摘要：現(xiàn)行不同版本的初中數(shù)學(xué)教材中，“三角形”起始課的內(nèi)容都比較簡(jiǎn)單，學(xué)生在小學(xué)都已經(jīng)學(xué)過(guò)，因此容易造成“學(xué)優(yōu)生”“空轉(zhuǎn)”的現(xiàn)象。如何把這樣內(nèi)容簡(jiǎn)單的課教深、教透？根據(jù)章建躍博士提出的“發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)部力量”，基于幾何圖形的研究“套路”重組“學(xué)材”，依據(jù)“三角形的定義→表示方法→要素與性質(zhì)→相關(guān)要素與性質(zhì)”的順序推進(jìn)“學(xué)程”，交替運(yùn)用畫(huà)圖、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、證明、運(yùn)用等學(xué)習(xí)方法，開(kāi)展“三角形”起始課的教學(xué)實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：三角形 單元起始課 研究“套路” 學(xué)材再建構(gòu)

現(xiàn)行不同版本的初中數(shù)學(xué)教材中，“三角形”起始課的內(nèi)容都比較簡(jiǎn)單（基本上局限于三角形的定義、表示方法、不同分類(lèi)、三邊關(guān)系及初步運(yùn)用）。這些內(nèi)容學(xué)生在小學(xué)都已經(jīng)學(xué)過(guò)，因此容易造成“學(xué)優(yōu)生”“空轉(zhuǎn)”的現(xiàn)象。而教師為了增加所謂的“課堂容量”，往往會(huì)增加一些習(xí)題，這是否有實(shí)效還有待商榷。如何把這樣內(nèi)容簡(jiǎn)單的課教深、教透？這是教師教學(xué)時(shí)常有的困惑。

對(duì)此，筆者最近開(kāi)設(shè)了一節(jié)“三角形”起始課，根據(jù)章建躍博士提出的“發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)部力量”，基于幾何圖形的研究“套路”重組“學(xué)材”，依據(jù)“三角形的定義→表示方法→要素與性質(zhì)→相關(guān)要素與性質(zhì)”的順序推進(jìn)“學(xué)程”，交替運(yùn)用畫(huà)圖、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、證明、運(yùn)用等學(xué)習(xí)方法，達(dá)到了較好的教學(xué)效果。本文先梳理該課的教學(xué)流程，再闡釋教學(xué)立意，以供研討。

一、教學(xué)流程

（一）畫(huà)三角形

畫(huà)圖：開(kāi)課時(shí)，教師問(wèn)學(xué)生“是否熟悉三角形”（學(xué)生會(huì)說(shuō)“熟悉”），請(qǐng)一個(gè)學(xué)生到黑板上畫(huà)一個(gè)三角形，并追問(wèn)“能否定義這個(gè)圖形”。如果學(xué)生不能回答或回答得不準(zhǔn)確，則教師給出定義：由三條線段首尾順次相接組成的圖形稱(chēng)為三角形;同時(shí)指出：在這個(gè)定義中，三條線段分別稱(chēng)為三角形的邊，相鄰兩邊組成的角稱(chēng)為三角形的內(nèi)角;然后出示圖1，說(shuō)明：它的表示方法是△ABC。

為了促進(jìn)學(xué)生理解三角形的定義，教師舉出如圖2、圖3所示的反例，幫助學(xué)生理解“三條線段首尾順次相接”。

在此基礎(chǔ)上，教師給出三角形的要素（邊、角）及表示方法。板書(shū)后，教師安排一道練習(xí)訓(xùn)練學(xué)生三角形的表示方法。

練習(xí)1找一找圖4中共有幾個(gè)三角形？找出來(lái)后，用符號(hào)表示它們，并說(shuō)一說(shuō)每個(gè)三角形的邊和角。

畫(huà)圖：教師安排學(xué)生畫(huà)3個(gè)形狀不同的三角形。學(xué)生可能畫(huà)出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，也可能畫(huà)出一些特殊的三角形，如等腰三角形、等邊三角形等。教師選擇其中一些典型的，追問(wèn)：“你們畫(huà)出的這些三角形有什么不同？”引出三角形的不同分類(lèi)方法，比如按角的大小可分成銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，按邊的相等關(guān)系可分成非等腰三角形、等腰三角形，然后PPT展示它們之間的關(guān)系，如圖5。

（二）研究三角形的要素

提問(wèn)：現(xiàn)在讓我們從三角形的定義出發(fā)，繼續(xù)研究三角形的要素——邊和角。請(qǐng)大家觀察三角形的三邊，想一想：三邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

預(yù)設(shè)：學(xué)生能夠答出“三角形兩邊的和大于第三邊”。教師板書(shū)并追問(wèn)“如何證明這個(gè)性質(zhì)”。如果學(xué)生不能很快得出思路，教師可以安排小組討論。經(jīng)過(guò)討論，如果學(xué)生還是沒(méi)有思路，教師可以給出課件中的預(yù)設(shè)（如圖6），啟發(fā)學(xué)生如何證明。

練習(xí)2用一條長(zhǎng)為18 cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，能否圍成一邊的長(zhǎng)是4 cm的等腰三角形？為什么？

組織：先安排學(xué)生獨(dú)立思考，再安排學(xué)生講解是如何思考的。如果學(xué)生沒(méi)有進(jìn)行分類(lèi)并取舍，則請(qǐng)其他學(xué)生進(jìn)行評(píng)析和訂正。

提問(wèn)：繼續(xù)研究三角形的要素——角。請(qǐng)大家觀察三角形的三個(gè)角，想一想：三個(gè)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

預(yù)設(shè)：學(xué)生能夠提出命題“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”。學(xué)生在前面學(xué)習(xí)“平行線”時(shí)，應(yīng)該已經(jīng)通過(guò)習(xí)題訓(xùn)練過(guò)三角形內(nèi)角和定理的證明。如果學(xué)生之前做過(guò)，則指名兩名學(xué)生口頭證明一下，不占用太多的教學(xué)時(shí)間。如果學(xué)生之前沒(méi)有做過(guò)，則告訴他們課后思考一下如何構(gòu)造輔助線轉(zhuǎn)化證明。

解題：教師組織學(xué)生完成“已知三角形中兩個(gè)角的度數(shù)，求第三個(gè)角的度數(shù)”的練習(xí)，然后安排學(xué)生小組內(nèi)再舉例求解，加深對(duì)三角形內(nèi)角和定理的理解。

在此基礎(chǔ)上，兼顧前面提到的等腰三角形和等邊三角形，預(yù)設(shè)一組追問(wèn)，利用PPT漸次呈現(xiàn)，如圖7。

提問(wèn)：等腰三角形是一類(lèi)特殊的三角形，它與三角形內(nèi)角和結(jié)合起來(lái)就會(huì)有更多重要的性質(zhì)。直角三角形也是一類(lèi)特殊的三角形，它與三角內(nèi)角和結(jié)合起來(lái)還會(huì)有哪些特殊的性質(zhì)呢？

預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會(huì)提出“直角三角形兩個(gè)銳角互余”。教師可以安排其他學(xué)生給出證明;進(jìn)一步還可以引導(dǎo)學(xué)生逆向思考“有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形”，同時(shí)指出：題設(shè)與結(jié)論互換研究是幾何命題研究的一種重要思路。

（三）畫(huà)三角形的高

畫(huà)圖：教師安排學(xué)生畫(huà)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三邊上的高。學(xué)生畫(huà)圖之后，教師安排小組交流、核對(duì)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)銳角三角形、直角三角形的三條高都能交于一點(diǎn)，而鈍角三角形的三條高不能交于一點(diǎn)。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將鈍角三角形的高所在的直線補(bǔ)全，發(fā)現(xiàn)鈍角三角形的三條高所在的直線也能交于一點(diǎn)。然后，告訴學(xué)生：三角形的奇特性質(zhì)還有很多，隨著學(xué)習(xí)的深入，掌握工具的增多，我們就可以挑戰(zhàn)這些奇特性質(zhì)的證明了。

練習(xí)3如圖8，AD、BE是△ABC的高，若BC=7，AC=5，BE=6，求AD的長(zhǎng)。

預(yù)設(shè)：學(xué)生利用面積法可以求出該題的解。教師注意再安排一個(gè)學(xué)生講解思路，讓更多的學(xué)生理解;并進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)面積法的重要性。

變式如圖9，直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，求斜邊AB上的高CD的長(zhǎng)。

（四）總結(jié)研究“套路”

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本課是如何對(duì)三角形進(jìn)行研究的，為學(xué)生梳理出幾何對(duì)象的研究“套路”，以便學(xué)生掌握研究方法?？梢岳肞PT漸次展開(kāi)研究路徑，并補(bǔ)全結(jié)構(gòu)化板書(shū)（如圖10）。

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

（一）基于三角形的研究“套路”進(jìn)行“學(xué)材再建構(gòu)”

熟悉當(dāng)前幾種版本初中數(shù)學(xué)教材的教師應(yīng)該會(huì)發(fā)現(xiàn)，本課教學(xué)并沒(méi)有根據(jù)某一種版本的教材“照本宣科”，而是基于三角形的研究“套路”進(jìn)行了“學(xué)材再建構(gòu)”，以畫(huà)圖活動(dòng)驅(qū)動(dòng)不同環(huán)節(jié)的教學(xué)進(jìn)程。具體來(lái)說(shuō)，活動(dòng)1是畫(huà)出不同形狀的三角形，在此基礎(chǔ)上定義三角形，學(xué)習(xí)三角形的表示方法和基于不同標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi);活動(dòng)2是在三角形定義和表示的基礎(chǔ)上研究組成三角形的要素（邊和角）及性質(zhì);活動(dòng)3是畫(huà)出三角形的高，作為三角形的“重要線段”之一，感受三條高所在的直線能夠交于一點(diǎn);活動(dòng)4是回顧小結(jié)，即回顧本課是如何研究三角形的。

（二）“學(xué)程”推進(jìn)中注意不同學(xué)習(xí)方法的交替運(yùn)用

本課的“學(xué)程”推進(jìn)中，先后體現(xiàn)了畫(huà)圖、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、證明、運(yùn)用等學(xué)習(xí)方法的交替運(yùn)用，使學(xué)生的學(xué)習(xí)并不枯燥乏味，體現(xiàn)了富有趣味的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。另外，在畫(huà)圖活動(dòng)之后，教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生觀察與發(fā)現(xiàn)，促進(jìn)了思考;在歸納與證明的環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)不能止步于“基于特殊”的猜想，而要走向“指向一般”的證明;在性質(zhì)運(yùn)用時(shí)，又讓新知的價(jià)值得到了體現(xiàn)。這些學(xué)習(xí)方法交替運(yùn)用、層層推進(jìn)，使得學(xué)生經(jīng)歷了完整的學(xué)習(xí)過(guò)程。

（三）課堂小結(jié)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思三角形的研究“套路”

本課的小結(jié)，筆者沒(méi)有把主要精力花在知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)上，而是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧反思“我們是如何研究三角形的”，向?qū)W生傳遞幾何圖形的研究“套路”（方法）。在研究三角形的過(guò)程中，有多種研究“套路”，比如“定義→要素→相關(guān)要素”“定義→性質(zhì)→判定”“一般三角形→特殊三角形”等等。本課的“學(xué)程”推進(jìn)，偏重于“定義→要素→相關(guān)要素”的研究路徑;后續(xù)研究時(shí)，可以結(jié)合特殊三角形的引入豐富研究方法。

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