張瑩

摘要：反證法在數(shù)學(xué)中是一種非常重要的間接證明方法，它被稱為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，又稱為歸謬法、背理法。反證法亦稱“逆證”。其不僅是一種論證方法，對(duì)提升學(xué)生創(chuàng)新性思維能力與概念思維能力具有積極作用，從某種角度可以說，反證法還是一種思維方式，其還能拓展學(xué)生的解題思路，從而使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維。反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，如今學(xué)生在運(yùn)用反證法解題中，基礎(chǔ)一般的學(xué)生會(huì)受到思維能力的限制，如果能恰當(dāng)?shù)氖褂梅醋C法，在一些有難度的題目上也許能夠得到解決。所以本文首先會(huì)敘述反證法的產(chǎn)生，具體闡述反證法的定義，即反證法的概念、分類、科學(xué)性，介紹逆證在中學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)際運(yùn)用并論述了逆證應(yīng)用的具體需要注意的一些問題。

關(guān)鍵詞：反證法;中學(xué)數(shù)學(xué);應(yīng)用;

1?引言

反證法是間接論證的方法之一，亦稱“逆證”、矛盾證法。它在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著不可替代的重要作用，一般來說，當(dāng)學(xué)生遇到不容易或者不能從正面進(jìn)行證明的題目時(shí)，則可以嘗試運(yùn)用反證法進(jìn)行證明。反證法彌補(bǔ)了直接證明的不足，完善了證明方法，運(yùn)用反證法可以培養(yǎng)和提高學(xué)生的逆向思維能力和創(chuàng)造思維能力，把不可能轉(zhuǎn)化為可能。教師應(yīng)要結(jié)合熟悉的生活實(shí)例和典型的數(shù)學(xué)例題，幫助并引導(dǎo)學(xué)生了解反證法繼而使用反證法，然后運(yùn)用反證法拓寬學(xué)生解決問題的思路。

2?反證法的產(chǎn)生

2.1古希臘的反證法

在南意大利學(xué)派的影響下，其主張“一切事物都是整數(shù)”，數(shù)學(xué)知識(shí)是可靠和準(zhǔn)確的。但隨著第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生，自根號(hào)二的發(fā)現(xiàn)，使希臘人重新審視了他們自己的數(shù)學(xué)，從此他們對(duì)以數(shù)作為基礎(chǔ)的幾何做了舍棄的選擇。首次的數(shù)學(xué)發(fā)展遇到的暫時(shí)困難，使其沒有辦法只信靠直觀與圖形，所以，西方為代表的數(shù)學(xué)須以證明為主來證明數(shù)學(xué)。而他們要的是準(zhǔn)確性的數(shù)學(xué)。它以演繹、邏輯為表現(xiàn)的形式?？梢酝茢嗥湟庵杆愕臄?shù)學(xué)與證明的數(shù)學(xué)恰恰不同。希臘人認(rèn)為數(shù)值計(jì)算是幾何證明之后的一個(gè)應(yīng)用，他們更注重演繹與證明，指出“不要近似”，也就是要達(dá)到“明確的形式證明和公理的使用”[1] 。

2.2?中國古代數(shù)學(xué)中的反證法

對(duì)推理演繹的證明，在我國的古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域缺少重視，盡管人們發(fā)現(xiàn)一些邏輯規(guī)律，例如在魏晉時(shí)期的雄辯之風(fēng)，大多數(shù)的反駁用到了歸謬法，這里的歸謬法就是舉反例，劉徽受當(dāng)時(shí)的影響，在他的《九章算術(shù)注》中，歸謬論證法被多次使用，劉徽在證明某些公式是錯(cuò)誤的時(shí)候，用的方法都是反駁，并且是成功的，符合邏輯規(guī)律的。墨家學(xué)派創(chuàng)始人也曾利用反證法，比如違反矛盾律的謬誤：“學(xué)之益也，說在誹者?！薄＠谩皩W(xué)習(xí)無益”不是真的證明，得出“學(xué)習(xí)有益”是真命題。歸謬法也是反證法中的一種方法，但因?yàn)橹袊壿媽W(xué)的不完善，在指出明確運(yùn)用反證法的用法上是少之又少，與西方差別甚大。

3?反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

這類命題用直接證明是有一定難度的或者說結(jié)論的反面比結(jié)論本身更容易證明，因?yàn)橐阎獥l件以及由已知條件推出的結(jié)論比較少，在這種題目中能夠運(yùn)用的定理、定義、公理也比較少，此時(shí)我們會(huì)選擇用反證法來進(jìn)行證明[4] 。

已知：

求證：

證明：假設(shè)與不平行，

則AB與CD相交于點(diǎn)P

，即、即，

過點(diǎn)有2條不一樣的直線同平行，然而此矛盾于幾何學(xué)的重要公理之一——平行公理，所以，假定與不平行不成立.

故.

【分析】讓學(xué)生知道這種類型題是不能直接證明的，這要從問題的反面出發(fā)，否定命題結(jié)論，即AB與CD不平行，那么它們肯定相交，交點(diǎn)為P，因?yàn)檫^點(diǎn)P就有兩條直線AB、CD都平行于EF，這顯然與平行公理矛盾，產(chǎn)生矛盾的原因是假設(shè)錯(cuò)誤。所以AB與CD不相交，則只能平行，問題得證[5] 。

例1?平面與直線的交點(diǎn)為，在平面內(nèi)，過點(diǎn)畫出直線、、，，那么是否正確，若正確，請(qǐng)求證。

證明：假若PO與平面不垂直。

畫且與平面有個(gè)交點(diǎn)H，這時(shí)O、H不重合，聯(lián)結(jié)OH。

過P點(diǎn)畫，垂足為E，垂足為F，

依據(jù)，立體幾何之三垂線定理得出，，。

由于，公共邊PO，

因此，

所以

又

所以

所以

因此，OH是的平分線。

同樣的方法，可以證明，的平分線是OH。

然而，OC與OB是2條不重合的直線，同時(shí)OH是和的平分線是不可能的，產(chǎn)生矛盾。

【分析】本道題若從正面進(jìn)行證明，根據(jù)題目所給條件所能借助的公理定理有限，則只能嘗試從反面去思考，這道題由于不能直接證明，不妨先假設(shè)PO不垂直平面，以此為條件再結(jié)合相關(guān)定理得到與客觀事實(shí)不符合的結(jié)論，這說明假設(shè)“PO不垂直平面”錯(cuò)誤，那么假設(shè)的反面就是正確的，即，故原命題結(jié)論成立。

4?總結(jié)

數(shù)學(xué)是一門非常能考驗(yàn)人的思維邏輯的學(xué)科，我們認(rèn)為反證法是一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)證明里，反證法（逆證）是一種重要的解題方法。學(xué)會(huì)運(yùn)用反證法，能鍛煉我們各方面的能力如觀察力、逆向思維能力、辨別能力、創(chuàng)造能力等，從而養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這對(duì)我們學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)有很大的幫助。

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[5] 劉愛琴.一個(gè)數(shù)學(xué)問題的反證法證明與推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（33）：28-29.

[6] 雷紫同.淺談“反證法”在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（18）：116.

（作者單位：無錫機(jī)電高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校）