郭俊 李興達 姚淑霞

摘要：群的同態(tài)與同構是研究群與群之間關系的重要手段。本文基于群的同態(tài)與同構關系，結合教學經驗，通過典型問題的分析闡明了群論中有關群的同態(tài)及同構問題的證明方法，為相關學者對這方面的學習和理解提供一定的幫助和指導作用.

關鍵詞：群;同態(tài);同構;同態(tài)映射

1 引言

群的同態(tài)與同構關系是群論中非常重要的內容，群論中關于子群、子群陪集、不變子群、商群及不變子群對群的分類問題等都與群的同態(tài)及同構有密切關系[1]。當所給的群是商群，或環(huán)是商環(huán)時，利用同態(tài)基本定理可以簡化同態(tài)及同構問題的證明[2-4]。

同構映射是群之間關系最密切的映射，存在同構映射的兩個群本質上可以不加區(qū)別，因為它們有相同的群結構，近世代數中最基本與最重要的研究內容就是搞清楚各種代數系統(tǒng)在同構意義下的分類，而同態(tài)映射只要求保持運算，顯然它比同構映射更靈活，能夠研究兩個不同構的群之間的聯(lián)系。

群的同態(tài)與同構是群論中非常重要的內容，而同態(tài)基本定理是群論中最為核心的結論，它告訴我們，兩個群在同態(tài)滿射的條件下蘊含著一個群同構關系 在處理一些同構問題時，我們也常常逆用這個定理，也就是說，先構造出同態(tài)滿射，再利用該映射研究兩個代數體系之間的關系。

為方便分析，將文中用到的相關概念做如下說明。

因此，由同態(tài)基本定理知：

本文通過群的同態(tài)與同構相關結論，結合教學經驗，首先對群論中的同態(tài)與同構的一些重要結論給于分析和證明;其次，通過具體問題的分析了闡明了群的同態(tài)與同構在群論相關問題中的應用。

可以看出，尋找群G到群 的一個恰當對應法則成為解題的關鍵。要證明兩個群同態(tài)時，首先要證明所給法則是一個映射，再說明它是滿射，最后證明它滿足 ，即是同態(tài)映射就可以了。若要證明群G與群 的同構關系，需要在群同態(tài)基礎上，計算同態(tài)滿射的核 最后應用群的同態(tài)基本定理獲得

因此，獲得證明和求解群的同態(tài)與同構相關問題的解題思路如下：第一步：建立群G與群 的元素之間的對應關系 并證明 為映射;第二步：證明 為群G到群 的滿射;第三步：證明 為群G到群 的同態(tài)映射;

從而獲得群G與群 的同態(tài)關系;若需證明群G與群 同構，則繼續(xù)進行

第四步：計算同態(tài)滿射的核

第五步：應用群的同態(tài)基本定理得

參考文獻：

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基金項目：甘肅省高等學?？蒲许椖俊稌r間離散的時滯反應擴散系統(tǒng)的行波解及其應用》（2016B-080）。

作者簡介：郭?。?997-），男，漢族，甘肅和政人，蘭州城市學院數學學院。

通訊作者：姚淑霞（1980-），女，博士，副教授。