朱藝峰

摘要：數(shù)學建模思想是引導學生深入認知數(shù)學語言、數(shù)學邏輯思維的重要思想。在核心素養(yǎng)的背景下，對于初中數(shù)學教學的過程中滲透數(shù)學建模的思想，以培養(yǎng)學生對知識體系的建構能力、邏輯思維能力以及自主學習的能力顯得尤為重要，而選擇教學的方法，將復雜問題具體化更是我們作為一線教師關注的問題。本文通過問題提出的方式，對于學生在解決一次函數(shù)實際問題的過程中滲透數(shù)學建模思想的培養(yǎng)，激發(fā)學生學習能力和創(chuàng)造性，提升學生整體的學習能力。

關鍵詞：數(shù)學建模;問題提出;一次函數(shù)

一、背景介紹

數(shù)學思想方法源于數(shù)學思維活動，在日常的教學中不能僅停留在教會學生解題上，而是應針對不同的學生、不同的知識內(nèi)容，以及初中生的認知能力與特點，將數(shù)學思想充分融入數(shù)學教學的各環(huán)節(jié)中，采用合理的教學方法，有效的培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

在實際的建模過程中，學生會遇到各種的問題，那么老師應采用合適的教學手段，結合教學內(nèi)容，優(yōu)選可以融入建模思想的素材，以幫助學生順利的尋找建模的切入點與突破口，使學生體會到利用數(shù)學建模思想解決復雜、抽象問題的好處，進一步激發(fā)學生的學習興趣。

本節(jié)課的作者通過問題提出的方式，讓學生成為課堂的主人，在解決問題的過程中，融入建模思想，總結和歸納建模的方法，從而輕松、快速的解題，既容易被學生接受，也鍛煉了學生的邏輯思維能力。

二、教學過程

（一）原題呈現(xiàn)：本題來源于一次函數(shù)的簡單應用的作業(yè)題，難度較高，分層級別屬于拓展探究類題目。

星期天，小強從學校步行去圖書館，同時，先到圖書館的小華騎車返校取忘帶的學生卡，拿到卡返回圖書館途中遇到小強，小強坐小華的車來到圖書館，如圖所示為兩人距離圖書館的距離y（m）與出發(fā)時間x（min）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象信息解答問題：

（1）求小華返回圖書館時的速度.

（2）小強比步行提前多少分鐘到圖書館？

（3）求小強與小華相距1000m的時間.

【設計意圖】在上此課之前，學生的回家作業(yè)等同于課堂前測，批改作業(yè)后發(fā)現(xiàn)很多學生會解決第（1）題，但基本都用算數(shù)方法。這樣的思想對于第（2）（3）題的解法是有負遷移作用，因為學生很難通過算數(shù)的方法，想到后面兩小題，特別是第（3）題。

【學生解答】

這個學生的（1）（2）兩小題，用的是算數(shù)方法，是大部分同學的選擇的方法。而第（3）小題的解答方式是非常典型的方程思想解決問題，而且還結合了線段圖，應該給予肯定，但是對于最后一題就會有考慮不到位的地方，與函數(shù)思想解決的差距就更顯而易見。

在上此課之前，學生已經(jīng)學會用圖像和函數(shù)解決復雜的應用題，即在上完第2課時后，才進行了此課的教學。對于第二課時的課堂教學中，特別強調(diào)利用函數(shù)建立數(shù)學模型解決類似問題，使學生有了一定的數(shù)學建模思想，對于這節(jié)課的教學起到非常重要的鋪墊作用。

（二）課堂呈現(xiàn)

1、實際應用——數(shù)學抽象

教師提問：這個問題的題目比較復雜，現(xiàn)在老師想把這個應用題簡化下，把題目的背景全部去掉，只留下一個函數(shù)圖像，你們可以從這個圖像中得到一些什么信息？

學生1：我能看出X軸和Y軸分別表示時間與路程。

這個發(fā)現(xiàn)是非常重要的，讓學生意識到解決這個問題中的兩個變量時間與路程，至于具體代表的信息可以在后面進行分析，所以第一個同學就開了個非常好的頭，教師給予鼓勵和表揚。

學生2：我能看到幾個點的坐標。

教師追問：哪幾個點？

學生2：D、A、B、C，不對，B點只知道橫坐標和縱坐標。

教師：那我們能求出B點坐標嗎？

學生沉默，其他同學思考。

教師提問：同學們回憶下，如果知道一個點的橫坐標，怎么求縱坐標？

學生：代入函數(shù)解析式。

教師追問：那么我們有函數(shù)解析式嗎？

學生：沒有。

學生3：我們可以求函數(shù)解析式。

教師：非常好，我們是不是已經(jīng)學會根據(jù)圖像求函數(shù)解析式，那么根據(jù)此函數(shù)圖像，我們可以得到幾個函數(shù)解析式？

學生3：兩個人，應該是兩個函數(shù)。

學生4：有個函數(shù)應該是分段函數(shù)（因為在平時的教學中，也涉及到分段的情況，所以有學生會提出分段函數(shù)這個概念）

教師：這個學生真的非常棒，分段是因為自變量的取值范圍不同，所以我們也應該關注到圖形中的自變量的取值。

給學生幾分鐘的時間，把可以得到的函數(shù)解析式求出來。

【學生解答】

教師：為什么我們不能直接求出BD這條直線？

學生1：因為只能確定一個點D的坐標，B的坐標不知道。

學生2：B點在AC這條直線上，所以只要把B的橫坐標代入，就能求出B點的縱坐標。

因為學生對一次函數(shù)圖像與性質(zhì)的學習有了一定的積累，而函數(shù)應用第二課時中也有類似的問題遇到過，所以有些學生能夠想到解決的辦法。

教師：非常好，那么我們已經(jīng)解決了之前學生2留下的問題。那么現(xiàn)在我們是不是可以得出直線BD的函數(shù)解析式？

學生4：老師，不是直線，是線段，因為自變量有一定的范圍。

此時，教師真的想給這個學生鼓掌，很多老師想要提出的問題，學生都已經(jīng)能夠想到了。

學生4：前面OA和AC也是一條線段。

【設計意圖】

把實際問題抽象成一個數(shù)學模型，意在讓學生學會用函數(shù)圖像來解決各類問題的一般方法。

2、數(shù)學抽象——實際應用

教師：我們已經(jīng)能根據(jù)函數(shù)圖像上的信息得到我們想要的解析式，那么我們回到這個題目，來看看是不是我們求出的函數(shù)解析式就能回答這幾個題目？

給學生幾分鐘的思考時間，看學生能否通過函數(shù)的方法來解決題目中的幾個小題。

【學生解答】

教師：第（1）題大部分學生都能看出，我們函數(shù)解析式中的K就是小華和小強的速度，所以返回圖書館的速度就是直線AC的解析式中的K的絕對值。那么我們還能知道哪些信息呢？

學生舉一反三：還能知道回學校時的速度和小強的速度。

學生的回答，正好引出第二個問題的解決。

教師：老師正想問一個問題，小強在從學校到圖書館的過程中，速度是否發(fā)生了改變，為什么會變化？

學生：后來遇到小華，坐他的車前進了，所以速度變快了。

教師：在圖象中是否有顯示？

學生：B點就是小強坐小華車的地方。

教師：那老師還有一個問題，就是如果小強任然步行前進，在圖象上如何表示？

【學生解答】

教師：那么大家能求出這條直線與X軸的交點嗎？它所表示的實際意義是什么？

學生：當Y=0時，X的值就是這個點的坐標。它表示小強步行到圖書館所用的時間。

教師：那么我們的第二小題是不是一目了然了。

此時只剩下第三個問題，大部分學生還是不能解決，教師繼續(xù)啟發(fā)

教師：我們知道這個函數(shù)圖象中的Y表示的就是離圖書館的距離，那么想要知道他們什么時候距離1000米，只要知道此時他們距離圖書館的距離差是1000米，就是Y的差是1000米。

教師：觀察圖象，兩個函數(shù)距離1000大約會有幾次？

教師板書，演示圖象距離1000米，讓學生先發(fā)現(xiàn)可能存在的情況。

學生：可能會有三次。

教師：那么我們分別來談論這三次距離1000米的情況。

【學生解答】

至此，原題中的三個題目都已經(jīng)解決，從簡單到難，層層遞進，慢慢突破。

【教學反思】

第一次教學中是通過先解決原題目，讓學生學會通過分析圖形，函數(shù)解析式，來解決已有的問題，再提出問題，自我解答。改進后想嘗試，全開放式的模式，就是只有題目背景，從開始就由學生來提出問題，再互相解決。

3、提出問題——解決問題

教師：我們是否可以根據(jù)此函數(shù)圖像提出一些問題并嘗試解決呢？

【教學反思】

第一次教學因為時間比較匆忙，問題提出的方式是比較臨時的，所以沒有采取小組合作的模式，但是學生還是提出了不少問題，個別的問題還是有比較大的研究價值。改進后的教學打算采用合作學習的模式，給學生充分的思考時間，意在讓學生提出更多有價值的問題。

學生1：我的問題比較簡單，就是當時間為30分鐘時，小強離圖書館多少距離？

這是一個非常好的問題，如果能給予更充分的時間，學生在表達上可能會更完美些。

學生2：我來解決這個問題，只要把30代入BD所在直線的函數(shù)解析式，求出的Y值就是此時離圖書館的距離。

教師：有沒有同學能在這個問題上進行發(fā)散？

學生3：可以問離學校多少距離。

教師：很好。怎么解決？

學生3：只要3000減去剛才那個Y值就行了。

教師：難度稍微增加了一些，還有沒有？

學生4：當小華回到學校的時候，小強距離學校多少米？

這個問題非常的好，既考慮到小強又要考慮小華，分析后不難發(fā)現(xiàn)，其實跟前面的問題是一樣的，也是當X=30時的情況。

【學生解答】

學生5：我的問題也比較簡答。小華和小強第一次相遇的時間？

從圖像上我們很容易就能看到，直線有兩次相交的情況，對于第二次相交的交點，我們前面已經(jīng)進行了分析，所以學生會問到第一次相交，這是非常好的，也說明學生對于函數(shù)交點與方程的解已經(jīng)能夠靈活運用了。

教師：剛才我們的問題都是根據(jù)X求Y的值，有沒有同學能夠提出一些根據(jù)Y的值求X的呢？

此刻思考幾分鐘后，才有學生舉手。

學生1：當Y的值一定時，X的值可能不止一個。

教師：非常棒，對于圖像的認識你已經(jīng)非常到位了。那么請你提出一個問題，讓大家來解解看？

【學生解答】

學生1：當Y=1500的時候，X=多少？

學生2：1500就是兩個地方的中點，我們可以問什么時候經(jīng)過這個中點。

教師：這兩位同學的問題非常的好，老師再給他們美化下，假設圖書館和學校的中點處有個亭子，請問小聰和小華共經(jīng)過這個亭子幾次？分別是什么時刻？

學生3：我有一個問題，不知道算不算。就是小華和小強第一次相遇候，什么時候他們的距離最遠？

這是一個非常有價值的問題，只是放在這個模型當中，可以通過觀察圖象直接看出，什么時候距離最遠，但是我還是希望能夠讓學生通過一次函數(shù)求最值得問題來解決它。

教師：這個問題大家看看圖象，能得到答案嗎？

學生4：可以，在時間為30的時候，他們的距離最遠，最遠距離通過Y的值就能求出來。

教師：如果我改變下題目，OA沒有在A點轉(zhuǎn)折，而是繼續(xù)前進，換個點轉(zhuǎn)折，我們能否找到這個時刻？

對于這個問題的改變，其實是很抽象的，學生可能無法理解老師的意圖。當時老師也是在學生提出這個問題的時候，想到如果不知道30這個值，我們需要怎么去解決？

教師：之前的題目中，我們是不是解決過距離的問題？

學生5：通過Y的差來解決。

教師：請你們把這個差表示出來。

【學生解答】

教師：如果用Y’來表示小華和小強的距離，那么我們是否可以用函數(shù)來表示這個差？

學生：

教師：這是一個什么函數(shù)？

學生：一次函數(shù)

教師：一次函數(shù)如何求最值？

學生：通過函數(shù)的增減性，再根據(jù)自變量的范圍，可以求出函數(shù)的最大值或者最小值。

【學生解答】

【教學反思】

如果能想到學生會提出這樣的問題，那么在最初的分析第三個問題時就應該要想到用函數(shù)來表示兩人的距離。然后在設計原題的時候要進行一定的改編，讓學生的這個想法可以得到實現(xiàn)。從目前這個問題的解決辦法來看，有點生搬硬套，一目了然的問題還要復雜化，為了用到函數(shù)單調(diào)性才一定要用這個方法，只有個別同學能領會老師的意圖。

三、總結反思：

本節(jié)課通過對已有問題的解決方式，建立數(shù)學模型，讓學生學會解決實際問題的一般數(shù)學方法，然后再應用到實際問題中。后階段是非常初淺的嘗試了問題提出式的教學方法，讓學生對已有的數(shù)學模型，提出問題，再自己根據(jù)圖象的性質(zhì)及函數(shù)與方程的關系，來解決問題。

本題是一次函數(shù)的綜合應用，本身難度較大，學生在課堂上的參與度就不夠高。而問題提出式的教學方式，在平時的課堂中雖然有所接觸與嘗試，但是對于難度如此大的問題背景下的題目來說，還從來沒有嘗試過。學生能夠配合的地方，應該給予肯定，特別是提出問題的幾個同學，都是對于函數(shù)的綜合應用掌握的較好的學生，其它一些學生本身欠缺數(shù)學建模的能力，此時又需要主動參與提出問題，對于他們來說要去較高，感覺在課堂上已經(jīng)跟不上節(jié)奏了。改進后的教學設計，希望能把背景問題的設計更有發(fā)揮性，讓不同層次的學生都能參與到課堂上來，所以第二次的課堂教學，會采用合作學習的模式，讓提出的問題更豐富，更合理，更有層次，所用到的數(shù)學方法和思想更多樣化。

參考文獻：

[1] 莊文革.初中數(shù)學活動中模型思想培養(yǎng)的有效策略[J].考試周刊，2017（21）：97-98.

[2] 劉娟.初中數(shù)學模型思想的滲透原則及培養(yǎng)策略[J].考試周刊，2016（83）：53.

（作者單位：浙江省杭州市蕭山區(qū)金惠初中）