摘 要：哲學(xué)是對具體科學(xué)的概括、總結(jié)，并指導(dǎo)各門學(xué)科;數(shù)學(xué)如同哲學(xué)在整個科學(xué)體系中的作用類同——研究整個世界，得出普遍規(guī)律，數(shù)學(xué)是總結(jié)自然界普遍存在的空間形式和數(shù)量關(guān)系，從而指導(dǎo)自然科學(xué)的發(fā)展及自身的進(jìn)步，我們要在高等數(shù)學(xué)里蘊(yùn)含的有限與無限、量變與質(zhì)變、微分與積分、離散與連續(xù)、直線與曲線、特殊與一般等內(nèi)容不斷進(jìn)行哲學(xué)思考，必將使我們受益無窮。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);哲學(xué)思考

一、有限與無限

高等數(shù)學(xué)中通過有限認(rèn)識無限;反過來，也通過無限來確定有限。高等數(shù)學(xué)運(yùn)用極限理論實(shí)現(xiàn)了有限與無限的相互轉(zhuǎn)化。無限是有限的發(fā)展，無限個數(shù)目的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為”部分和”的極限，我們只有借助極限，方能夠認(rèn)識無限。無限可分概念僅存在于人類的思維之中，在現(xiàn)實(shí)世界卻不可能存在，人們只能通過運(yùn)用日常生活的有限來認(rèn)識世界，任何超越有限而抽象地談無限是沒有任何意義的，正如愛因斯坦曾說過：”抽掉任何物理內(nèi)容的空間概念是不存在的。無限和有限并非絕對對立的，而是相互連結(jié)，并能相互轉(zhuǎn)化的?！备叩葦?shù)學(xué)中幾乎所有的無限的量都可以通過有限的量得到;通過有限個矩形面積的和，去認(rèn)識整個曲邊梯形面積等有限蘊(yùn)含無限的哲學(xué)思想都隨處可見。反之，一些有限的量也可以通過無限的量得到，有限與無限這對矛盾，在高等數(shù)學(xué)中貫穿始終，我們要善于進(jìn)行哲學(xué)思考。

二、量變到質(zhì)變

在進(jìn)行高數(shù)的相關(guān)運(yùn)算中，實(shí)際上實(shí)現(xiàn)了事物從一個數(shù)量層次到另一個數(shù)量層次的質(zhì)變，這種質(zhì)變是經(jīng)歷了一個無限的變化過程才發(fā)生的;很多不可求的量，比如面積、體積、變力做的功、變速直線運(yùn)動的位移、物體在變化壓強(qiáng)作用下所受的壓力，都可以轉(zhuǎn)化為一些微元的無限累積和，這都體現(xiàn)了哲學(xué)中的量變引起質(zhì)變的思想;在現(xiàn)實(shí)生活中，由于人的能力的局限，我們對事物的研究不可能窮其所有，亦不可能面面俱到，我們所看到、聽到的僅僅是事物的一部分，我們可以通過對一個事物局部的個別的認(rèn)識的積累上升為對整體的具有一般規(guī)律性的認(rèn)識，由此相應(yīng)地我們就可以“由點(diǎn)到線”、“由線到面”、“由面到體”……，從量變引起質(zhì)變;哲學(xué)與數(shù)學(xué)相互促進(jìn)相互照應(yīng)，在高數(shù)的學(xué)習(xí)中我們要善于進(jìn)行哲學(xué)思考。

三、微分與積分

在高等數(shù)學(xué)中，我們知道微分是對象按某種方式分解為微觀組成單位，直至無窮小;積分是微觀單位、以至于無窮小的單位按照某種方式組合成一個宏觀對象。當(dāng)牛頓、萊布尼茨證明了微積分的基本定理時，同時也指出了微分與積分互為逆運(yùn)算，是一對矛盾概念，既對立又統(tǒng)一。很多在大區(qū)間不可求的量，把大區(qū)間分割成無窮多個“小”區(qū)間，先求這個量的微元，然后求微元的累積和，即積分，便得到在在區(qū)間上的這個量的值，這就是高等數(shù)學(xué)中的“微元法”思想，它充分體現(xiàn)了微分與積分思想在同一問題中的綜合應(yīng)用，兩者之間相互對立又最終統(tǒng)一，高數(shù)中這種哲學(xué)思考隨處可見。

四、高等數(shù)學(xué)中的辯證思想

高等數(shù)學(xué)中微積分的創(chuàng)立標(biāo)志著數(shù)學(xué)由”常量數(shù)學(xué)”時代進(jìn)入到”變量數(shù)學(xué)”時代，這次轉(zhuǎn)變具有重大的哲學(xué)意義。變量數(shù)學(xué)中的一些基本概念如變量、函數(shù)、極限、微分、積分、微分法和積分法等從本質(zhì)上看是辯證法思想在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用。正如恩格斯所指出的：”數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)?！庇辛俗償?shù)，運(yùn)動思想進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法思想進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分的思想也就順理而成了。辯證法思想在微積分中體現(xiàn)了曲線形和直線形、無限和有限、近似和準(zhǔn)確、量變和質(zhì)變等范疇的對立統(tǒng)一。它使得過程與狀態(tài)，階段與瞬間;局部與整體，微觀與宏觀之聯(lián)系更加明確;使我們既可以居高臨下，從整體角度考慮問題，又可以析理入微，從微分角度考慮問題。再如，近似和精確是既對立又統(tǒng)一，二者在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，這就是微積分中通過求極限而獲得精確值的重要方法。魏晉南北朝時期，我國數(shù)學(xué)家劉徽提出割圓術(shù)作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎(chǔ)。其方法是”割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓臺體而無所失矣。”他用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓的面積，當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增多，便得到了精確的值，這就是通過極限法，從近似中認(rèn)識了精確。這也是通過極限法使直線形和曲線形等同起來的例證。圓內(nèi)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增加只是量的變化，但是不斷的增加直至無限的過程，使多邊形就轉(zhuǎn)化成圓，從而產(chǎn)生了質(zhì)的變化，微積分的產(chǎn)生就克服了直線與曲線和圓的不可通約性，從而使高數(shù)成為辯證法的輔助工具和表現(xiàn)形式。恩格斯說“變數(shù)的數(shù)學(xué)——其中最重要的部分是微積分——本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用”，這深刻揭示了高等數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)。我們在高等數(shù)學(xué)只要善于進(jìn)行哲學(xué)思考，就能把握問題的實(shí)質(zhì)，加深對高數(shù)的理解，并能不斷提高我們正確分析問題、解決問題的能力。

總之，高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的哲學(xué)思想，我們在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時絕不能滿足于會做幾道題，也不能滿足于高等數(shù)學(xué)在生產(chǎn)中的點(diǎn)滴實(shí)際運(yùn)用，我們更要了解它的本質(zhì)，學(xué)會從哲學(xué)上思考，只有這樣，我們才能真正地領(lǐng)悟人類心靈的智力奮斗結(jié)晶——高等數(shù)學(xué)，它所蘊(yùn)含的偉大哲學(xué)思想以及它作為解決實(shí)際問題而提供的獨(dú)特方法論的重要意義，必將使我們終身受益。

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[4]《歐洲哲學(xué)通史》.冒從虎.南開大學(xué)出版社

作者簡介：

黃銀海，男，重慶三峽職業(yè)學(xué)院，副教授，數(shù)學(xué)教學(xué)