用，為后續(xù)的數(shù)學教學提供了難以估量的幫助。

如此，我們在心理上可以認為對概念教學的認識已經(jīng)清楚了一些。

按照認識論，從下位概念到上位概念，是歸納;平行概念之間，是類比;從上位概念到下位概念，是演繹。歸納更貼近于人的經(jīng)驗，更親切;演繹更有學術味，更有力。如果能找到一個既親切又有力的途徑，那是最理想的。這只能到上位概念或平行概念那里去找，因為只有“有力”的才能被熱愛，它可以給人的學習帶來實際收益。單純的“親切”在“有力”面前沒有競爭力，更別說在那些“既親切又有力”的面前了。

按照學習論，同化比順應更容易。那么，從下位概念到上位概念，兩個平行概念之間，以及從上位概念到下位概念，哪一種路徑是同化，哪一種路徑是順應呢？這不是可以簡單劃分的。不過，我確信已經(jīng)找到了“在概念教學中把本屬于順應的處理成同化”的方法，這會給概念教學帶來巨大的實用價值。

（二）概念分層對教育的價值

看兩個案例。

第一個案例——說到“山竹”一詞，別人不知道，你就要進行解釋，你很可能按如下的順序：

第一句：“它是一種水果”;

第二句：“像獼猴桃那樣大小”;

第三句：“肉是白色的，很好吃”;

第四句：“三分酸，七分甜，糯糯的，還有一點香味”。注意，你是從大往小說的，開始是一個很大的“屬”概念，越說越具體，而不是相反。

第二個案例——中國古代有個概念叫“陽數(shù)”，如果你問“陽數(shù)”是什么？我可以有不同的回答：

“陽數(shù)是一種數(shù)”——這是上位概念;

“陽數(shù)就是奇數(shù)”——這是等價概念;

“陽數(shù)是與陰數(shù)相對的數(shù)”——這是平行概念;

“1、3、5、7等，就是陽數(shù)”——這是下位概念。哪一種介紹更高效？第二種，等價概念！等價概念其實就是它本身，名稱不同而已。當然，不是所有的概念都有等價概念。除去等價概念以外，哪一個更好？上位概念和平行概念。有人可能認為“告訴他1、3、5、7”也很好，確實如此，但是這里有個前提：他的頭腦里必須有“奇數(shù)”的概念，在別人說到1、3、5、7的時候，他就把奇數(shù)的概念提取出來。實際上，他“聽到”的不是1、3、5、7這幾個具體數(shù)，而是頭腦中熟悉的一個“類”。反之，對于沒有“奇數(shù)”概念的人，這樣的學習效率是很低下的。

概念的分層可以讓你在設計教學方案時有全局的分析，從而有開闊的視野。

五、概念教學四原則

（一）經(jīng)驗原則

并不是上位概念就更難理解，下位概念就更好理解?；蛘哒f，并不是“一般的”就比“特殊的”更難認識。比如，整數(shù)與質數(shù)，還是“一般的”整數(shù)比“特殊的”質數(shù)好認識;理想數(shù)更特殊，卻更難認識。認識的難易程度決定于人們的生活經(jīng)驗，與人類感官最接近的東西是最容易認識的。尺寸上和人體大小比較接近的物體容易被認識，太大或太小都不容易。比如，太大的宇宙、太小的夸克就不好認識，而石頭、樹木很好認識;豬、馬、牛、羊都好認識，細菌、病毒就不好認識。

常熟有位高中數(shù)學教師在教學斜率時，用了上虞山和下虞山所體會到的不同坡度——上山時有些路段是坡度較小的，有些路段是坡度較大的，有些路段則是平的;下山時也是。常熟的學生對此有真切的體驗，或者說有生活的經(jīng)驗，經(jīng)過比較輕度的抽象就可以形成數(shù)學上的斜率概念。這是非常值得稱道的教學設計。

類似的設計還有通過站隊講排列組合、通過抓鬮講概率、通過旗桿講線面垂直等，優(yōu)秀課例很多。

即使是離生活很遠的概念，在教學時也要盡量拉近它與生活的距離，從而降低抽象的梯度。比如蘇教版高中數(shù)學必修一首先給出了映射的概念，而這個概念在其他地方?jīng)]有用到過，以后也不再用，引入這個概念干什么？我認為，它的一個重要作用就是為理解函數(shù)提供更好的上位概念。難道映射比函數(shù)更好理解嗎？是的。因為映射是用“集合”和“對應”來定義的，而我們太清楚了，“集合”和“對應”都是原始概念，是不需要定義卻又在我們的經(jīng)驗之中的。如此，用直觀、經(jīng)驗先建立一個上位概念，再用它統(tǒng)領更難理解的下位概念，可見教材處理確實高明。

（二）直觀原則

講一個我認識絞股藍的故事——絞股藍是一種植物，可以做成茶，有降血脂、護血管的功效，對中老年人有很大的保健作用。又因為它只生長在南方，因而被稱為南方人參。蘇州的野外就生長有很多的絞股藍，你想不想認識它？

——如果你說“想”，那么我這個情境設置就是成功的。但是在我從北方初到蘇州的時候，北方的朋友告訴我可以自己去采摘，但我卻不認識絞股藍。朋友就跟我說絞股藍是××科、××屬、××種，說得很詳細、很準確，并且拍了照片發(fā)給我，可我還是不能認識它。后來他改變了方法說：拉拉秧你認識不？我說那太熟悉了。他就說：絞股藍與拉拉秧幾乎一模一樣，就是沒有那些小刺，因而不刺人。這樣我一下子就在路邊發(fā)現(xiàn)了好多絞股藍植株，而且發(fā)現(xiàn)了好幾個不同的品種，比如5葉的、7葉的、9葉的。朋友給我提供了一個平行概念“拉拉秧”，而且是非常形象、非常清晰的平行概念。而“××科、××屬、××種”之類的，雖然是上位概念但是它不屬于我，對我而言就沒有意義。

最好的理解是形成直覺。事實上，我們的行為多數(shù)也是基于直覺，在生活中動用嚴密的邏輯思維的時候并不多。一方面，邏輯思維耗費太大的能量;另一方面，人需要快速反應，反應快的個體才能獲得機會。

（三）歸納原則

歸納是學習的重要原則，但是不能將其當作教條。因為歸納代價太大，視野也太有限。

比如，我們追求“深刻而全面地認識世界”，“全面”需要依靠歸納，“深刻”就只能利用演繹了。歸納是綜合性的，依賴經(jīng)驗，所至不遠;演繹是解析性的，依靠邏輯，可到無限。蘇格拉底說“一切的經(jīng)驗科學都是材料的奴隸”，而且，材料越多人所受的奴役就越大。丹麥天文學家第谷對星空做了一生的觀測，積累了海量的數(shù)據(jù)，其精確度達到了人類視力的極限，但是，他只能把數(shù)據(jù)用以繪制更為精確的星圖和星表，在理論上他基本沒有建樹。接替他的是開普勒，他高度近視、體弱多病，連起碼的天文觀測都不能做，但是他用數(shù)學的推演發(fā)現(xiàn)了行星運動三大定律，成為“太空立法者”。牛頓則更近一步，他把行星的運動與地面物體的運動放在一起，建構了更一般化的力學公理化體系，威力更大——開普勒用了十余年時間發(fā)現(xiàn)的行星周期律，牛頓只用5分鐘就推演出來了。這就是演繹的力量！

當然，這不是要拋棄歸納，而是要時刻記得演繹是可選項之一。如果能將演繹與歸納并用，則毫無疑問要放棄純粹的歸納。越是體系成熟的學科越是這樣。越是到高年級的學習，越要這樣。

（四）整體原則

這是龐加萊講過的一個故事——教室里，先生對學生說“圓周是平面內(nèi)到同一個定點的距離等于同一個常數(shù)的點的軌跡”，學生抄在筆記上，可是誰也不明白圓周是什么。于是，先生拿起粉筆在黑板上畫了一個圓圈，學生立刻歡呼：“圓周就是圓圈啊，明白了?！闭w認知的重要性由此可見。

圓的上位概念是“軌跡”，是否能用“軌跡”來教圓，要看學生頭腦里有沒有“軌跡”這個實在概念。

下面說一個盲人摸象的故事——盲人可以通過摸，知道象腿的高度和粗度、象牙的長度和硬度、象鼻的溫度和柔軟度、象耳朵的寬度和厚度等，但是，不論他們各自把局部屬性認識到何等精細的程度，也不會形成正確的“大象”概念。以前我們認為那是因為盲人沒能全面地掌握信息，現(xiàn)在看來這種說法不對?？梢赃@樣設想：如果這些盲人都非常善于表達，都把自己知道的精細感覺或數(shù)據(jù)全部轉告同一個人——同樣是一個盲人。也就是說，最后的那個盲人掌握了大象的各個部分的全部信息，并且那些信息都是準確無誤的。試問：那個“全知的”盲人是否能形成對“大象”的正確認識？我認為不會。與之相反的是，我們遠遠地望見哪怕是很模糊的身影，就能認出大象來。即使我們沒有去測量各種尺寸，沒有去感受各種細節(jié)。

如果你要教孩子認識大象，一定是把他帶到大象跟前說：“看，這就是大象?！睂嵲诓坏靡眩矔钢笙髨D片這樣教。而有了這個總體印象以后，再說鼻子、腿、耳朵等細節(jié)才有意義，這時，那些器官是作為“象的鼻子”“象的腿”“象的耳朵”被認識的。在教孩子認識大象的時候，沒有人會從細節(jié)到整體——比如先蓋住整個大象——一點一點地順次介紹說：“看，這是腿;看，這是鼻子……”

這里，我們看到的以及你想向孩子呈現(xiàn)的都是一個東西：現(xiàn)象。從現(xiàn)象中，人的感官采集到了一個結構性的信息，大象的概念瞬間形成。教學就應該這樣：給學生一個現(xiàn)象，學生通過自己的信息采集和加工形成認知。那樣的知識就是實在的，也是可以牢固記憶的。

要特別說明的是，概念教學最初呈現(xiàn)的應該是正面例子，而不是反面例子。反面例子是用來辨析的，我以為，辨析必須在概念形成之后。就比如教孩子認識大象，先牽出一匹馬說：“看，這不是大象?！薄@是荒唐可笑的。但這恰恰又是從局部到整體的概念教學的常態(tài)，必須通過差異性識別、通過對比，來凸顯自己所要的“本質屬性”。而在整體原則之下，我們不可能這樣做，這時就看出整體原則的好處了。

羅增儒教授說，“提供一類事物的不同例子，通過辨別，分化出各個例子的屬性”，“再概括出各個例子的共同屬性，進而提煉出本質屬性”，我不認可。我認為羅教授所說的“不同例子”的最大作用在于形成整體印象，這是“整合”而不是“分化”。所提供的例子固然是不同的，但要照顧到它們的相同特征，從而容易歸類。至于“各個例子的屬性”，那是太多了，即使單就它們的公共部分來說，也是很多的。而對它們共有的“本質屬性”的選擇，首先需要一個“選擇的標準”。但是，在概念建立起來之前，你的眼里是沒有明確標準的，這時候，就必須要體驗“類”的標準。就好像在滿屋的美人中，你一眼就看到令你心動的那一位，說明她與你的審美標準最契合，如果你根本就沒有審美標準，那看誰都一樣。

六、概念教學設計

你看中國古代的數(shù)學書時不知道什么叫“圭竇”，但當別人說“就是拋物線”，便一下子明白了。同樣地，“陶丘”就是雙曲線。顯然，從等價概念開始教學是最理想的（前提是有等價概念）。其次就是上位概念或平行概念，最次的是下位概念。孫子兵法云：“上計罰謀，其次伐交，再次伐兵，其下攻城。攻城之法為不得已?！睂獊砜?，上位概念就是“謀”，平行概念就是“交”，下位概念就是“兵”和“城”。最幸運的情況是用等價概念進行教學，那就是“不戰(zhàn)而屈人之兵”，屬于“上之上者也”。

對于常態(tài)化的概念教學，按照優(yōu)先次序列出的方案如表1所示。

對表中方案，有四點說明：（1）“最簡單”和“最困難”是對同一個概念的學習而言的，不同的概念之間沒有可比性。某一個概念，如果上位概念、等價概念、平行概念、下位概念都可以選，則通過等價概念來學習是最容易的，通過下位概念來學習是最困難的。（2）盡量找等價概念。很多概念沒有等價概念，這時，要看看能否根據(jù)生活經(jīng)驗或直觀感受臨時建構一個，哪怕粗略地建構一個也行，如“橢圓就是壓扁的圓”“等差數(shù)列就是這些（用手比畫）差相等的數(shù)列”。不要害怕“不嚴謹”，因為幾分鐘后它就會嚴謹起來。教育形態(tài)本身就是一個生長的形態(tài)，而不是定型的形態(tài)。過程之中，就該給其生機、促其生長，這就是生態(tài)課堂的本質。（3）讓學生通過歸納完成學習（比如用具體實例讓學生發(fā)現(xiàn)“種差”或“種差之間的區(qū)別”）。歸納與演繹并用也是可以的，盡量避免純演繹的方式，切忌“告知”。（4）用以歸納的“實例”一般不少于3個。有時可以讓學生舉例，有時則需要老師提供。通過一個例子就把意義提出來，那不是歸納，只能是老師告知、學生認可。

當然，并不是所有的概念學習都從上位概念或平行概念開始，因為還要考慮“兩個概念間的心理距離”。有的概念，其最近的上位概念離它都很遠，而某個下位概念卻離它很近，用這個下位概念充當先行組織者就是合適的。

比如“任意角的三角函數(shù)”，它的上位概念是函數(shù)，但是不如“直角三角形中的三角函數(shù)”更近。

再如，“數(shù)列”概念的教學，怎樣引入較好？用上位概念、下位概念還是平行概念？函數(shù)是它的上位概念，但是更抽象，距離有點遠，不合適。再看看，“列”也是它的上位概念，用“列”來組織它就很好（“按次序排列的一列數(shù)”就等于說“數(shù)的列叫數(shù)列”）?！皵?shù)”是它的下位概念，如果用其作為先行組織者也可以，但不如用“列”更直接?！傲小苯沂镜氖墙Y構，數(shù)列恰需要從結構上來認識而不是從數(shù)上來認識。接下來，就要思考：什么叫“點列”？什么叫“函數(shù)列”？什么叫“三角形列”？——有了數(shù)列這個平行概念，再認識點列、函數(shù)列、三角形列就容易了。

一般說來，用偏正結構命名的概念，可以用上位概念引入，如正三角形、奇函數(shù)、等差數(shù)列等。但是，從上位概念學習下位概念，是從一般到特殊、從抽象到具體的推理，邏輯上是演繹的，這與“歸納式的教學路徑”相反，怎么處理呢？有一個方法可以把演繹變?yōu)闅w納。具體是這樣的：“屬”概念是學生已經(jīng)掌握的，在這個前提下，學生需要完成意義建構的是“種差”，我們可以設計一種教學方式，讓“種差”來自學生的歸納。這是完全可以做到的，而且“種差”的抽象度低于“屬”概念，“種差”也比概念本身簡單明了，其意義容易建構。這樣的始自上位概念的教學，顯然還是發(fā)現(xiàn)式教學。

七、概念教學的評價

在概念、原理、定理、方法、技巧等各項教學中，關于概念教學的評價是最被重視的，古今中外的論述也最多，在任何一本教學論專著中都可以找到，這里就不詳細羅列了。下面談兩點自己的看法。

（一）嚴謹性的度

一個奇怪的現(xiàn)象是：在學習三角函數(shù)之前，學生會很自然地說出“周期性”這個詞，如對太陽的運動、四季的更替、星期的周而復始等，他們會說那是“周期性重復的”。但是在學習了三角函數(shù)以后，學生反而不能自如地說出“周期性”這個詞了。在提起“周期性”時，他們的頭腦里閃現(xiàn)的就是“三角函數(shù)”及其周期公式T=2π/ω（正余弦）或T=π/ω（正切），而對于周期性本身失去了關注。

對小學生，如果你問長方形的面積是什么，他們會說“長乘寬”。三角形面積是“底乘高除以2”。而如果你拿來一個不規(guī)則圖形（比如樹葉），他們會說“這沒有面積”。在學會了計算公式以后，他們已經(jīng)把什么叫面積以及最初的“網(wǎng)格法估計面積”忘記了。

這是應該引起我們警惕的。愛因斯坦說：“概念是人類思維的自由創(chuàng)造?！睉烟睾Ｕf：“過分的嚴格化訓練是有害的?！编嵷剐耪f：“在教學中我們不應該提倡任何一種強制的統(tǒng)一，即，應當明確反對任何過分的規(guī)范或人為的約束?！?/p>

（二）最好的理解是形成直覺

概念的重要功能有兩個：一是把一個對象以名詞的形式固定下來。這個對象可能是一個具體的個體（個概念），也可能包含一類個體（類概念）。二是把一個思維過程凝聚成一個整體，在需要的時候能夠整體再現(xiàn)。這里最重要的特征就是“整體性”。因此，概念的學習應當追求整體性認知，教學時最好從整體認知開始，到整體認知結束。最理想的教學，是讓學生形成對概念的直覺，使得在任何的環(huán)境中都能一眼就認出××或××類。如果遇到需要辨別的場合，還要去一項一項地分析條件，這樣的學習是不合格的，它不可能帶來流暢的思維。

也許你已經(jīng)體會到了，概念學習的最高境界是形成對概念的直覺。

八、結語

概念教學應該始于學生的經(jīng)驗，遵循歸納的路徑，但并不意味著只能從下位概念開始。讓上位概念和平行概念充當先行組織者，實現(xiàn)對新概念的同化，倒是值得優(yōu)先考慮的方法。而且，處理得好，可以不與歸納的路徑相抵觸。

所有學科，概念都是其中最重要的內(nèi)容，概念教學是教學的重中之重，對它的研究永遠沒有終結之時。

參考文獻：

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