黃菊香

摘 要：基于函數(shù)導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷中占據(jù)份額較大，而學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程又由于多種原因陷入學(xué)習(xí)困境的情況。針對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容，作詳細(xì)的解題策略研究，在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞：函數(shù);導(dǎo)數(shù);解題策略

一、導(dǎo)數(shù)的重要性

數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)，在許多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，同時(shí)也在高中教育中占據(jù)核心地位。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是每一年的高考重點(diǎn)關(guān)注的對(duì)象，占據(jù)分?jǐn)?shù)頗大。但是，在具體教學(xué)過(guò)程中，許多高中生因?yàn)椴煌蛩貙?dǎo)致學(xué)習(xí)遭遇困境，尤其是在函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分學(xué)習(xí)極為坎坷，因此，本文就高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容，實(shí)例分析解題技巧和策略。

二、函數(shù)導(dǎo)數(shù)部分解題策略

（一）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值

函數(shù)的單調(diào)性即該函數(shù)在一定范圍的圖象曲線的走向，若函數(shù)圖象曲線向上，則為單調(diào)遞增，反之則為單調(diào)遞減。一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)聯(lián)系緊密，定理如下：在區(qū)間（a，b）內(nèi)，若f’（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;若若f’（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

例1：已知三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-l時(shí)取極值，且f（-2）=-4

（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式

（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值

（1）解：由f（x）=x3+ax2+bx+c得f’（x）=3x2+2ax+b由題意得x=1和x=-1是f’（x）的根，得a=0，b=-3

由f（-2）=-4得c=-2所以f（x）=x3-3x- 2

（2）f（x）=3x2- 3=3（x+1）（x-1）當(dāng)x<-1時(shí)，f（x）>0當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）=0當(dāng)-1<x<1時(shí)，f’（x）<0當(dāng)x=1時(shí)，f’（x）=0當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>0

所以，f（x）在區(qū)間[-∞，-1]上為增函數(shù);在[-1，1]上是減函數(shù);在[1，+∞]上是增函數(shù)。函數(shù)f（x）的極大值是f（-1）=0，極小值是f（1）=- 4。

在例1中，第二個(gè)問(wèn)題即求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值，我們可以很容易從例子中看出，當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某-區(qū)間內(nèi)大于零時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;相應(yīng)的，當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某已區(qū)間內(nèi)小于零時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減。因此，在解題過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生遇到求函數(shù)的單調(diào)性以及極值的時(shí)候，可以利用求導(dǎo)的方式求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和極值。

（二）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

函數(shù)的極小值和極大值與函數(shù)的最大值和最小值是兩個(gè)不同的概念。極小或極大值都是反映函數(shù)在某-.-點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)。也就是說(shuō)，極小值和極大值不能代表函數(shù)的最大值和最小值。但是在求函數(shù)的最大值和最小值的過(guò)程中，卻需要借助極小值和極大值。

例2：求f（x）=y=x4- -8x2+2在[-1，3]上的最值

解：由y=x4 -8x2+2得y’=4x3-16x=4x（x -2）（x+2）令y’=0，得x=0，x=2，x=-2

代人得F（0）=2，f（2）=-14，f（-1）=-5，f（3）=11由于x=-2不在區(qū)間[-1，3]中，因此不予考慮。所以f（x）在區(qū)間[-1，3]中的最小值為f（2）=-14，最大值為f（3）=11。一般情況下，求某一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的最值，可先求出該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值，再將求出的各極值與該函數(shù)在端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，最大的則為函數(shù)的最大值，最小的則為函數(shù)的最小值。

（三）構(gòu)造函數(shù)證明不等式

構(gòu)造函數(shù)簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是一一種解題方法，是基于具體數(shù)學(xué)題目，構(gòu)造符合題目的函數(shù)模型，并通過(guò)該函數(shù)模型解決數(shù)學(xué)題目的方法。在解題過(guò)程中通過(guò)構(gòu)造函數(shù)方法可以有效得出答案，如應(yīng)用于證明不等式中。

例3：已知函數(shù)f（x）=x₂/2-ax+（a-1）lnx，a>1.

證明：若a<5，則對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），x₁≠x₂，有f（x₁）-f（x₂）/x₁-x₂>-1。

解：f（x）=x-a+（a-1）/x=（x₂-ax+a-1）/x=（x-1）（x+1-a）/xg（x）=f（x）+x=x2/2-ax+（a-1）lnx+x

g（x）=x-（a-1）+（a-1）/x≥2-（a-1）=1-（-1）*2;1<a<5

g（x）>0，即g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增..當(dāng)x₁>x₂>0時(shí)，g（x₁）-g（x₂）>0故f（x₁）-f（x₂）/x₁-x₂>-1

當(dāng)0<x1<x2時(shí)，[f（x₁）-f（x₂）]/（x₁ -x₂）=[f（x2）-f（x₁）]/（x₂-x₁）> -1

例3中，如果只是按照常規(guī)思路進(jìn)行解題，難度較大，但是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g（x）解題，很大程度上降低了解題難度。

（四）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的熱點(diǎn)問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)仍是利用導(dǎo)數(shù)刻畫(huà)函數(shù)圖象與性質(zhì)，這類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)是含參問(wèn)題中零點(diǎn)會(huì)隨著參數(shù)而移動(dòng)，確定零點(diǎn)所在的關(guān)于參數(shù)的區(qū)間需要認(rèn)真分析。

（五）類(lèi)型四：隱零點(diǎn)整體代換問(wèn)題

設(shè)而不求是解析幾何常用的方法，而在函數(shù)導(dǎo)數(shù)中，有時(shí)候因?yàn)殛P(guān)于極值點(diǎn)的方程是超越方程，求不出極值點(diǎn)，這時(shí)候需要設(shè)而不求，對(duì)參數(shù)進(jìn)行整體代換。

（六）雙變量同構(gòu)式問(wèn)題

在考題中常見(jiàn)到有兩個(gè)變量的函數(shù)或不等式問(wèn)題，如果原式子能夠通過(guò)化簡(jiǎn)、變形成為兩個(gè)變量不同、結(jié)構(gòu)相同的式子，問(wèn)題就可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決.

三、巧借導(dǎo)數(shù)分析，別樣化解難題

（1）分析函數(shù)性質(zhì)，簡(jiǎn)證不等式

導(dǎo)數(shù)可以有效解決不等式問(wèn)題，尤其是證明不等式成立問(wèn)題，可通過(guò)求導(dǎo)的方式來(lái)分析不等式，確切來(lái)講是采用構(gòu)造思想構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值或判斷函數(shù)符號(hào)，最后結(jié)合不等式恒成立原理來(lái)證明。

（2）妙求切線方程速解圓錐曲線

圓錐曲線因其計(jì)算過(guò)程復(fù)雜、技巧性強(qiáng)而成為高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識(shí)，對(duì)于其中涉及曲線切線方程的問(wèn)題可以采用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)求解，通過(guò)求導(dǎo)的方式來(lái)求切線的斜率，從而建立切線方程，需要注意的是曲線方程在轉(zhuǎn)化過(guò)程中因定義域所造成的差異。

（3）求導(dǎo)分析模型巧解實(shí)際問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)在解決與生活實(shí)際相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題中同樣有著良好的解題效果，尤其是對(duì)于物料問(wèn)題、距離最值問(wèn)題等，可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，利用求導(dǎo)的方式來(lái)求解.一般思路為：從實(shí)際問(wèn)題中抽象數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，結(jié)合實(shí)際取最優(yōu)值。

四、應(yīng)用思考，教學(xué)建議

1.學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)真知，確保求解嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)應(yīng)從理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義出發(fā)，只有在充分理解導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念及使用條件的基礎(chǔ)上開(kāi)展的拓展應(yīng)用才是正確合理的.在應(yīng)用時(shí)必須準(zhǔn)確把握導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)的特性，理解導(dǎo)數(shù)求極值的充要條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)需要關(guān)注二次項(xiàng)系數(shù).教學(xué)中，教師要充分結(jié)合實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注導(dǎo)數(shù)使用的諸多關(guān)鍵點(diǎn)，理清問(wèn)題結(jié)構(gòu)，合理分析問(wèn)題條件，確保導(dǎo)數(shù)求解的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.習(xí)題鞏固基礎(chǔ)，考題輔助提升導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)及拓展應(yīng)用需要充分依托教材習(xí)題，從易到難，逐步掌握，在此基礎(chǔ)上開(kāi)展的考題學(xué)習(xí)才會(huì)取得良好的學(xué)習(xí)效果.通過(guò)習(xí)題的學(xué)習(xí)建立關(guān)于導(dǎo)數(shù)求解的數(shù)學(xué)模式，結(jié)合考題來(lái)拓展導(dǎo)數(shù)求解的分析思路，并相應(yīng)地提升熟練度，這是導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的最優(yōu)途徑.教學(xué)中教師要關(guān)注導(dǎo)數(shù)求解程序化的提煉，幫助學(xué)生總結(jié)導(dǎo)數(shù)運(yùn)用的解題技巧，通過(guò)典型問(wèn)題的講解使學(xué)生充分掌握導(dǎo)數(shù)解題的數(shù)學(xué)原型，從根本上提升學(xué)生的解題能力。

3.學(xué)習(xí)解題思想，培養(yǎng)解題思維導(dǎo)數(shù)解題并不是純粹地依靠求導(dǎo)來(lái)完成問(wèn)題的解答，求解過(guò)程涉及眾多的思想方法，例如解央不等式恒成立問(wèn)題，需要利用數(shù)學(xué)的構(gòu)造思想和分析轉(zhuǎn)化思想，而這些思想方法才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓，對(duì)于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展有著極為重要的作用，因此在學(xué)習(xí)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題的分析過(guò)程，注重對(duì)解題思想的提煉，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并適當(dāng)?shù)貙?duì)解題思想進(jìn)行升華，提升學(xué)生自主探究能力，使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，適應(yīng)高考不斷創(chuàng)新變化的新題目。

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