徐洪麗
摘要:函數(shù)的奇偶性是高中數(shù)學的重要內(nèi)容。要想熟練地掌握這一知識,必須使學生正確理解奇偶函數(shù)的定義、奇偶函數(shù)定義域滿足的條件、函數(shù)的分類、奇偶函數(shù)的判斷方法、奇偶函數(shù)圖象的特點,以及有關(guān)奇偶函數(shù)的重要結(jié)論。
關(guān)鍵詞:奇偶函數(shù);判斷方法;重要結(jié)論
函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)的性質(zhì),稱為函數(shù)的奇偶性。函數(shù)的奇偶性在函數(shù)研究中具有舉足輕重的作用。因此,熟練掌握其定義和用法是非常必要的。
一、正確理解奇偶函數(shù)的定義
教材上奇偶函數(shù)的定義是這樣說的:一般地,對于函數(shù))y=f(x):如果對函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f (-x)= -f (x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù);如果對函數(shù)定義域內(nèi)的任何一個x,都有f(一x)=f(x),那么函數(shù)f (x)就叫做偶函數(shù)。
對此定義的理解需要注意以下兩個方面:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為M。(1)只要x∈M,必須有-X∈M; (2)由f(-x)= -f (x)或f(一x)=f(x)成立,得f(x)與f (-x)必須都有意義,否則無法確定f (-x)與土f(x)是否相等。
一、把握奇偶函數(shù)定義域所滿足的條件
根據(jù)定義,判斷函數(shù)的奇偶性必須考慮定義域,即若X∈M,必須有-X ∈M。
教材上的例題、習題所給函數(shù)的定義域都是區(qū)間形式,因此許多學生誤認為奇偶函數(shù)的定義域必須是一個區(qū)間,并且是關(guān)于坐標原點對稱的區(qū)間,只要定義域不是對稱區(qū)間,函數(shù)就不是奇偶函數(shù)。事實上,這種觀點是錯誤的。因為定義域是對稱區(qū)間,并不是一個函數(shù)為奇偶函數(shù)的必要條件。函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍,它可以是區(qū)間,也可以是由一些孤立的點構(gòu)成的集合。因此,根據(jù)定義,奇偶函數(shù)的定義域在x軸上對應(yīng)的點集必須關(guān)于原點對稱。
例1 試判斷函數(shù)f(x)= sin πx,x∈N*是否有奇偶性。
解:函數(shù)的定義域M=N'={1,2,3,…)對應(yīng)的點集不關(guān)于原點對稱,所以f (x)= sinπx,x∈N*為非奇非偶函數(shù)。
三、正確理解f(x)與f(-x)的關(guān)系
參考文獻:
[1]劉錫保.高中數(shù)學教材基礎(chǔ)知識全解[M].北京:龍門書局,2012.