孫軍波

摘要：使用“高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)”的ADE設(shè)計(jì)模型和“五環(huán)十步”教學(xué)模式指導(dǎo)“離散型隨機(jī)變量及其分布列”的教學(xué)設(shè)計(jì)?；谇捌诘膶W(xué)習(xí)內(nèi)容分析和學(xué)生認(rèn)知分析，設(shè)計(jì)了教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生立足彩票等具體實(shí)例，探索為什么要將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化;又立足擲骰子和拋硬幣這兩個(gè)基本試驗(yàn)，探索如何將隨機(jī)事件的結(jié)果數(shù)量化;進(jìn)而通過(guò)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的問(wèn)題的解決，探索如何利用隨機(jī)變量方便、深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：研究型教學(xué)ADE設(shè)計(jì)模型“五環(huán)十步”教學(xué)模式離散型隨機(jī)變量及其分布列

李昌官老師提出的“高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)”，指導(dǎo)教師根據(jù)前期的學(xué)習(xí)內(nèi)容分析和學(xué)生認(rèn)知分析，從研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的角度，基于“問(wèn)題的提出→方法的尋找→知識(shí)的提煉→問(wèn)題的解決→課后的拓展”這一大致思路（框架）設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，帶著學(xué)生以研究的姿態(tài)和方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法。其ADE設(shè)計(jì)模型和“五環(huán)十步”教學(xué)模式使教學(xué)設(shè)計(jì)有據(jù)可循，而靈活運(yùn)用它們可以提高課堂教學(xué)效益。筆者使用ADE設(shè)計(jì)模型和“五環(huán)十步”教學(xué)模式指導(dǎo)了“離散型隨機(jī)變量及其分布列”的教學(xué)設(shè)計(jì)，并在“浙派名師”高中數(shù)學(xué)名師班的一次教研活動(dòng)中進(jìn)行了實(shí)踐，取得了不錯(cuò)的效果。具體的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

一、前期分析準(zhǔn)備

（一）學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

1.知識(shí)產(chǎn)生的背景與固著點(diǎn)分析。

隨機(jī)事件的研究以及期望的計(jì)算是隨機(jī)變量概念產(chǎn)生的背景。概率源自歐洲的“分賭注問(wèn)題”：兩人決定賭若干局，中途因故停止賭博，應(yīng)如何分賭注？問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是計(jì)算每個(gè)參與者的盈利期望。隨著研究的深入，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不一定是數(shù)字，所以需要將隨機(jī)事件數(shù)量化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不同概率模型的統(tǒng)一，方便數(shù)學(xué)期望等數(shù)字特征的計(jì)算。所以，數(shù)學(xué)期望的研究是隨機(jī)變量概念產(chǎn)生的固著點(diǎn)。

2.知識(shí)生長(zhǎng)的過(guò)程與階段分析。

隨著對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象研究的深入，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)隨機(jī)變量的實(shí)質(zhì)是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果（即隨機(jī)事件）和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這與數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的概念本質(zhì)上是一樣的。數(shù)學(xué)家們還把隨著隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的隨機(jī)變量大致地分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，并引進(jìn)了概率分布函數(shù)，全面地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

3.知識(shí)建構(gòu)的策略與方法分析。

隨機(jī)變量概念建構(gòu)的主要策略與方法有三個(gè)：一是基于生活進(jìn)行探究，即從生活中的隨機(jī)現(xiàn)象出發(fā)，探究隨機(jī)變量產(chǎn)生的背景和意義;二是利用函數(shù)思想，因?yàn)橛成涫请S機(jī)變量定義的關(guān)鍵，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，利用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，就可以更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象;三是利用建模的觀點(diǎn)看待隨機(jī)變量的建立。

4.知識(shí)間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)分析。

隨機(jī)變量和函數(shù)之間有緊密的聯(lián)系：都屬于映射。也有一些不同：前者是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)（高中階段的離散型隨機(jī)變量要求一一對(duì)應(yīng)）;后者是實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)，可以是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”。

5.知識(shí)的要點(diǎn)與本質(zhì)分析。

隨機(jī)變量是隨著隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的實(shí)數(shù)，可以看作定義域是樣本空間Ω（即隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果的集合），值域是實(shí)數(shù)集R的子集的函數(shù)ξ=ξ（ω）（高中階段的離散型隨機(jī)變量一般只取有限個(gè)或可列個(gè)值）。隨機(jī)變量概念其實(shí)是利用函數(shù)思想解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的經(jīng)典范例：通過(guò)數(shù)量化把非函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，這在數(shù)學(xué)研究乃至一般性的問(wèn)題研究中都是極為重要的。

6.知識(shí)的學(xué)科意義與教學(xué)價(jià)值分析。

隨機(jī)變量使得隨機(jī)事件的表達(dá)形式更為簡(jiǎn)潔。另外，用數(shù)表示試驗(yàn)結(jié)果還具有更深層的優(yōu)越性：可以研究隨機(jī)變量的概率分布問(wèn)題，即全面地研究隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果及其對(duì)應(yīng)概率的規(guī)律，不再局限于之前孤立地研究個(gè)別事件的概率。這使概率問(wèn)題的研究進(jìn)入了一個(gè)精確、全面和科學(xué)的階段。

（二）學(xué)生認(rèn)知分析

1.學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)分析。

學(xué)生在小學(xué)、初中階段對(duì)概率和統(tǒng)計(jì)有一定的認(rèn)識(shí)，在高中階段也學(xué)過(guò)隨機(jī)事件的概率，這為本節(jié)課的探究學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。同時(shí)，學(xué)生了解函數(shù)、映射等概念，具有將隨機(jī)變量和函數(shù)、映射進(jìn)行聯(lián)系的基礎(chǔ)。

2.學(xué)生認(rèn)知障礙分析。

學(xué)生不太容易理解將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的必要性，與生活實(shí)際相結(jié)合存在難度，表現(xiàn)在從生活實(shí)際中舉出一些隨機(jī)變量的例子時(shí)出現(xiàn)障礙。另外，學(xué)生理解離散型隨機(jī)變量中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言“一一列出”存在難度，相應(yīng)地，就難以理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概念。因?yàn)殡S機(jī)變量與函數(shù)的聯(lián)系是難點(diǎn)，所以，學(xué)生對(duì)引入隨機(jī)變量概率分布列的必要性更是存在認(rèn)知障礙。

3.克服障礙的措施分析。

教師可以借助生活中的例子，幫助學(xué)生理解隨機(jī)變量的概念;可以通過(guò)比較概念，幫助學(xué)生直觀感受隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系，不必在課堂上過(guò)度強(qiáng)調(diào)，以免影響學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量概念的理解。由于隨機(jī)概念本身就很復(fù)雜，教學(xué)中可以淡化數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)密性，例如對(duì)“一一列出”“連續(xù)型隨機(jī)變量”等概念，學(xué)生能有正確的感性認(rèn)識(shí)即可。而引入離散型隨機(jī)變量分布列的必要性可以留給學(xué)生課后思考，教學(xué)中要注意前后知識(shí)的溝通，使所學(xué)知識(shí)成為一個(gè)有機(jī)整體。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

1.通過(guò)彩票等具體實(shí)例，體會(huì)引入隨機(jī)變量的意義和價(jià)值，了解離散型隨機(jī)變量的概念，嘗試用數(shù)學(xué)的眼光看待生活問(wèn)題。

2.通過(guò)擲骰子和拋硬幣這兩個(gè)基本試驗(yàn)，經(jīng)歷和理解將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化的過(guò)程與方法，感受抽象概括的過(guò)程與方法。

3.通過(guò)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的問(wèn)題的解決，理解隨機(jī)變量的作用，了解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征（主要是均值），體會(huì)把概率問(wèn)題通過(guò)數(shù)量化轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，欣賞數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）呈現(xiàn)背景，提出問(wèn)題

背景1“雙色球”“15選5”“大樂(lè)透”三種彩票中一等獎(jiǎng)概率分別為168352768、13003、121425712。如果僅考慮中一等獎(jiǎng)的概率，買(mǎi)“15選5”彩票為佳，但實(shí)際上，人們更喜歡買(mǎi)其他兩種彩票。為什么人們?cè)谥乐歇?jiǎng)概率的情況下，仍然堅(jiān)持買(mǎi)其他兩種中獎(jiǎng)概率較低的彩票呢？

背景2射擊選手的射擊成績(jī)具有隨機(jī)性，如何選擇優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員代表國(guó)家參加比賽？

分析不同的概率模型有什么共同的特點(diǎn)？如何建立統(tǒng)一的概率模型進(jìn)行后續(xù)的研究？這就需要了解、學(xué)習(xí)一些新的知識(shí)，首先是嘗試將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，為概率模型的統(tǒng)一奠定基礎(chǔ)。

核心問(wèn)題如何將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，以更方便、更深入地研究概率現(xiàn)象？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)具體實(shí)例，學(xué)生能夠體會(huì)到買(mǎi)彩票不僅要考慮中一等獎(jiǎng)的概率，還要考慮一等獎(jiǎng)對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金，因此將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，才能進(jìn)行更好的比較。結(jié)合射擊選手選拔問(wèn)題，學(xué)生可以感受到不同的概率問(wèn)題之間存在共同的特點(diǎn)，都需要考慮隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)量化。]

（二）聯(lián)想激活，尋求方法

問(wèn)題1投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，試驗(yàn)結(jié)果可否用數(shù)來(lái)表示？

問(wèn)題2拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，試驗(yàn)結(jié)果可否用數(shù)來(lái)表示？

分析投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果為一點(diǎn)、二點(diǎn)……六點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)字為1，2，…，6，因此，如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果帶有數(shù)字特征，一般可以考慮利用這些數(shù)字表示相應(yīng)的結(jié)果。拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果為正面向上、反面向上，雖然不是數(shù)字，但是可以分別利用數(shù)字1和0來(lái)表示。

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：從學(xué)生熟悉的擲骰子、拋硬幣入手，尋找隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的辦法，特別是如何將沒(méi)有數(shù)字特征的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化。]

（三）歸納抽象，分析概念

歸納在這種對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化。像這種隨著隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母X、ξ等表示。所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。

說(shuō)明本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值。

問(wèn)題3隨機(jī)變量和函數(shù)有沒(méi)有什么類(lèi)似的地方？

分析隨機(jī)變量和函數(shù)都是映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映射為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映射為實(shí)數(shù)。隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域。

問(wèn)題4請(qǐng)你舉出一些生活中的隨機(jī)變量的例子，并判斷是離散型還是連續(xù)型隨機(jī)變量。

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：立足生活情境，抽象出隨機(jī)變量的概念。通過(guò)對(duì)比隨機(jī)變量和函數(shù)，揭示隨機(jī)變量的本質(zhì)，也為后續(xù)運(yùn)用函數(shù)思想解決概率問(wèn)題做鋪墊。]

（四）運(yùn)用鞏固，內(nèi)化遷移

問(wèn)題5在含有10件次品的100件產(chǎn)品中任意抽取4件，含有的次品件數(shù)X隨著抽取結(jié)果的變化而變化。問(wèn)：

（1）X的取值范圍是什么？

（2）{X=0}表示什么事件？

（3）{X<3}表示什么事件？

問(wèn)題6投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次。

（1）設(shè)Xi=1，第i次出現(xiàn)正面，

0，第i次出現(xiàn)反面。令X=X1+X2，那么X的實(shí)際含義是什么？

（2）設(shè)Xi=1，第i次出現(xiàn)正面，

-1，第i次出現(xiàn)反面。那么出現(xiàn)正面的次數(shù)用X=X1+X2如何表示？

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)使用隨機(jī)變量的語(yǔ)言描述解決問(wèn)題，體會(huì)隨機(jī)變量在表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果上顯得簡(jiǎn)潔，理解應(yīng)該選擇那些簡(jiǎn)單且有實(shí)際意義的隨機(jī)變量來(lái)表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，為后續(xù)隨機(jī)變量數(shù)字特征的研究奠定基礎(chǔ)。]

問(wèn)題7投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，如何選擇隨機(jī)變量X來(lái)表示試驗(yàn)的結(jié)果？

分析根據(jù)投擲1次時(shí)規(guī)定正面向上為1，反面向上為0，可設(shè)X=0，三次反面，

1，一正兩反，

2，兩正一反，

3，三次正面。

追問(wèn)概率P（X=0）、P（X=1）、P（X=2）、P（X=3）分別是多少？

分析利用古典概型可以推出P（X=0）=18，P（X=1）=38，P（X=2）=38，P（X=3）=18。

追問(wèn)能夠驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果嗎？可以借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn)。

活動(dòng)用Excel軟件的RANDBETWEEN（0，1）功能進(jìn)行模擬試驗(yàn)，結(jié)果如下頁(yè)表1所示。

明確模擬試驗(yàn)的結(jié)果驗(yàn)證了利用古典概型推出的概率。我們將隨機(jī)變量X及對(duì)應(yīng)的概率列在一張表中，可得下頁(yè)表2。表2稱為隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱X的分布列。

歸納一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1，x2，…，xn，X取每一個(gè)值xi（i=1，2，…，n）的概率為P（X=xi）=pi，則稱表3為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列。

（五）回顧反思，拓展問(wèn)題

問(wèn)題8為什么要建立隨機(jī)變量的概念？隨機(jī)變量概念是通過(guò)怎樣的過(guò)程與方法建立的？它和函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別？什么是離散型隨機(jī)變量的分布列？

問(wèn)題9課后，可以嘗試調(diào)查彩票“雙色球”“15選5”“大樂(lè)透”。根據(jù)隨機(jī)變量的知識(shí)，嘗試定義它們各自的隨機(jī)變量X并寫(xiě)出概率分布列，通過(guò)電腦模擬推測(cè)相應(yīng)的中獎(jiǎng)概率，嘗試計(jì)算一張彩票的平均盈利并比較，最后寫(xiě)出引入概率分布列的作用可能有哪些。

[設(shè)計(jì)說(shuō)明：?jiǎn)栴}8引導(dǎo)學(xué)生明確，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，就可以利用數(shù)學(xué)工具更方便、更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象。問(wèn)題9讓學(xué)生充分體會(huì)引入離散型隨機(jī)變量分布列的必要性，并為本單元后續(xù)學(xué)習(xí)幾個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量及其分布列，以及離散型隨機(jī)變量的均值與方差做鋪墊。]

參考文獻(xiàn)：

[1] 李昌官.高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2019.

[2] 李昌官.高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)實(shí)踐與探索[J].課程·教材·教法，2018（1）.