郝寶新，周志成，曲廣吉，李東澤

（中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京100094）

桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域的一個(gè)重要分支。結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的很多經(jīng)典問(wèn)題都是從桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化中出現(xiàn)并逐步得到解決的，一些新的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法往往也通過(guò)求解典型的桁架拓?fù)鋬?yōu)化算例進(jìn)行可行性和有效性的驗(yàn)證。優(yōu)化過(guò)程中桁架拓?fù)鋾?huì)發(fā)生變更，這是拓?fù)鋬?yōu)化不同于尺寸優(yōu)化的一個(gè)顯著特點(diǎn)。雖然也有學(xué)者研究進(jìn)化類(lèi)的拓?fù)渥兏呗裕?-5］，但基于退化策略的基結(jié)構(gòu)法（Ground Structure Method，GSM）［6］一直是桁架拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛的方法。從拓?fù)渥兏嵌戎v，在基結(jié)構(gòu)法框架下，初始桁架結(jié)構(gòu)中的部分桿件將被刪除，優(yōu)化結(jié)果容易出現(xiàn)穩(wěn)定性不足的情況；從力學(xué)性能角度講，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)受載時(shí)，失穩(wěn)破壞往往發(fā)生于強(qiáng)度破壞之前，滿(mǎn)足強(qiáng)度條件的結(jié)構(gòu)不一定滿(mǎn)足穩(wěn)定性要求。因此，優(yōu)化過(guò)程中若不考慮穩(wěn)定性約束，優(yōu)化結(jié)果往往不能通過(guò)穩(wěn)定性校驗(yàn)，這將嚴(yán)重影響其工程實(shí)用性。

桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中常見(jiàn)的穩(wěn)定性現(xiàn)象主要包括3類(lèi)，即局部穩(wěn)定性、幾何穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性［7-8］。局部穩(wěn)定性與歐拉屈曲相關(guān)，當(dāng)桁架中的桿件所受壓載荷超過(guò)其臨界歐拉屈曲載荷時(shí)，桿件發(fā)生歐拉屈曲，稱(chēng)桁架出現(xiàn)局部不穩(wěn)定（失穩(wěn)）。幾何穩(wěn)定性也稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，當(dāng)結(jié)構(gòu)由于存在不能承載的自由度而變?yōu)闄C(jī)構(gòu)時(shí)，稱(chēng)其為幾何不穩(wěn)定。對(duì)受載的機(jī)構(gòu)，即使很小的擾動(dòng)也可能破壞其平衡狀態(tài)，導(dǎo)致整體垮塌。節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定是最常見(jiàn)的一種幾何不穩(wěn)定現(xiàn)象，通常出現(xiàn)于成串受壓桿件的中間節(jié)點(diǎn)缺少橫向支撐的情況。全局穩(wěn)定性是基于線性穩(wěn)定性理論定義的：當(dāng)載荷達(dá)到臨界屈曲載荷時(shí)，結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)發(fā)生分支，稱(chēng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)全局不穩(wěn)定。在有限元方法中，線性穩(wěn)定性問(wèn)題是關(guān)于結(jié)構(gòu)剛度矩陣和幾何剛度矩陣的廣義特征值問(wèn)題。

桁架結(jié)構(gòu)的局部和全局穩(wěn)定性均可通過(guò)臨界屈曲載荷進(jìn)行定量評(píng)價(jià)。在優(yōu)化模型中，要求臨界屈曲載荷不小于實(shí)際載荷即可構(gòu)成對(duì)應(yīng)的約束條件。相比而言，桁架幾何穩(wěn)定性則較難描述和度量。文獻(xiàn)中常用某些替代約束方案在一定程度上確保優(yōu)化結(jié)果的幾何穩(wěn)定性。第1類(lèi)方案是限制節(jié)點(diǎn)處的桿件連接情況。例如，Ohsaki和Katoh［9］、Cerveira等［10］的策略是對(duì)拓?fù)渲械乃凶杂晒?jié)點(diǎn)，強(qiáng)制要求連接到該節(jié)點(diǎn)的桿件總數(shù)大于某給定值，并且對(duì)存在桿件的橫截面積給定合適的下限，以保證拓?fù)渲械墓?jié)點(diǎn)都有足夠的橫向支撐。但滿(mǎn)足這種要求的拓?fù)洳⒉灰欢◣缀畏€(wěn)定。第2類(lèi)方案是考慮附加載荷。在桁架節(jié)點(diǎn)處作用非軸向載荷能夠迫使最優(yōu)結(jié)構(gòu)中保留對(duì)該節(jié)點(diǎn)的橫向支撐，從而使結(jié)構(gòu)在這些載荷下保持穩(wěn)定。該思想最簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)方法是對(duì)桁架施加附加載荷，可參考Tyas等［7］、Descamps和Coelho［8］以及Mela［11］的相關(guān)工作。此類(lèi)方案往往需要引入一些復(fù)雜的主觀策略以確定附加載荷施加的位置和幅值。第3類(lèi)方案是考慮基頻約束或全局穩(wěn)定約束。冷國(guó)俊等［12］在桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中加入基頻約束以避免出現(xiàn)機(jī)構(gòu)；Guo等［13］將全局穩(wěn)定約束引入優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型，要求結(jié)構(gòu)的臨界屈曲載荷大于實(shí)際載荷。Koˇcvara［14］用算例說(shuō)明，使用基頻約束代替全局穩(wěn)定約束得到的最優(yōu)結(jié)構(gòu)并不相同，但未作深入討論。

可見(jiàn)，桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中對(duì)幾何穩(wěn)定性的約束方案多種多樣，各方案的約束原理和使用效果也不盡相同，實(shí)際應(yīng)用時(shí)存在方案選擇和優(yōu)化結(jié)果不統(tǒng)一等困難。實(shí)際上，由于對(duì)此類(lèi)問(wèn)題處理方式的主觀性，目前尚無(wú)被廣泛采用的幾何穩(wěn)定性的嚴(yán)格定義，這對(duì)桁架結(jié)構(gòu)幾何穩(wěn)定性的判定帶來(lái)了困難。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文對(duì)比了桁架拓?fù)鋷缀畏€(wěn)定性的幾種判定方法，給出了一套簡(jiǎn)單有效的判定流程；基于半定規(guī)劃（Semidefinite Programming，SDP）模型，結(jié)合具體算例對(duì)桁架拓?fù)鋬?yōu)化中處理幾何穩(wěn)定性的3種常見(jiàn)約束方案進(jìn)行了對(duì)比分析，通過(guò)對(duì)優(yōu)化結(jié)果幾何穩(wěn)定性的討論，說(shuō)明了各類(lèi)方案的有效性。

1 桁架結(jié)構(gòu)幾何穩(wěn)定性的判定

1.1 桁架結(jié)構(gòu)幾何穩(wěn)定性的判定方法

幾何不穩(wěn)定的拓?fù)湫问揭殉蔀闄C(jī)構(gòu)，但為敘述方便，本文仍將由軸向受力桿件通過(guò)鉸接節(jié)點(diǎn)連成的結(jié)構(gòu)形式統(tǒng)稱(chēng)為桁架?？煽康呐卸?zhǔn)則是是對(duì)桁架幾何穩(wěn)定性進(jìn)行討論的前提。相關(guān)文獻(xiàn)中桁架幾何穩(wěn)定性的判定方法主要有以下4類(lèi)。

1）檢查節(jié)點(diǎn)處連接桿件的情況

一般要求與某個(gè)節(jié)點(diǎn)相連的桿件數(shù)量不小于給定數(shù)值。例如，平面桁架中的自由節(jié)點(diǎn)（即可動(dòng)節(jié)點(diǎn)）至少應(yīng)連接2根不共線的桿件；而空間桁架則要求自由節(jié)點(diǎn)至少應(yīng)連接3根不共面的桿件。實(shí)施過(guò)程中，還要分別考慮載荷作用節(jié)點(diǎn)、固定節(jié)點(diǎn)和一般自由節(jié)點(diǎn)的連桿數(shù)要求。

2）檢查是否滿(mǎn)足Maxwell準(zhǔn)則

記桁架的空間維度為d（二維桁架d＝2，三維桁架d＝3），包含的桿件總數(shù)為m，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為n，被邊界條件限制的自由度數(shù)為c，則可定義桁架結(jié)構(gòu)的某種自由度度量nDOF＝d×n-m-c。按照Maxwell準(zhǔn)則，若nDOF≤0則可認(rèn)為桁架拓?fù)鋷缀畏€(wěn)定。Maxwell準(zhǔn)則也稱(chēng)為 Grubler準(zhǔn)則［15-16］或Chebyshev-Grübler-Kutzbach準(zhǔn)則［17］。

3）檢查剛度矩陣K的正定性

根據(jù)有限元理論，結(jié)構(gòu)剛度矩陣K總是半正定的。該方法認(rèn)為，若結(jié)構(gòu)剛度矩陣正定（表示為K?O，O為全零矩陣）則桁架是幾何穩(wěn)定的。否則K是奇異矩陣，此時(shí)結(jié)構(gòu)具有不能承載的自由度。這種判定方法需組裝結(jié)構(gòu)剛度矩陣K，且一般需要利用某種數(shù)值過(guò)程來(lái)確定矩陣是否正定，如計(jì)算K的特征值［16］或條件數(shù)［18］。

4）檢查結(jié)構(gòu)平衡矩陣A是否行滿(mǎn)秩

Pellegrino和Calladine［19-20］指出，與結(jié)構(gòu)平衡矩陣A（即幾何矩陣B的轉(zhuǎn)置，桿件內(nèi)力向量q與外載荷向量f滿(mǎn)足q＝A f）相關(guān)的向量子空間能夠提供結(jié)構(gòu)動(dòng)靜態(tài)穩(wěn)定性方面的詳細(xì)信息。記平衡矩陣A的行數(shù)為nr、列數(shù)為nc、矩陣的秩為r，則結(jié)構(gòu)的靜不定度為sDOF＝nc-r，動(dòng)不定度為kDOF＝nr-r。平衡矩陣A行滿(mǎn)秩，即動(dòng)不定度kDOF＝0時(shí)，認(rèn)為桁架幾何穩(wěn)定。這種方法需要構(gòu)造平衡矩陣A并求其秩。需說(shuō)明，這里的動(dòng)不定度是指桁架結(jié)構(gòu)中不能承載的自由度（沿該自由度的微小位移導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)形變不能使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的內(nèi)力來(lái)抵抗這種位移趨勢(shì)）的數(shù)量，與其他文獻(xiàn)（如文獻(xiàn)［21］）中“動(dòng)不定”的含義不盡相同。

1.2 對(duì)幾何穩(wěn)定性判定方法的討論

本節(jié)使用1.1節(jié)方法對(duì)若干簡(jiǎn)單二維拓?fù)溥M(jìn)行幾何穩(wěn)定性判定，以說(shuō)明各種判定方法的合理性。

表1第2列給出4個(gè)桁架拓?fù)?。在每個(gè)拓?fù)渲?，?shí)心圓圈“·”表示固定節(jié)點(diǎn)，其位置不變；空心圓圈“?”表示自由節(jié)點(diǎn)，其位置可變；連接2個(gè)節(jié)點(diǎn)的粗直線表示一根桿件；箭頭表示一些可能的載荷。第3～6列分別是使用不同方法對(duì)這些拓?fù)涞膸缀畏€(wěn)定性進(jìn)行判定的結(jié)果，“√”表示判定為幾何穩(wěn)定，“×”表示判定為幾何不穩(wěn)定。最后2列給出對(duì)應(yīng)拓?fù)湓贛axwell準(zhǔn)則下的自由度度量nDOF以及通過(guò)平衡矩陣特性計(jì)算的動(dòng)不定度kDOF的具體數(shù)值。

表1的4個(gè)拓?fù)渚瑱C(jī)構(gòu)，顯然是幾何不穩(wěn)定的。對(duì)拓?fù)?，所有判定方法均判定其為幾何不穩(wěn)定。方法1）對(duì)拓?fù)?和拓?fù)?判定錯(cuò)誤：2個(gè)拓?fù)渲械淖杂晒?jié)點(diǎn)各連接了2根或以上不共線桿件，各節(jié)點(diǎn)均滿(mǎn)足連桿數(shù)量要求，但這2個(gè)拓?fù)涠际菐缀尾环€(wěn)定的。方法2）對(duì)拓?fù)?判定錯(cuò)誤：該拓?fù)鋘DOF＝0，滿(mǎn)足Maxwell準(zhǔn)則要求，但其中存在無(wú)橫向支撐的共線桿件，顯然也是幾何不穩(wěn)定的，且此時(shí)nDOF≠kDOF。相關(guān)文獻(xiàn)［16-17］已指出，方法1）和方法2）使用的判定準(zhǔn)則僅是桁架幾何穩(wěn)定的必要非充分條件。方法3）和方法4）則能正確識(shí)別全部4個(gè)幾何不穩(wěn)定拓?fù)?。本文認(rèn)為，方法4）具有嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)動(dòng)不定度為零（kDOF＝0）可作為桁架結(jié)構(gòu)幾何穩(wěn)定的定義。實(shí)際上，從數(shù)學(xué)上可以證明，桁架剛度矩陣K正定等價(jià)于平衡矩陣A行滿(mǎn)秩（見(jiàn)附錄A），也即方法3）和方法4）的判定準(zhǔn)則是等價(jià)的。

觀察發(fā)現(xiàn)，不論是各節(jié)點(diǎn)連接桿件的計(jì)數(shù)，或是Maxwell準(zhǔn)則中自由度度量nDOF的計(jì)算，還是結(jié)構(gòu)相關(guān)矩陣K和A的構(gòu)造與分析，4類(lèi)方法的判定過(guò)程均不涉及載荷條件?？梢?jiàn)，桁架結(jié)構(gòu)的幾何穩(wěn)定性是一種僅與拓?fù)錁?gòu)型（包含空間維度、桿件連接關(guān)系和邊界條件等）相關(guān)的結(jié)構(gòu)屬性，與結(jié)構(gòu)材料、桿件粗細(xì)及所受載荷均無(wú)關(guān)。桁架的幾何穩(wěn)定性即指其拓?fù)涞膸缀畏€(wěn)定性。

表1 不同方法對(duì)幾何穩(wěn)定性的判定結(jié)果Tab le 1 Geom etric stability determ ined by differentm ethods

1.3 評(píng)估桁架結(jié)構(gòu)幾何穩(wěn)定性的一種簡(jiǎn)單流程

對(duì)比可見(jiàn)：方法1）和方法2）相對(duì)簡(jiǎn)單易行，其判定準(zhǔn)則雖然是桁架幾何穩(wěn)定的必要非充分條件，但這2種方法對(duì)幾何不穩(wěn)定拓?fù)涞淖R(shí)別卻有很好的效果；方法3）和方法4）則能準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的幾何穩(wěn)定性，但需要構(gòu)造相關(guān)矩陣，并使用特定的數(shù)值過(guò)程得出矩陣特性。為減少計(jì)算量，本文給出如圖1所示的幾何穩(wěn)定性判定流程。

第1步為視覺(jué)判定。對(duì)一些明顯的幾何不穩(wěn)定拓?fù)?，視覺(jué)上的直觀判斷比考察準(zhǔn)則是否滿(mǎn)足更加直接高效。本文在該階段提出識(shí)別幾何不穩(wěn)定模式的方法。定義如下3種幾何不穩(wěn)定模式：①存在與主體結(jié)構(gòu)不相連的孤立部分；②存在明顯可動(dòng)的整體或局部結(jié)構(gòu)；③存在缺少橫向支撐的共線或共面桿件。拓?fù)渲写嬖谌魏我环N幾何不穩(wěn)定模式時(shí)，即可將其判定為幾何不穩(wěn)定。幾何不穩(wěn)定模式可能并不止這3種，但是，除非新的模式能夠被很直接地識(shí)別出來(lái)，否則本文不建議在該階段列出更多模式或?qū)ζ溥M(jìn)行明確地分類(lèi)。第2步為自由度判定，即檢查Maxwell準(zhǔn)則的滿(mǎn)足情況。統(tǒng)計(jì)給定拓?fù)渲械臈U件總數(shù)、節(jié)點(diǎn)總數(shù)和被約束的自由度數(shù)，根據(jù)問(wèn)題維度計(jì)算nDOF。若nDOF＞0，直接將拓?fù)渑卸閹缀尾环€(wěn)定，否則進(jìn)入下一步。第3步為定義判定?？紤]邊界條件，構(gòu)造桁架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K或平衡矩陣A，根據(jù)K是否正定或A是否行滿(mǎn)秩準(zhǔn)確判定拓?fù)涫欠駧缀畏€(wěn)定。需要時(shí)可由A的秩計(jì)算拓?fù)涞膭?dòng)不定度和靜不定度。

圖1 桁架結(jié)構(gòu)幾何穩(wěn)定性的判定流程Fig.1 Flowchart for determining truss geometric stability

該流程能夠快速給出桁架結(jié)構(gòu)是否幾何穩(wěn)定的定性結(jié)論。視覺(jué)和自由度判定階段的任何判斷環(huán)節(jié)均可跳過(guò)（相當(dāng)于認(rèn)為該環(huán)節(jié)的判斷結(jié)果為“不確定”）。使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行判定時(shí)，可跳過(guò)視覺(jué)判定階段。

2 桁架結(jié)構(gòu)幾何穩(wěn)定約束方案對(duì)比

結(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型中通常只對(duì)結(jié)構(gòu)的典型響應(yīng)量（如柔度、應(yīng)力、節(jié)點(diǎn)位移、振動(dòng)基頻、臨界屈曲載荷等）進(jìn)行約束。由1.1節(jié)討論，桁架幾何穩(wěn)定的定義涉及剛度矩陣K和平衡矩陣A，它們并不是常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)量，因此目前的桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型中還沒(méi)有對(duì)幾何穩(wěn)定性的直接約束。本文在引言中介紹了一些替代性的方案，選取其中3種進(jìn)行研究。結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題存在可行域?yàn)榭占目赡苄?，但?duì)體積最小化問(wèn)題，通常總能通過(guò)增加結(jié)構(gòu)尺寸使約束條件滿(mǎn)足，因此一般不會(huì)出現(xiàn)這種情況。本文在體積最小化模型的基礎(chǔ)上對(duì)以下3種約束方案進(jìn)行詳細(xì)討論：A.考慮附加載荷；B.考慮基頻約束；C.考慮全局穩(wěn)定約束。

2.1 基于半定規(guī)劃的優(yōu)化問(wèn)題建模

為對(duì)比不同的幾何穩(wěn)定約束方案，給出統(tǒng)一的優(yōu)化模型。其中包含多工況下的柔度約束、結(jié)構(gòu)基頻約束和全局穩(wěn)定約束，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式（1a）為目標(biāo)函數(shù)，其中V為桁架結(jié)構(gòu)的總體積；各桿件體積ti（i＝1，2，…，m）構(gòu)成桿件體積向量t∈Rm；m為桿件總數(shù)。

式（1b）～式（1i）均為約束。式（1b）為桿件體積非負(fù)約束。式（1c）為工況j下的平衡方程，K（t）為結(jié)構(gòu)剛度矩陣；fj為第j個(gè)工況下的載荷向量；uj為該工況下的節(jié)點(diǎn)位移，k為工況總數(shù)。式（1d）為結(jié)構(gòu)柔度定義式，Cj為工況j下的柔度值。式（1e）為柔度約束，ˉC為各個(gè)載荷工況下的統(tǒng)一柔度上限。式（1 f）為無(wú)阻尼自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，λ為結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的特征值，其最小值記作λmin；φ為特征向量；M（t）為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣。

將優(yōu)化模型（1）轉(zhuǎn)換為SDP形式，以便采用適當(dāng)?shù)腟DP求解器進(jìn)行優(yōu)化求解。SDP是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃在矩陣空間中的推廣［22］，20世紀(jì)90年代末開(kāi)始應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域。SDP模型有利于問(wèn)題的凸化和對(duì)多重特征值問(wèn)題的處理。研究人員將傳統(tǒng)優(yōu)化模型中的典型約束表示為等價(jià)的半定約束形式，建立了桁架拓?fù)鋬?yōu)化的SDP模型，為優(yōu)化問(wèn)題的求解奠定了基礎(chǔ)。優(yōu)化模型（1）對(duì)應(yīng)的SDP模型為

本文考慮的3種幾何穩(wěn)定約束方案分別對(duì)應(yīng)3個(gè)桁架拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。問(wèn)題A的優(yōu)化模型由式（2a）～式（2c）組成。柔度是結(jié)構(gòu)在靜態(tài)載荷下形變量的一種度量，加入柔度約束可使優(yōu)化問(wèn)題存在體積下限，從而使問(wèn)題適定。問(wèn)題B的優(yōu)化模型由式（2a）～式（2d）組成。由于同一拓?fù)錁?gòu)型下各桿橫截面積等比例縮放時(shí)結(jié)構(gòu)基頻不變，僅在基頻約束下最小化結(jié)構(gòu)體積時(shí)，各桿橫截面積將趨于無(wú)窮?。ㄔ斠?jiàn)文獻(xiàn)［26］），加入柔度約束可使優(yōu)化問(wèn)題適定。問(wèn)題C的優(yōu)化模型由式（2a）～式（2c）和式（2e）組成，為使問(wèn)題適定，該模型中也考慮了柔度約束，其作用可見(jiàn)后文算例中的討論。

在實(shí)際求解時(shí)，一般還需通過(guò)特定的數(shù)學(xué)處理方法將上述模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)SDP形式。問(wèn)題A和問(wèn)題B可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的線性SDP問(wèn)題，可使用SeDuMi［27］、SDPT3［28］等求解器進(jìn)行求解；問(wèn)題C是一個(gè)非線性SDP問(wèn)題，可用PENLAB求解器［29］或序列SDP方法［30］進(jìn)行求解。

2.2 桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化算例

本節(jié)首先對(duì)3個(gè)不同的簡(jiǎn)單桁架分別求解優(yōu)化問(wèn)題A、B和C，通過(guò)分析結(jié)果的幾何穩(wěn)定性，詳細(xì)說(shuō)明了不同約束方案的特點(diǎn)；然后使用3種約束方案對(duì)同一空間桁架進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)一步對(duì)比了3種約束方案的有效性。

本節(jié)的所有圖示中，桿件均具有實(shí)心圓截面并用直線表示，直線粗細(xì)表示桿件的相對(duì)直徑大?。混o態(tài)載荷用箭頭表示，同一圖示中的不同箭頭長(zhǎng)度表示該圖內(nèi)載荷幅值的相對(duì)大?。ㄈ舴颠^(guò)小，箭頭尾部可能不顯示）。節(jié)點(diǎn)沿水平和豎直方向均勻分布，若無(wú)特別說(shuō)明，算例中各方向相鄰節(jié)點(diǎn)間距均為1個(gè)單位長(zhǎng)度；材料的彈性模量和密度均取單位1；初始桿件直徑均取為單位1。物理量經(jīng)適當(dāng)縮放，無(wú)需給出具體單位。圖示注釋文字最后的“（Y）”表示拓?fù)鋷缀畏€(wěn)定，“（N）”表示幾何不穩(wěn)定，“N”后的數(shù)字表示動(dòng)不定度kDOF的具體數(shù)值（幾何穩(wěn)定特性由圖1流程給出）。

2.2.1 算例1——考慮附加載荷

對(duì)圖2（a）所示的10桿桁架基結(jié)構(gòu)考慮如下3個(gè)集中載荷：主要載荷①作用于頂部右側(cè)節(jié)點(diǎn)，水平向左，幅值為1；附加載荷②和③分別作用于頂部右側(cè)和中間節(jié)點(diǎn)，豎直向下，幅值為0.1。柔度上限取ˉC＝1。

使用SeDuMi求解半定優(yōu)化問(wèn)題A，不同載荷組合情況下優(yōu)化后的拓?fù)淙鐖D2（b）～圖2（h）所示。優(yōu)化后拓?fù)淙サ袅藱M截面積小于優(yōu)化結(jié)果中最大橫截面積特定百分比的過(guò)細(xì)桿件（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，本文將過(guò)濾閾值取為0.1%）。

圖2 10桿桁架基結(jié)構(gòu)及不同工況下優(yōu)化后的拓?fù)銯ig.2 10-bar truss ground structure and optimized topologies under different load combinations

圖2（a）所示基結(jié)構(gòu)是幾何穩(wěn)定的。僅考慮載荷①時(shí)，優(yōu)化后拓?fù)洌▓D2（b））幾何不穩(wěn)定。在載荷①基礎(chǔ)上考慮附加載荷②，優(yōu)化后拓?fù)洌▓D2（c）、圖2（d））均幾何穩(wěn)定；在載荷①基礎(chǔ)上考慮附加載荷③，不論是同時(shí)加載還是分工況加載，優(yōu)化后拓?fù)洌▓D2（e）、圖2（f））相同，且均幾何不穩(wěn)定；在載荷①基礎(chǔ)上考慮附加載荷②和③，優(yōu)化后拓?fù)渚鶐缀畏€(wěn)定，且與同時(shí)考慮載荷①②時(shí)得到的拓?fù)洌▓D2（c）、圖2（d））相同?？梢?jiàn)，附加載荷作用節(jié)點(diǎn)的選擇對(duì)優(yōu)化后拓?fù)鋷缀畏€(wěn)定性的影響很大。另外，多載荷分工況加載比同時(shí)加載時(shí)得到的優(yōu)化后拓?fù)渫鼉A向于幾何穩(wěn)定，前者中包含后者的所有桿件，且通常還有更多的橫向支撐。

對(duì)刪除細(xì)桿前后桁架的力學(xué)特性進(jìn)行對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化結(jié)果中的細(xì)桿對(duì)結(jié)構(gòu)體積和柔度幾乎沒(méi)有影響。需注意，幾何不穩(wěn)定桁架的剛度矩陣K奇異，求解平衡方程時(shí)可采用其Moore-Penrose逆矩陣［31］。

2.2.2 算例2——考慮基頻約束

如圖3（a）所示的33桿桁架基結(jié)構(gòu)，各方向相鄰節(jié)點(diǎn)間距均為0.5個(gè)單位長(zhǎng)度，最左側(cè)3個(gè)節(jié)點(diǎn)為固定節(jié)點(diǎn)，最右側(cè)中間節(jié)點(diǎn)處作用水平向左、幅值為1的靜態(tài)載荷。33根桿件考慮了除固支點(diǎn)之間連接之外的所有可能連接情況，包含跨節(jié)點(diǎn)的長(zhǎng)桿。

基結(jié)構(gòu)體積為21.543 1，柔度為0.265 2，基頻為0.059 2。使用SeDuMi求解半定優(yōu)化問(wèn)題B。柔度上限設(shè)置為＝1，基頻下限分 別取0.05、0.1和0.15時(shí)，優(yōu)化后拓?fù)洌ㄏミ^(guò)細(xì)桿件）分別如圖3（b）～圖3（d）所示，其最優(yōu)體積分別為1.103 0、2.488 6和10.7037。各結(jié)果的柔度值均為1.000 0，基頻均達(dá)到給定下限（數(shù)值分別為5.000 0×10-2、1.000 0×10-1和1.500 0×10-1），柔度和基頻約束均為臨界約束。觀察可見(jiàn)：對(duì)不同的基頻下限值f，優(yōu)化結(jié)果中桿件的橫截面積和結(jié)構(gòu)拓?fù)渚l(fā)生了顯著變化；隨著f的不斷增大，越來(lái)越多的材料被用于滿(mǎn)足基頻約束。通過(guò)判別，本例在基頻約束下得到的優(yōu)化后拓?fù)渚菐缀畏€(wěn)定的。

圖3 33桿桁架基結(jié)構(gòu)及不同基頻約束下優(yōu)化后的拓?fù)銯ig.3 33-bar truss ground structure and optimized topologies under different fundamental frequency constraints

對(duì)本例，僅考慮單一約束（柔度或基頻約束）的體積最小解將趨于不同的構(gòu)型。柔度上限固定，取不同的基頻下限f進(jìn)行試算時(shí)，出現(xiàn)2種極端情況。若柔度約束相比基頻約束（?。?.001）過(guò)于嚴(yán)格，則基頻約束為寬松約束，所得優(yōu)化結(jié)果（圖4（a））體積為1.0000，柔度為1.0000，基頻為9.999 9×10-4（振型見(jiàn)圖4（b）），在一定誤差范圍內(nèi)可認(rèn)為滿(mǎn)足柔度和基頻約束。去掉過(guò)細(xì)桿件后的2桿拓?fù)洌▓D4（c））柔度值為1.000 1，可認(rèn)為仍滿(mǎn)足柔度約束；但該拓?fù)鋭?dòng)不定度為2，其前2階振動(dòng)頻率均為0，不再滿(mǎn)足基頻約束（細(xì)桿的存在對(duì)一階振型的維持不可或缺，去除細(xì)桿后的桁架拓?fù)鋭?dòng)不定）。若基頻約束（取＝0.2）相比柔度約束過(guò)于嚴(yán)格，則柔度約束為寬松約束，數(shù)值計(jì)算停止時(shí)得到的結(jié)果（圖4（d））體積為238.850 5，柔度為1.000 0，基頻為0.159 4（對(duì)應(yīng)過(guò)細(xì)桿件的振動(dòng)模態(tài)，見(jiàn)圖4（e）），不滿(mǎn)足基頻約束，結(jié)果不可行，求解失敗。去掉過(guò)細(xì)桿件后的8桿拓?fù)洌▓D4（f））基頻為0.200 4，滿(mǎn)足基頻約束；但其柔度值為1.041 7，不再滿(mǎn)足柔度約束（細(xì)桿對(duì)滿(mǎn)足柔度約束不可或缺）。對(duì)上述2種情況，優(yōu)化問(wèn)題中約束上下限取值不合理，不同約束的相對(duì)嚴(yán)格程度差距較大，得到的計(jì)算結(jié)果不合理甚至不可行。

圖4 33桿桁架不合理基頻約束下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.4 Topology optimization results of 33-bar truss under unreasonable fundamental frequency constraints

2.2.3 算例3——考慮全局穩(wěn)定約束

為說(shuō)明載荷對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，將載荷幅值F分別取為1和0.5，優(yōu)化后拓?fù)洌ㄏミ^(guò)細(xì)桿件）分別如圖5（b）和圖5（c）所示。圖5（b）所示拓?fù)涞呐R界屈曲載荷因子為1.211 1，滿(mǎn)足全局穩(wěn)定約束且非臨界；結(jié)構(gòu)柔度為1.000 0，柔度約束臨界。該解與僅考慮柔度約束（ˉC＝1）的解完全相同，為幾何不穩(wěn)定拓?fù)?。圖5（c）所示拓?fù)涞呐R界屈曲載荷因子為1.000 0，全局穩(wěn)定約束臨界；結(jié)構(gòu)柔度為1.000 0，柔度約束也臨界，該解幾何穩(wěn)定。實(shí)際上，若基結(jié)構(gòu)幾何不穩(wěn)定（僅含桿①②③），優(yōu)化結(jié)果也可滿(mǎn)足全局穩(wěn)定約束。取F＝0.5時(shí)，問(wèn)題C的解如圖5（d）所示，雖然幾何不穩(wěn)定，但該解的臨界屈曲載荷因子為1.000 0，載荷下的柔度為1，嚴(yán)格滿(mǎn)足全局穩(wěn)定約束和柔度約束。相比靈活性更大的4桿基結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)解（圖5（c），體積為4.889 0），3桿基結(jié)構(gòu)下的優(yōu)化空間變小，最優(yōu)解滿(mǎn)足約束所需的材料體積（5.098 1）略有增加?？梢?jiàn)滿(mǎn)足全局穩(wěn)定約束時(shí)，桁架拓?fù)淇赡軒缀畏€(wěn)定，也可能幾何不穩(wěn)定，載荷的影響很大。

圖5 4桿桁架基結(jié)構(gòu)及不同約束和載荷值下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.5 4-bar truss ground structure and topology optimization results under different constraints and loads

下面考慮F＝0.5時(shí)約束單獨(dú)作用的情況。若不考慮全局穩(wěn)定約束而僅考慮柔度約束，所得解（圖5（e））的柔度為臨界值1.000 0，但其臨界屈曲載荷因子為0.605 6，不滿(mǎn)足全局穩(wěn)定約束。若不考慮柔度約束而僅考慮全局穩(wěn)定約束，所得解（圖5（f））的臨界屈曲載荷因子為臨界值1.0000，但該解柔度值為4.209 2×104，遠(yuǎn)超過(guò)柔度上限ˉC＝1。可見(jiàn)，不同約束下的優(yōu)化結(jié)果存在極大差異，優(yōu)化結(jié)果并不一定能滿(mǎn)足未考慮的約束條件。

全局穩(wěn)定解（圖5（f））存在更加嚴(yán)重的問(wèn)題：為滿(mǎn)足全局穩(wěn)定約束，內(nèi)力為零的桿④具有相當(dāng)大的橫截面積；作為主要承力桿件的桿③橫截面積卻很小，其應(yīng)力絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)高出桿①②（相差約5個(gè)數(shù)量級(jí)）；若桿③因過(guò)細(xì)而在后處理過(guò)程中被刪除，剩余的①②④桿拓?fù)鋵⒉荒艹袚?dān)給定載荷。若對(duì)僅含桿①②③的幾何不穩(wěn)定基結(jié)構(gòu)求解僅考慮全局穩(wěn)定約束的體積最小化問(wèn)題，所得解如圖5（g）所示。對(duì)比可見(jiàn)，增大桿④的橫截面積同時(shí)減小桿③的橫截面積，能夠以更小的結(jié)構(gòu)總體積滿(mǎn)足全局穩(wěn)定約束。

應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，K奇異時(shí)，線性穩(wěn)定的廣義特征值方程（1h）必然存在零特征值。幾何不穩(wěn)定拓?fù)浔厝淮嬖谂c結(jié)構(gòu)動(dòng)不定度kDOF對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)的零值（數(shù)值求解時(shí)一般是絕對(duì)值近似為0的值）載荷因子。若桁架（近似）幾何不穩(wěn)定，在計(jì)算臨界屈曲載荷因子時(shí)，應(yīng)將這些近似為0的值排除。

2.2.4 算例4——不同約束方案對(duì)比

如圖6（a）所示的88桿空間桁架基結(jié)構(gòu)，其空間尺寸為8×1×2，左側(cè)4個(gè)節(jié)點(diǎn)固定，右側(cè)頂部的2個(gè)節(jié)點(diǎn)處作用豎直向下、幅值分別為0.666 7的集中載荷。該算例取自文獻(xiàn)［14］。

圖6 88桿桁架基結(jié)構(gòu)及不同設(shè)定下優(yōu)化后的拓?fù)銯ig.6 88-bar truss ground structure and optim ized topologies under different settings

表2 88桿桁架基結(jié)構(gòu)及優(yōu)化結(jié)果特性Table 2 Properties of ground structure and optim ized topologies for 88-bar truss

對(duì)本例，僅方案B（考慮基頻約束）所得優(yōu)化后拓?fù)涫菐缀畏€(wěn)定的，其余方案所得拓?fù)渚嬖诓煌潭鹊膸缀尾环€(wěn)定。該例有以下問(wèn)題需要說(shuō)明：①圖6（c）和圖6（e）所示結(jié)果中的不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)在主載荷下均為受拉節(jié)點(diǎn)，在其周?chē)恍纬蓹M向支撐可能更加符合工程要求，本文僅研究?jī)?yōu)化結(jié)果的幾何穩(wěn)定性，對(duì)此不作討論；②優(yōu)化完成后濾除細(xì)桿對(duì)結(jié)構(gòu)柔度幾乎沒(méi)有影響，但對(duì)基頻、臨界屈曲載荷因子等特征值類(lèi)的特性影響較大，圖6（d）所示拓?fù)涞幕l和圖6（e）所示拓?fù)涞呐R界屈曲載荷因子相比約束值均有一定程度的降低，但結(jié)果的幾何穩(wěn)定性未發(fā)生質(zhì)變；③所有優(yōu)化結(jié)果中22根主要桿件的構(gòu)型基本類(lèi)似，圖6（c）～圖6（e）所示拓?fù)湎啾葓D6（b）多了細(xì)桿支撐，臨界屈曲載荷因子卻小了很多，這是因?yàn)榧?xì)桿的加入使原先被忽略的近似為0的特征值變?yōu)楹苄〉挠邢拗?，從而被提取為臨界屈曲載荷因子。

2.3 對(duì)幾何穩(wěn)定約束方案的討論

根據(jù)算例1，考慮附加載荷并不能確保優(yōu)化后拓?fù)鋷缀畏€(wěn)定。附加載荷作用節(jié)點(diǎn)的選擇對(duì)優(yōu)化結(jié)果的幾何穩(wěn)定性有很大影響。幾何不穩(wěn)定桁架存在不能承載的自由度。當(dāng)載荷不作用于這些自由度時(shí)，平衡方程相容，位移有解；否則結(jié)構(gòu)將垮塌，節(jié)點(diǎn)位移和結(jié)構(gòu)柔度將趨于無(wú)窮大，此時(shí)平衡方程不相容，位移無(wú)解。柔度約束的存在能夠避免優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)第2種情況，但幾何不穩(wěn)定拓?fù)涮幱诓环€(wěn)定平衡狀態(tài)（第1種情況）時(shí)并不影響柔度約束的滿(mǎn)足?？梢?jiàn)，考慮附加載荷的實(shí)質(zhì)是使優(yōu)化結(jié)果保留對(duì)附加載荷的承載能力，該方案只是在一定程度上增加了優(yōu)化結(jié)果幾何穩(wěn)定的概率，并不一定能保證優(yōu)化后拓?fù)鋷缀畏€(wěn)定。

算例2中，在約束上下限合理取值的前提下，優(yōu)化模型中考慮基頻約束可保證優(yōu)化后的拓?fù)鋷缀畏€(wěn)定。實(shí)際上可以證明，滿(mǎn)足基頻約束的結(jié)構(gòu)必然幾何穩(wěn)定（詳見(jiàn)附錄B）。一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題在于，約束的滿(mǎn)足是否需要過(guò)細(xì)桿件。若不同約束的相對(duì)嚴(yán)格程度差距較大，優(yōu)化結(jié)果中保留的粗桿主要用于滿(mǎn)足嚴(yán)格約束，當(dāng)粗桿不能同時(shí)滿(mǎn)足寬松約束時(shí)，結(jié)果中的細(xì)桿對(duì)滿(mǎn)足寬松約束具有不可或缺的作用，一旦過(guò)細(xì)桿件在后處理過(guò)程中被刪除，這些寬松約束往往就不再滿(mǎn)足。算例2的兩種極端情況說(shuō)明，即使對(duì)適定的優(yōu)化問(wèn)題，約束上下限取值不合理也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不合理甚至引起數(shù)值求解方面的困難。

根據(jù)算例3，不論初始結(jié)構(gòu)是否幾何穩(wěn)定，滿(mǎn)足全局穩(wěn)定約束均不能保證優(yōu)化后拓?fù)涞膸缀畏€(wěn)定性。本文強(qiáng)調(diào)，全局穩(wěn)定性是與載荷作用下的內(nèi)力分布密切相關(guān)的結(jié)構(gòu)屬性，幾何穩(wěn)定性則是桁架拓?fù)涞墓逃袑傩?，前者與載荷相關(guān)，后者與載荷無(wú)關(guān)，二者之間沒(méi)有必然聯(lián)系。僅考慮全局穩(wěn)定約束的桁架結(jié)構(gòu)體積最小化問(wèn)題，雖然通過(guò)計(jì)算得到了最優(yōu)解，但該問(wèn)題目標(biāo)與約束函數(shù)的設(shè)定可能并不合理。至少?gòu)谋疚慕o出的算例來(lái)看，優(yōu)化結(jié)果中部分桿件的橫截面積大小與其內(nèi)力水平并不是正相關(guān)的，由此造成了各桿應(yīng)力水平的巨大差距。分析發(fā)現(xiàn)，這種不合理的應(yīng)力分布的確能以更小的結(jié)構(gòu)體積滿(mǎn)足全局穩(wěn)定約束，但并不符合實(shí)際工程的要求。

3 結(jié) 論

1）通過(guò)對(duì)4種判定方法的對(duì)比，確定了桁架結(jié)構(gòu)幾何穩(wěn)定的準(zhǔn)確定義，可避免無(wú)效判定方法的盲目使用；結(jié)合不同判定方法的特點(diǎn)給出一種簡(jiǎn)單流程，可用于桁架結(jié)構(gòu)幾何穩(wěn)定性的快速準(zhǔn)確判定。

2）使用統(tǒng)一的SDP模型對(duì)3種幾何穩(wěn)定約束方案的對(duì)比表明，在優(yōu)化模型中考慮附加載荷或全局穩(wěn)定約束均不能確保優(yōu)化后拓?fù)涞膸缀畏€(wěn)定性，但在約束合理設(shè)置的情況下，考慮基頻約束則可以保證。

3）傳統(tǒng)的基結(jié)構(gòu)法框架存在刪除過(guò)細(xì)桿件的后處理方式。由于刪除細(xì)桿對(duì)結(jié)構(gòu)特性的影響，約束上下限設(shè)置的合理性會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的合理性甚至優(yōu)化問(wèn)題數(shù)值求解的正確性。為避免對(duì)細(xì)桿的處理，下一步可考慮在基于獨(dú)立拓?fù)渥兞康幕Y(jié)構(gòu)法框架下進(jìn)行對(duì)比研究。

4）指出桁架結(jié)構(gòu)的幾何穩(wěn)定性是一種僅與拓?fù)錁?gòu)型相關(guān)的屬性，與載荷無(wú)關(guān)，這是桁架幾何穩(wěn)定性與局部穩(wěn)定性、全局穩(wěn)定性的本質(zhì)區(qū)別。桁架結(jié)構(gòu)全局穩(wěn)定并不能保證其幾何穩(wěn)定。

5）僅在全局穩(wěn)定約束下進(jìn)行桁架結(jié)構(gòu)體積最小化設(shè)計(jì)，所得結(jié)果的應(yīng)力分布水平可能極不合理，不滿(mǎn)足實(shí)際工程要求。可見(jiàn)，隨著結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題建模和求解能力的不斷提高，對(duì)不同約束組合下優(yōu)化問(wèn)題的適定性、約束之間的相互作用以及約束本身特性的研究也應(yīng)引起足夠注意。