夏季云

摘要：“實(shí)驗(yàn)：測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”中的測(cè)量誤差分析一直是困擾高中師生的典型難題。關(guān)于如何比較E測(cè)和E真的大小及r測(cè)和r真的大小，教師大多給出解析法、圖像法、等效法等幾種理解方法，但純靠記憶的方法使多數(shù)學(xué)生時(shí)間一長(zhǎng)就會(huì)淡忘，遇到問(wèn)題仍然一籌莫展。對(duì)此，先分析測(cè)量值、理論值、真實(shí)值及三者之間的邏輯關(guān)系，再對(duì)解析法、圖像法、等效法做具體闡釋。

關(guān)鍵詞：電學(xué)實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差分析解析法圖像法等效法

“實(shí)驗(yàn)：測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻”中的測(cè)量誤差分析一直是困擾高中師生的典型難題。關(guān)于如何比較E測(cè)和E真的大小及r測(cè)和r真的大小，教師大多給出解析法、圖像法、等效法等幾種理解方法，但純靠記憶的方法使多數(shù)學(xué)生時(shí)間一長(zhǎng)就會(huì)淡忘，遇到問(wèn)題仍然一籌莫展。在一次教研活動(dòng)中，三節(jié)這一實(shí)驗(yàn)的同課異構(gòu)課促使筆者對(duì)此進(jìn)行了深入的思考?，F(xiàn)把一些想法說(shuō)與大家分享。

一、測(cè)量值、理論值、真實(shí)值及三者之間的邏輯關(guān)系

（一）測(cè)量值

測(cè)量值可分為兩類(lèi)：直接測(cè)量值和間接測(cè)量值。直接測(cè)量值是對(duì)某個(gè)物理量通過(guò)儀器進(jìn)行測(cè)量直接得到的結(jié)果，其誤差來(lái)源于偶然誤差和測(cè)量?jī)x器精度引起的誤差。間接測(cè)量值是對(duì)某個(gè)物理量先通過(guò)儀器進(jìn)行測(cè)量得到數(shù)據(jù)，再通過(guò)公式（規(guī)律）進(jìn)行計(jì)算得到的結(jié)果，其誤差除了與偶然誤差和測(cè)量?jī)x器精度引起的誤差有關(guān)以外，還與測(cè)量原理和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)有關(guān)。

（二）理論值

理論值也可分為兩類(lèi)：理論測(cè)量值和理論真實(shí)值。理論測(cè)量值不考慮測(cè)量原理和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)帶來(lái)的系統(tǒng)誤差，往往被認(rèn)為就是被測(cè)物理量的結(jié)果，事實(shí)上仍然是存在系統(tǒng)誤差的。理論真實(shí)值要考慮測(cè)量原理和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)帶來(lái)的系統(tǒng)誤差，其值等于真實(shí)值。

理論值是建立在物理學(xué)規(guī)律基礎(chǔ)上的一種理論預(yù)期結(jié)果。在實(shí)驗(yàn)操作中得到的只能是測(cè)量值，而不是理論值。但在實(shí)際教學(xué)中，有些教師對(duì)測(cè)量值與理論測(cè)量值不做區(qū)分，從而造成學(xué)生學(xué)習(xí)的混亂和障礙。

（三）真實(shí)值

真實(shí)值指的是被測(cè)物理量的真正結(jié)果，它是物體性質(zhì)的客觀存在。從嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)，除了基本物理量以外，任何物體的其他物理量的真實(shí)值是不可知的。但是，人們可以采用可靠的分析方法，經(jīng)過(guò)不同實(shí)驗(yàn)室、不同人員的反復(fù)測(cè)定，結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，得出公認(rèn)的測(cè)量值，該值便可用以代表被測(cè)物理量的真實(shí)值。

（四）三個(gè)值之間的關(guān)系

測(cè)量值=真實(shí)值+偶然誤差+系統(tǒng)誤差。理論值在考慮測(cè)量原理和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)帶來(lái)的系統(tǒng)誤差時(shí)等于真實(shí)值。測(cè)量誤差分析討論的是理論測(cè)量值與理論值真實(shí)值之間的定量關(guān)系，與測(cè)量值無(wú)直接關(guān)聯(lián)，但在用圖像法分析時(shí)把按直接測(cè)量值描繪的圖線作為按理論測(cè)量值描繪的圖線來(lái)對(duì)待。

二、測(cè)量誤差分析的常見(jiàn)方法及反思

（一）解析法

對(duì)電流表外接的情況進(jìn)行分析：

例1如圖1，設(shè)任兩次測(cè)量中電壓表和電流表示數(shù)分別為U1、I1和U2、I2，所測(cè)電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻分別為E測(cè)、r測(cè)，真實(shí)值為E真、r真。

不考慮電流表內(nèi)阻RA時(shí)，根據(jù)閉合電路歐姆定律有：

E測(cè)=U1+I1r測(cè)，①

E測(cè)=U2+I2r測(cè)。②

由①②兩式解得：r測(cè)=U2-U1I1-I2，E測(cè)=U1I2-U2I1I2-I1。

考慮電流表內(nèi)阻RA時(shí)，根據(jù)閉合電路歐姆定律有：

E真=U1+I1（r真+RA），③

E真=U2+I2（r真+RA）。④

③④兩式聯(lián)立得：RA+r真=U2-U1I1-I2。

又r測(cè)=U2-U1I1-I2，所以r測(cè)=RA+r真。⑤

又由③④兩式消r真得：

E真=U1I2-U2I1I2-I1。⑥

所以E測(cè)=E真。

這是一種常見(jiàn)的較為完整的做法。對(duì)此，筆者有以下幾點(diǎn)反思：（1）高中階段對(duì)此類(lèi)比較大小關(guān)系的測(cè)量誤差分析的前提是，不計(jì)偶然誤差和電表自身精度帶來(lái)的系統(tǒng)誤差，但要考慮電表的內(nèi)阻帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。所以，“不計(jì)電流表（電壓表）內(nèi)阻討論誤差”是自相矛盾的，因而上述解題過(guò)程中不考慮電流表內(nèi)阻是不對(duì)的，嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)是表達(dá)式中不出現(xiàn)電流表（電壓表）內(nèi)阻的理論測(cè)量值。（2）上述解題過(guò)程中，⑤式的結(jié)果沒(méi)有考慮測(cè)量原理（電流表內(nèi)阻）所帶來(lái)的系統(tǒng)誤差，即認(rèn)為電流表有內(nèi)阻，但在表達(dá)式中不具體出現(xiàn)。由于電壓表內(nèi)阻對(duì)電流表外接沒(méi)有影響，可以不討論，因而⑤式得到的結(jié)果準(zhǔn)確地說(shuō)應(yīng)是不考慮系統(tǒng)誤差的理論測(cè)量值。（3）上述解題過(guò)程中，⑥式的結(jié)果考慮測(cè)量原理（電流表內(nèi)阻）所帶來(lái)的系統(tǒng)誤差，即認(rèn)為電流表有內(nèi)阻，在表達(dá)式中具體出現(xiàn)。由于電壓表內(nèi)阻對(duì)電流表外接沒(méi)有影響，可以不討論，因而⑥式得到的結(jié)果準(zhǔn)確地說(shuō)應(yīng)是考慮系統(tǒng)誤差的理論真實(shí)值，其值等于真實(shí)值。（4）上述E測(cè)和E真及r測(cè)和r真應(yīng)都理解為理論值。

同理，對(duì)電流表內(nèi)接的情況進(jìn)行分析：

例2如圖2，設(shè)兩次測(cè)量中電壓表的示數(shù)依次為U1、U2，電流表的示數(shù)依次為I1、I2。

不考慮電壓表內(nèi)阻RA時(shí)，電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的關(guān)系有：

U1=E測(cè)-I1r測(cè)，①

U2=E測(cè)-I2r測(cè)。②

由①②兩式解得：r測(cè)=U2-U1I1-I2，E測(cè)=I1U2-I2U1I1-I2。

考慮電壓表內(nèi)阻RA，即考慮測(cè)量原理（電壓表內(nèi)阻）所帶來(lái)的系統(tǒng)誤差時(shí)，電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的理論值等于真實(shí)值。根據(jù)閉合電路歐姆定律有：

U1=E真-（I1+IV）r真，③

U2=E真-（I2+IV）r真。④

由③④兩式解得：r真=U2-U1（I1-I2）-U2-U1RV，E真=U1I2-U2I1I2-I1RVRV+（U2-U1）I2-I1。

變換得：r測(cè)=r真RVr真+RV，E測(cè)=E真RVr真+RV。

因此內(nèi)阻理論測(cè)量值等于電壓表內(nèi)阻與電源（電池）內(nèi)阻真實(shí)值的并聯(lián)總電阻;電動(dòng)勢(shì)理論測(cè)量值小于電動(dòng)勢(shì)真實(shí)值。

（二）圖像法

從圖像法角度分析例2，具體過(guò)程如下：

如圖3所示，直線①是根據(jù)U、I的測(cè)量值作出的UI圖線，由于I<I0，則U越大，I和I0之間的誤差就越大。而電壓表的示數(shù)U就是電源（電池）的路端電壓的真實(shí)值U0，除了會(huì)有讀數(shù)誤差外，可以認(rèn)為U=U0。經(jīng)過(guò)修正后，直線②就是電源（電池）真實(shí)值反映的伏安特性曲線，由圖線可以很直觀地看出E<E0，r<r0。

這是一種典型的圖像法做法。對(duì)此，筆者有以下幾點(diǎn)反思：（1）在幾乎所有的資料中，都把圖線①視作根據(jù)測(cè)量值描繪的圖像。這種理解是有問(wèn)題的，最直接的理由是測(cè)量值由于存在偶然誤差，由其得到的結(jié)果無(wú)法跟理論值（真實(shí)值）做出大小方面的必然判斷，更談不上一定相同或不同的結(jié)論。圖線①實(shí)際上表示的是不考慮測(cè)量原理（電壓表內(nèi)阻）所帶來(lái)的系統(tǒng)誤差，即認(rèn)為電壓表有具體內(nèi)阻（通過(guò)電流），但在表達(dá)式中不具體出現(xiàn)。由于電流表內(nèi)阻對(duì)電流表內(nèi)接沒(méi)有影響，可以不討論，又因?yàn)闇y(cè)量誤差分析只討論理論值，所以圖線①是不考慮系統(tǒng)誤差的理論測(cè)量值得到的圖像，因而得到的結(jié)果準(zhǔn)確地說(shuō)應(yīng)是不考慮系統(tǒng)誤差的理論測(cè)量值。（2）圖線②表示的是考慮測(cè)量原理（電壓表內(nèi)阻）所帶來(lái)的系統(tǒng)誤差，即認(rèn)為電壓表有內(nèi)阻（通過(guò)電流），在表達(dá)式中具體出現(xiàn)。由于電流表內(nèi)阻對(duì)電流表內(nèi)接沒(méi)有影響，可以不討論，又因?yàn)闇y(cè)量誤差分析只討論理論值，所以得到的結(jié)果準(zhǔn)確地說(shuō)應(yīng)是考慮系統(tǒng)誤差的理論真實(shí)值，其值等于真實(shí)值。（3）I和I0之間的誤差應(yīng)是這兩個(gè)理論值之間的差異。基于這種認(rèn)識(shí)就不難理解圖像法的結(jié)論了。

同理，可對(duì)例1進(jìn)行具體分析，這里從略。

三、基于等效電源的思考

基于前面相關(guān)概念的分析與思考，我們也可從等效電源的角度來(lái)判斷誤差的存在。

對(duì)例1的分析如下：

我們認(rèn)為電壓表電壓就是路端電壓，因此把電流表和電源（電池）等效為一個(gè)新電源（如圖4所示）。這個(gè)等效電源的內(nèi)阻r為r0和RA的串聯(lián)總電阻，因此理論值r實(shí)際上不等于真實(shí)值，即r=r0+RA>r0。等效電源的電動(dòng)勢(shì)E為電流表和電源串聯(lián)后的路端電壓，因此理論值E實(shí)際上等于真實(shí)值，即E=E0。

由以上分析還可以知道，要減小誤差，電流表的內(nèi)阻需很小。這個(gè)要求在實(shí)驗(yàn)室測(cè)定干電池的內(nèi)阻時(shí)是很難滿足的。

對(duì)例2的分析如下：

我們認(rèn)為電流表電流就是通過(guò)電源（電池）的電流，因此把電壓表和電源等效為一個(gè)新電源（如圖5所示）。這個(gè)等效電源的內(nèi)阻r為r0和RV的并聯(lián)總電阻，因此理論值r實(shí)際上不等于真實(shí)值，即r=r0RVr0+RV，r0=rRVRV-r=r1-rRV，r

由以上分析還可以知道，要減小誤差，電壓表的內(nèi)阻應(yīng)適當(dāng)大些。

參考文獻(xiàn)：

[1] 叢德周，郭文杰.測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的誤差分析[J].物理教學(xué)探討，2009（1）.