丁紅兵，李一鳴，李金霞，王超

（天津大學 電氣自動化與信息工程學院，天津300072）

瞬態(tài)壓力測量，在航空航天、國防、工業(yè)等領域起著重要作用［1-3］。在航空發(fā)動機型號研制過程中，瞬態(tài)壓力測量用來測試壓氣機轉子后流場，描述非定常流動特征［4-5］；氣固流化床內水動力現象的研究，以及流化床行為的表征都需要局部瞬態(tài)壓力波動的測量［6-7］；在燃氣輪機的測控系統中，瞬態(tài)壓力的測量可用來檢測發(fā)動機內部的流量異常［8］。為了保證測量的可靠性，應盡量減小對流場的擾動，因此，微型探頭-傳感系統在瞬態(tài)壓力測量中起著非常重要的作用。微型探頭-傳感系統除了壓力傳感器，還包括引壓管和腔室，而引壓管和腔室的頻響特性通常都比較低，導致系統的可用頻帶變窄。當用于獲取高頻流場的動態(tài)特征時，其頻響往往達不到測量要求，造成測量誤差變大甚至信號失真。因此，有必要研究微型探頭-傳感系統的動態(tài)響應模型，以分析并改善其頻響特性。

目前，很多文獻都對微型探頭-傳感系統頻響特性進行了理論研究并提出了不同的數學模型。柳兆榮等［9］根據流體阻抗法得到了固有頻率公式，把探頭-傳感系統分成5種典型結構。探頭-變送系統的數學模型主要分為集中參數模型和分布參數模型。葉挺 等［10］、黃俊欽［11］把探 頭-傳感系統看作是集中參數的不可壓縮二階系統，前者給出了探頭-傳感系統的幅頻特性和固有頻率表達式，結構比較簡單，而后者給出了差分方程模型、離散傳遞函數模型和連續(xù)傳遞函數模型，與實驗數據基本吻合。Goodson和Leonard［12］建立了系統的分布參數模型，并基于此給出了線性摩擦模型和耗散模型。在此基礎上，Iberall［13］利用分布參數模型推導出了探頭-傳感系統的動態(tài)響應公式，但省略了推導過程，而且沒有進行實驗驗證。Bergh和Tijdeman［14］以及Richards［15］沿用了Iberall的方法，給出了探頭-傳感系統的數學模型，并用實驗驗證了模型的準確性。這些模型為微型探頭-傳感系統頻率特性的研究提供了依據，但是大部分模型并沒有給出具體的適用范圍和預測精度，對瞬態(tài)壓力信號，尤其是高頻信號的測量精度難以保證，可能影響瞬態(tài)壓力信號的分析結果。因此，針對微型探頭-傳感系統的具體結構，如何選擇合適的數學模型，是一個亟待解決的問題。

本文對微型探頭-傳感系統進行分類，并利用基于CFD數值模擬的系統參數辨識方法得到頻響函數，以諧振頻率、截止頻率和工作頻帶為性能指標，對微型探頭-傳感系統的經典數學模型進行定量評價。

1 微型探頭-傳感系統頻響特性

微型探頭-傳感系統由壓力傳感器、引壓管和腔室構成，其結構圖如圖1所示，r表示引壓管半徑，l表示引壓管長度，V表示腔室體積。

瞬態(tài)壓力信號作為微型探頭-傳感系統的輸入信號pi，可以表示為不同頻率正弦信號的合成，所測信號為輸出信號po，頻響特性反映正弦信號作用下系統響應的性能［16］。穩(wěn)定系統的頻響特性等于輸出和輸入的傅里葉變換之比，即式中：ω為角頻率；A（ω）為幅頻特性；φ（ω）為相頻特性，分別為輸出響應中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的幅值比和相位差。

圖1 微型探頭-傳感系統基本結構Fig.1 Basic structure ofmicro probe-transducer system

2 微型探頭-傳感系統結構分類及判定

根據引壓管和腔室尺寸的不同，對基于流體阻抗法得到的微型探頭-傳感系統固有頻率公式進行合理的簡化，從而得到5種典型結構［9］，如表1所示。其中：a為管道截面積，c為聲速，ωn為固有頻率，R為腔室半徑，L為腔室長度。由于流體阻抗法忽略了流體黏性，系統阻尼非常小，此時ωn近似等于諧振頻率ωr。結構Ⅳ的腔室長度不斷減小，當遠小于引壓管長度時，可將腔室作為集中參數處理，這時可看作結構Ⅲ。結構Ⅰ和結構Ⅱ則分別是結構Ⅲ引壓管長度非常小和腔室體積非常小時的簡化結構。

表1 微型探頭-傳感系統典型結構Tab le 1 Typ ical structures of m icro p robe-transducer system

3 微型探頭-傳感系統數學模型

假設微型探頭-傳感系統引壓管半徑r遠小于長度l，傳感器的頻響特性是理想的，且管道及腔室外壁是剛性的，表2所示為已有研究中所提到的6種數學模型。其中：c0為平均聲速；Jn（n＝0，1，2）表示n階第一類貝塞爾函數；m表示第m個微型探頭-傳感系統；n為多變常數類型；Pr為普朗特數；μ為流體動力黏度；ρ為流體密度；σ為由于膜片偏轉引起的腔室體積增加；γ為比熱比。當Rf／ω?1時，Rf＝8μ／（ρr2），表2中的線性摩擦模型和耗散模型可以簡化為附錄A中式（A1），以減少實際計算中的困難。

上述數學模型仍存在不完善的地方需要進一步修正。由于上述模型均忽略了腔室內的流速，因此理論上不適用于結構Ⅰ諧振腔的預測［18］，結構Ⅰ計算將在第5節(jié)詳細說明。另外，對于微型探頭-傳感系統，其腔室體積V很小，這時管道內流體的可壓縮性和傳感器柔性造成的腔室體積變化就不能完全忽略不計，造成不可壓縮二階系統模型不適用，因此用等效腔室體積Ve＝V＋Vf＋Vte代替公式中的V［19］。Vf為考慮傳感器柔性的附加容積，Vf＝E（ΔVf／Δp），ΔVf／Δp表示傳感器在單位壓力作用下的體積變化，E為流體體積模量；Vte為考慮流體管道可壓縮性的附加容積，Vte＝（4／π2）／（al）。

對于結構Ⅱ，腔室體積為0，此時，可壓縮流體管道模型（無損耗模型、線性摩擦模型和耗散模型）的頻響特性公式可簡化為

整理可得到系統的諧振頻率公式為

表2 微型探頭-傳感系統數學模型Tab le 2 M athem aticalm odels of m icro p robe-transducer system

僅考慮第一個諧振頻率，即n＝1時，就是著名的四分之一波長公式。

對于B-T模型，當m＝N＝2時，表示系統由2個引壓管和2個腔室構成，令第1個腔室的體積為0，即V1＝0，即可用于結構Ⅴ的計算。

微型探頭-傳感系統內的流場十分復雜，在不同的假設條件下，每種模型適用于特定的工況條件和系統結構，但目前這些模型的適用性與系統結構之間沒有明確的對應關系，缺少對于模型誤差的評估。因此，利用CFD數值模擬的方法對微型探頭-傳感系統進行系統辨識，并對上述數學模型進行適用性分析和預測精度評價。

4 CFD數值模擬及驗證

利用ANSYS? FLUENT進行CFD數值模擬。采用結構化網格劃分，湍流模型選用標準k-ε模型?？紤]可壓縮性，流體設置為理想氣體，并打開能量方程。系統內部由流體速度和密度的變化引起壓力振蕩。入口采用壓力入口邊界條件，由于出口為傳感器膜片，因此出口和壁面都設為無滑移壁面。監(jiān)測點為入口和出口壁面中心處，監(jiān)測流場壓力變化。采用雙精度求解器以提高仿真精度。為真實反映系統內部的流場，采用三維網格，如圖2所示。

為了檢驗數值模型和數值方法的可靠性，將仿真結果與Bergh和Tijdeman［14］的實驗進行對比。實驗的環(huán)境壓力為105 020 Pa，溫度為24℃。微型探頭-傳感系統入口為正弦壓力擾動，幅值為650 Pa，在10～200 Hz的頻率范圍內測量系統的動態(tài)響應，引壓管半徑r＝0.525mm，引壓管長度l＝500mm，腔室體積V＝285mm3。

通過CFD數值仿真，分別利用正弦激勵法和階躍激勵法得到系統的頻響特性。

正弦激勵法的入口施加固定幅值、不同頻率的正弦壓力信號，每周期采樣點數N＝100，輸出同樣為正弦信號。通過傅里葉變換將時域信號轉換到頻域，并利用比值校正法對頻域信號進行校正，得到信號的幅值和初始相角，最終可得到輸出與輸入信號的幅值比A（ω）和相位差φ（ω），根據式（1），即可得到頻響特性G（jω）。數值仿真結果如圖3（a）所示。

圖2 微型探頭-傳感系統網格Fig.2 Grid ofmicro probe-transducer system

對于階躍激勵法，對入口施加固定幅值（pi＝100 Pa）的階躍壓力信號，監(jiān)測出口的壓力響應，通過系統辨識得到系統傳遞函數，從而得到其頻率特性G（jω）。數值仿真結果如圖3（b）所示。利用非線性最小二乘法，對系統頻率響應函數進行參數辨識。由于壓力波從入口到傳感器膜片的傳播需要一定時間，因此模型需考慮延遲時間τd，其計算公式為

τd＝（l＋L）／c （4）

模型的階次利用各個擬合階次的殘差平方和構成的損失函數Qn來確定［20］。Qn表示n階預測模型的殘差平方和。系統各階次Qn的變化趨勢如圖4所示。Q2與Q1相比，有比較大的下降，Q3的下降趨勢明顯變緩，而從Q4開始，變化十分微弱。根據最終陡峭下降準則，判斷系統階次最低為二階。

為了設置合適的采樣頻率fs，根據式（5）選?。?1］：

圖3 正弦激勵法和階躍激勵法CFD數值仿真結果Fig.3 CFD simulation results of sine and step excitation methods

式中：T95為階躍響應調節(jié)時間的95%。

以fs＝5 000 Hz為例，其辨識得到的系統頻響函數為式中：τd＝0.001 5；a1＝0.12；a2＝411.44；a3＝3.40×105；b1＝438.38；b2＝3.40×105。

為確定合適的采樣頻率，還分別取fs＝2 000 Hz和fs＝4 000 Hz進行了CFD仿真和參數辨識，并與正弦激勵結果和實驗得到的幅值比及相位差進行對比，結果如圖5所示?？芍敳蓸宇l率為fs＝5000Hz時，階躍激勵法與正弦激勵法和實驗結果吻合良好，說明基于CFD的系統辨識方法，可用于微型探頭-傳感系統頻響特性的定量研究。關于采樣頻率的選擇，如果fs太小，會因仿真精度不夠造成預測誤差；若采樣頻率fs過大，則可能會因為畸變問題而造成誤差，所以需要選擇合適的采樣頻率。本文設置采樣頻率fs為所關心頻段最高頻率的25倍，以保證預測精度。

圖4 Qn隨n的變化趨勢Fig.4 Variation of Qn with n

圖5 實驗和CFD數值仿真得到的頻響特性曲線Fig.5 Frequency response characteristic curves obtained by experiment and CFD simulation

5 不同結構下數學模型適應性分析

傳感器常用的頻響特性指標是諧振頻率ωr、閉環(huán)截止頻率ωb和工作頻帶ωg。為保證能夠測得較高能量的信號，本文規(guī)定ωb為系統閉環(huán)幅頻特性下降到0 dB時對應的頻率，即A（ωb）＝1。工作頻帶ωg是動態(tài)幅值誤差為±5%所確定的有效工作頻率范圍，如圖6所示。

不可壓縮一階系統模型是二階系統模型的一種特殊情況，僅適用于壓力變化緩慢的情況，是二階系統模型的近似，不能預測欠阻尼二階系統的諧振頻率。無損耗模型是線性摩擦模型的特例，在其推導過程中，認為流體與管道的摩擦力為0，因此公式變得簡單，精度較低。在下面的研究工作中，不可壓縮一階系統模型和無損耗模型本文將不做進一步分析。

利用4種模型對結構Ⅱ～結構Ⅴ的微型探頭-傳感系統進行分析，尺寸如表3所示。截止頻率和工作頻帶可以衡量微型探頭-傳感系統的可用帶寬以及準確度，因此以這2個參數為指標對各數學模型做定量評價。

圖6 微型探頭-傳感系統的幅頻特性曲線Fig.6 Amp litude-frequency characteristic curve of micro probe-transducer system

表3 微型探頭-傳感系統尺寸Table 3 Size ofm icro probe-transducer system s

理論截止頻率fb0、工作頻帶fg0及不可壓縮二階系統模型、線性摩擦模型、耗散模型和B-T模型計算得到截止頻率fb1～fb4、工作頻帶fg1～fg4如表4和表5所示，σf表示相對誤差。其中實驗結果參考自文獻［14，22］。由表4和表5可知，實驗僅針對于頻率特性較低的系統，而且并不能覆蓋所有系統結構，而數值模擬可作為對實驗的補充和完善。綜合2種方法的結果來看，B-T模型的精度最高，且適用于較復雜的結構Ⅴ。

表4 4種預測模型的截止頻率計算結果及誤差Tab le 4 Cut-off frequency com putational resu lt and er ror of four p rediction m odels

表5 4種預測模型的工作頻帶計算結果及誤差Tab le 5 W orking frequency band com putational resu lt and error of four p red iction m odels

對于引壓管較短的結構Ⅰ，以上4種模型會產生較大的計算誤差，以B-T模型為例，如圖7所示，從l／d＝1開始，隨著l不斷減小，B-T模型的誤差越來越大［23］。其中：d為引壓管直徑。

Panton和Miller［24］針對這種情況，提出了結構Ⅰ諧振頻率的計算公式：

式中：l′＝l＋Δl為有效長度，Δl＝8r／（3π）·（1－1.24 r／R）為對引壓管長的修正；S為引壓管橫截面積；kL＝ωrL／c。對式（7）右邊展開得到

如果僅保留式（7）右邊第一項，整理可得到諧振頻率的經典計算公式：

如果保留前兩項，則得到諧振頻率的改進計算公式：

圖7 不同l／d條件下的諧振頻率Fig.7 Resonant frequency under different l／d

Panton和Miller［24］通過實驗得到了不同l／d條件下系統的諧振頻率fexp，結果如表6所示，f1、f2和f3分別為式（7）、式（9）和式（10）的預測結果。由表6可知，式（7）（原始公式）的預測誤差小于1%，式（10）（改進公式）小于3%，對結構Ⅰ有很高的預測精度。對于式（9）（經典公式），當l／d＝0.63，即引壓管較長時，其誤差在6%左右；當l／d＜0.42，即引壓管較短時，其誤差明顯增大。

綜合以上分析，總結微型探頭-傳感系統不同結構對各模型的適應性如表7所示。

表6 Panton模型諧振頻率實驗與預測結果對比［24］Table 6 Com parison ofm easured and predicted resonant frequencies w ith Panton m odel［24］

表7 微型探頭-傳感系統不同結構對各模型的適應性Table 7 Adaptability of differentm icro probetransducer system structu res to various m odels

6 瞬態(tài)壓力測量的應用

聲速噴嘴中流動的蒸汽或含濕氣體由于自身溫降會發(fā)生凝結，造成非穩(wěn)態(tài)自激振蕩現象，影響噴嘴的計量精度。為了獲得自激振蕩的高頻瞬態(tài)壓力信號［25］，在噴嘴壁面設置引壓孔，以安裝微型探頭-傳感系統。實驗所用噴嘴尺寸如圖8所示，且噴嘴壁面厚度為6.5 mm。根據半經驗公式［26］，預估自激振蕩頻率在9 368～15 806 Hz范圍內。因此，要求微型探頭-傳感系統的截止頻率大于15806Hz。

為了減少對噴嘴內流場的擾動，設計微型探頭-傳感系統為帶有節(jié)流孔的結構Ⅴ。選擇B-T模型設計系統尺寸。根據B-T模型可知，微型探頭-傳感系統的截止頻率隨測壓孔半徑r0的增大而增大，而測壓孔長度l0、引壓管半徑r、引壓管長度l和腔室體積V的增大則會降低截止頻率。

對于小喉徑噴嘴來說，測壓孔對流場的影響是很顯著的，因此r0必須很小，要求測壓孔半徑滿足0mm＜r0＜1mm，引壓管半徑則應滿足r＞r0。為了便于安裝，測壓孔長度l0與引壓管長度l之和取噴嘴壁厚，即l0＋l＝6.5mm。而為了補償測壓孔半徑減小所造成的截止頻率的降低，則應盡量減小l0、r、l和V以提高截止頻率。

圖8 聲速噴嘴尺寸Fig.8 Size of sonic nozzle

表8 微型探頭-傳感系統尺寸及閉環(huán)截止頻率Tab le 8 Size and closed-loop cut-off frequency of m icro p robe-transducer system

基于以上尺寸范圍，取若干種微型探頭-傳感系統，利用B-T模型計算得到相應的閉環(huán)截止頻率fb，如表8所示。首先選取fb＞15 806 Hz所對應的尺寸，而為了減少對流場的擾動，進一步選擇較 小的測壓孔半徑r0＝0.3 mm或r0＝0.6 mm。但由于噴嘴壁面打孔和傳感器加工的限制，測壓孔做不到太小。另外，腔室部分也不能太小，需要為傳感器敏感元件的安裝和接線預留一定的空間。最終選擇r0＝0.6mm，l0＝5mm，r＝0.9mm，l＝1.5mm，V＝0mm3，此時敏感元件直接安裝在引壓管頂端，微型探頭-傳感系統的閉環(huán)截止頻率fb＝16 870Hz。

利用微型探頭-傳感系統測量自激振蕩瞬態(tài)壓力信號，通過傅里葉變換將時域信號轉換到頻域，并利用比值校正法對頻域信號進行校正，結果如圖9所示，幅值最大處對應的即為自激振蕩頻率13 950 Hz。表明所設計的微型探頭-傳感系統可以有效測得超聲速凝結中的高頻瞬態(tài)壓力信號。

圖9 凝結自激振蕩頻域信號Fig.9 Signal of self-excited oscillation in frequency domain

7 結 論

本文首先基于流體阻抗法得到的固有頻率公式，對5種典型結構的微型探頭-傳感系統進行了判定和劃分，綜述了現有微型探頭-傳感系統的頻響預測模型、假設條件及模型修正方法。為對理論數學模型進行定量評價，提出了基于CFD的系統辨識方法并進行了實驗驗證。根據辨識的頻響函數，計算得到了不同結構微型探頭-傳感系統的諧振頻率、截止頻率和工作頻帶（幅值誤差±5%），并與數值模擬和實驗得到的理論預測結果進行了對比?？傻玫揭韵陆Y論：

1）對結構Ⅰ的引壓管長進行修正后，Panton模型可用于計算其諧振頻率。工程實際中，可利用模型簡化后的經典公式或改進公式，但當l／d＜0.42，即管長較短時，經典公式的誤差較大。如果需要精確計算，則使用模型的原始公式。

2）對于結構Ⅱ，在工程中，可利用四分之一波長理論公式計算其諧振頻率；如果精確計算其頻率特性，可選擇B-T模型。

3）當粗略估算結構Ⅲ的最低階共振頻率時，可選擇不可壓縮二階系統模型；而精確計算時，可選擇線性摩擦模型、耗散模型和B-T模型。其中，線性摩擦模型計算簡單且適用于低頻擾動情況，B-T模型精度最高。

4）結構Ⅳ和結構Ⅴ利用B-T模型計算精度較高，其中結構Ⅳ可看作結構Ⅴ腔室體積為0的一種特殊情況。

利用上述研究結果對實驗用微型探頭-傳感系統進行了優(yōu)化設計，并用于超聲速凝結自激振蕩現象的研究。結果表明，優(yōu)化的微型探頭-傳感系統頻響特性可滿足高頻（約10 kHz）壓力波動信號的動態(tài)測量需求。

本文為計算微型探頭-傳感系統頻率特性提供了依據，便于工程應用中根據實際情況選擇合適的預測模型，從而進一步改善微型探頭-傳感系統的性能，提高瞬態(tài)壓力測量的準確性。