田黎

摘 要：函數(shù)在高中階段占有十分重要的地位，作為函數(shù)三要素之一的值域的重要性不言而喻.此外，值域（最值）的求解是函數(shù)的重難點(diǎn)，常在高考中出現(xiàn)，因此，掌握函數(shù)值域（最值）的求解方法是很有必要的，本文結(jié)合具體例子對(duì)函數(shù)值域（最值）的求解方法進(jìn)行歸納.

關(guān)鍵詞：函數(shù)值域;求解方法

一、觀察法

對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行觀察，進(jìn)而求出函數(shù)的值域

適用函數(shù)類(lèi)型：比較簡(jiǎn)單的函數(shù)

例1求函數(shù)y=-2的值域

解：∵≥0

∴-2≥-2

∴函數(shù)y=-2的值域?yàn)閇-2，+∞）

例2.求函數(shù)y=2x2+3（-1≤x≤1）的值域

解：∵-1≤x≤1

∴結(jié)合函數(shù)圖象可得，y=2x2+3（-1≤x≤1）的值域?yàn)閇3，5]

二、配方法

將式子或式子的某一部分化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式之和.

適用函數(shù)類(lèi)型：二次函數(shù)及能轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)

例3：求函數(shù)y=x2-2x+3（0≤x≤3）的值域

∴結(jié)合函數(shù)圖象可得：y=x2-2x+3（0≤x≤3）的值域?yàn)閇2，6]

例4求函數(shù)的值域

解：∵-x2+4x+5≥0，即-1≤x≤5

∴函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，5]

又∵=

∴結(jié)合函數(shù)圖象可得，函數(shù)的值域?yàn)閇3，6]

三、換元法

對(duì)于解析式中合有根式或三角函數(shù)模型的函數(shù)，可以通過(guò)換元法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)，當(dāng)根式里是一次式時(shí)，用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元.換元過(guò)程中，要注意中間變量的取值范圍.

適用函數(shù)類(lèi)型：能通過(guò)換元將含有根式或三角函數(shù)公式模型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)的函數(shù)

例5求函數(shù)的值域

解：令，則t≥0且x=t2+1

∴

結(jié)合函數(shù)圖象可得：函數(shù)的值域?yàn)?/p>

例6求函數(shù)的值域

解：∵1-（x+1）2≥0，即（x+1）2≤1，且-1≤x+1≤1

∴令.

∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>

四、分離常數(shù)法

將常數(shù)和變量分離

適用函數(shù)類(lèi)型：分子、分母是一次函數(shù)的有理分式，（a、b、c、d為常數(shù)，且a≠0），或分子、分母中有相似的項(xiàng)的函數(shù).

例7：求函數(shù)的值域

∴x≠3

∴y≠2

∴函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，2）U（2，+∞）

例8求函數(shù)的值域

解：∵∴令

則

∴函數(shù)的值域?yàn)閇-，1）

五、反函數(shù)法

利用反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域來(lái)求解函數(shù)值域

適用函數(shù)類(lèi)型：分子、分母是一次函數(shù)的有理分式.a.b.c.d為常數(shù)，且ac≠0）的函數(shù)

例9求函數(shù)的值域

解：∵反解得即反函數(shù)為（x≠2）

∵反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域

∴的值域?yàn)椋?∞，2）U（2，+∞）

六、判別式法

將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程f（x，y）=0，函數(shù)的定義域是R，通過(guò)方程有實(shí)數(shù)根，判別式△≥0得到原函數(shù)的值域，注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0的情況.

適用函數(shù)類(lèi)型：形如為常數(shù)，且a1，a2不同時(shí)為零）的函數(shù).

例10求函數(shù)的值域①

解：∵

∴（y-1）x2+（1-y）x+y=0

當(dāng)y=1時(shí)，原方程化為1=0，故y≠1

當(dāng)y≠1時(shí)，△=（1-y）2-4y（y-1）≥0，即-

又∵y≠1

∴函數(shù)的值域?yàn)閇-，1）

七、單調(diào)性法

利用函數(shù)在定義域上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域

適用函數(shù)類(lèi)型：復(fù)合函數(shù)

例11求函數(shù)的值域

解：令U（x）=4x-x2=-（x-2）2+4

∵U（x）>0，即-（x-2）2+4>0，得0

∴結(jié)合U（x）的圖象可得，U（x）∈（0，4]

∴結(jié)合函數(shù)圖象可得，函數(shù)的值域?yàn)閇-2，+∞）

八、有界性法

利用函數(shù)的有界性求解值域

適用函數(shù)類(lèi)型：三角函數(shù)型函數(shù)，利用sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]求解值域.

例12求函數(shù)的值域

解：∵

∴

（*）

∵=1

∴令

則上式（*）為

∵x∈R

∴

∴-1≤1，即

∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>

不等式法（均值不等式法）

利用（a>0，b>0，c>0）解題.注意利用均值不等式求最值的三個(gè)條件限制，即“一正，二定，三相等”.

適用函數(shù)類(lèi)型：函數(shù)解析式為“和式”時(shí)積為定值，函數(shù)解析式為“積式”時(shí)和為定值的函數(shù)，注意，有時(shí)需運(yùn)用拆項(xiàng)，添項(xiàng)，兩邊平方等技巧.

例13當(dāng)x>0時(shí)，求函數(shù)f（x）=8x+的值域②

解：

當(dāng)且僅當(dāng)4x=，即x=1時(shí)取“=”

∴函數(shù)f（x）=8x+的值域?yàn)閇12，+∞）

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū).數(shù)學(xué)必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007

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[4]賈珊珊.探究高中數(shù)學(xué)函數(shù)的值域及求解方法.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（05）