吳加奇　張春莉

摘 要：社會的迅速發(fā)展對數(shù)學教育提出了更高的要求，現(xiàn)實數(shù)學教育將數(shù)學與生活緊密聯(lián)系起來的理念為數(shù)學教育指明了一個新的方向。但是教師對如何在課堂上運用這些理念真正讓學生體會數(shù)學與生活的連接，建構(gòu)自己的數(shù)學系統(tǒng)，還存在疑惑。借鑒荷蘭數(shù)學教育改革的成功經(jīng)驗，結(jié)合現(xiàn)實數(shù)學教育的內(nèi)涵與策略，中國數(shù)學課堂應(yīng)關(guān)注學生作品、利用學生經(jīng)驗、借助具體模型來落實現(xiàn)實數(shù)學教育理念，幫助學生迎接未來的挑戰(zhàn)。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)實數(shù)學;逐步數(shù)學化;教學現(xiàn)象學;模型化

中圖分類號：G427文獻標識碼：A文章編號：2095-5995（2019）04-0041-04

在信息化、自動化、數(shù)字化的影響下，各種智能計算器能夠代替學生做所有運算時，有一種聲音出現(xiàn)了，數(shù)學的主要功能——運算對學生來說已經(jīng)沒有那么重要。[1]那么，在這樣的背景下教師應(yīng)該教什么樣的數(shù)學？以什么樣的方式來教學？哈佛大學的沃夫曼（Wolfram）教授也提出了類似的疑問，同時他指出數(shù)學在生活中有著廣泛的應(yīng)用，但這些應(yīng)用對大眾而言都是無形的，所以新的趨勢下的數(shù)學教育應(yīng)與現(xiàn)實結(jié)合起來，從根源上解決數(shù)學與生活的疏離印象。[2]現(xiàn)實數(shù)學教育（Realistic Mathematics Education，RME）是在荷蘭發(fā)展起來的數(shù)學領(lǐng)域的特定教學理論，是關(guān)注了現(xiàn)實在數(shù)學中地位的數(shù)學教育模型。荷蘭學生的數(shù)學成就在世界各國中名列前茅，這要歸功于現(xiàn)實數(shù)學教育。荷蘭數(shù)學現(xiàn)實教育提倡改變傳統(tǒng)的以教師為主的機械性教學，轉(zhuǎn)為以學生為主體的主動建構(gòu)式教學。本文希望探尋現(xiàn)實數(shù)學教育的內(nèi)涵和意義、原則和策略，探索現(xiàn)實數(shù)學教育如何幫助教師利用現(xiàn)實數(shù)學的觀念設(shè)計符合學生經(jīng)驗的數(shù)學課堂，讓學生實現(xiàn)數(shù)學的再創(chuàng)造，為中國的數(shù)學課堂教學帶來一些啟示。

一、現(xiàn)實數(shù)學教育的背景與內(nèi)涵

現(xiàn)實數(shù)學教育是由弗賴登塔爾（Freudenthal）數(shù)學教育研究所研究提出的一套理論方法。其興起的時間是20世紀60年代，當時荷蘭的數(shù)學教育以機械式的教學方法為主，作為這種機械方法的替代者，美國的新數(shù)學運動席卷了荷蘭。為了對抗美國新數(shù)學潮流所帶來的不適，發(fā)展根植于荷蘭本土的數(shù)學教育改革，現(xiàn)實數(shù)學教育被正式提出。[3]它是結(jié)合范希爾（Van Heile）的數(shù)學學習層級、弗賴登塔爾（Freudenthal）的教學現(xiàn)象學（didactical phenomenology）及特雷弗（Tereffers）的數(shù)學化綜合而來的。[4]弗賴登塔爾把數(shù)學看作人類活動的觀點，構(gòu)成了現(xiàn)實數(shù)學教育的思想基礎(chǔ)。[5]他認為數(shù)學必須與現(xiàn)實相聯(lián)系，要接近學生的經(jīng)歷，要與社會生活相關(guān)，而且要體現(xiàn)出人類的價值。數(shù)學不是一個閉合的系統(tǒng)，而是一個數(shù)學化的活動。[6]這就體現(xiàn)了現(xiàn)實數(shù)學教育的核心：現(xiàn)實與數(shù)學化。

現(xiàn)實意味著獲得數(shù)學知識的經(jīng)歷是現(xiàn)實的，每個人都要在真實的過程中逐漸積累數(shù)學知識。學生通過已熟悉的生活學習數(shù)學，使數(shù)學學習與生活密切相關(guān)，學習內(nèi)容也與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系。在學習過程中，豐富的、現(xiàn)實的情境被賦予了突出的地位。弗賴登塔爾有一句名言：與其說是學習數(shù)學，還不如說是學習“數(shù)學化”;與其說是學習公理體系，還不如說是學習“公理化”;與其說是學習形式體系，還不如說是學習“形式化”。他認為，人們運用數(shù)學的方法觀察現(xiàn)實世界，分析研究各種具體的現(xiàn)象，并加以整理組織，這個過程就是數(shù)學化。一般來說，數(shù)學化是一種由現(xiàn)實問題到數(shù)學問題，由具體到抽象的認知活動，是人類發(fā)現(xiàn)活動在數(shù)學領(lǐng)域里的具體表現(xiàn)。數(shù)學化分為橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化。[7]這兩種數(shù)學化是緊密連接在一起的，橫向數(shù)學化完成將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，縱向數(shù)學化繼續(xù)將數(shù)學問題與數(shù)學系統(tǒng)聯(lián)系在一起，深入數(shù)學探索。

二、荷蘭現(xiàn)實數(shù)學教學策略

現(xiàn)實數(shù)學教育強調(diào)數(shù)學課堂教學的一個很重要的作用就是讓學生建立起生活與數(shù)學的聯(lián)系，讓學生建構(gòu)自己的數(shù)學現(xiàn)實。弗賴登塔爾認為學生應(yīng)該有一個體驗數(shù)學的過程，在這個過程中學生以原有的數(shù)學經(jīng)驗為起點，在教師的引導(dǎo)下制定出自己的一條學習路線，自己創(chuàng)造數(shù)學。為了給現(xiàn)實數(shù)學教育賦予更多的課堂操作性，弗賴登塔爾數(shù)學教育研究所學術(shù)領(lǐng)導(dǎo)人之一格雷邁杰爾（Gravemeijer）基于數(shù)學現(xiàn)實教育，提出了數(shù)學教學中的三種啟發(fā)式教學法，分別是逐步數(shù)學化的再創(chuàng)造、教學的現(xiàn)象分析以及即時建模。[8]

（一）通過逐步數(shù)學化引導(dǎo)學生再創(chuàng)造

弗賴登塔爾認為數(shù)學是一種活動，而不是一個封閉的系統(tǒng)，學生學習數(shù)學是一個數(shù)學化的過程。學生在學習數(shù)學知識之前，每個人都有自己的數(shù)學現(xiàn)實，教師的一個很重要的任務(wù)就是了解學生的數(shù)學現(xiàn)實。這些數(shù)學現(xiàn)實可能是來自于現(xiàn)實生活的簡單圖形或是簡單計算，但它們是重要的教學資源，是學生學習的起點，是學生構(gòu)造自己學習軌跡的支撐材料。通過了解學生的數(shù)學現(xiàn)實，教師可以引導(dǎo)和幫助學生從自己的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)逐步創(chuàng)造出自己的知識體系，這就是通過逐步數(shù)學化而達到再創(chuàng)造。

（二）教學的現(xiàn)象分析

教學的現(xiàn)象分析是根據(jù)弗賴登塔爾的教學現(xiàn)象學提出來的，重點在于探討情境作為學生學習起點的重要性。在這里教學現(xiàn)象指能夠幫助學生計算、推理和數(shù)學化的情境以及一些概念和工具。[9]特殊的問題情境是學生數(shù)學化的基礎(chǔ)，能夠讓學生體會到數(shù)學是來源于生活并且會應(yīng)用于生活，這也是現(xiàn)實數(shù)學所強調(diào)的。如果教師將抽象數(shù)學內(nèi)容直接教給學生，學生是很難接受的。所以，教師需要將數(shù)學教學內(nèi)容融入學生熟悉的情境，讓學生在情境中逐漸體會和學習數(shù)學知識。

（三）模型化

模型化是指有效地使學生的數(shù)學思維從情境層次向更高層次發(fā)展的一種教學行為。[10]數(shù)學模型既有具體的模型，又有抽象的模型。人們學習數(shù)學模型，就是要從現(xiàn)實中獲得一個具體的模型，通過對這個具體模型的認識而得到抽象的數(shù)學模型，又進一步把數(shù)學模型具體化為現(xiàn)實的模型。[11]長期以來，建模一直是國際上所提倡的數(shù)學技能，然而在日常的學校教育實踐中，學生的數(shù)學建模能力一直沒有得到很好的培養(yǎng)。數(shù)學教育的建模研究傾向于關(guān)注建模在學生學習某些數(shù)學概念方面的作用。[12]然而，生活中人們建立模型的動機是為了解決一個實際問題，而不是為了學習數(shù)學概念。所以，教師引導(dǎo)學生通過實際情境建模才能夠更好地培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學的能力。現(xiàn)實數(shù)學教育中的模型化是垂直數(shù)學化的過程，模型起到了溝通不同理解層次的作用。學生需要知道模型的內(nèi)在關(guān)系，而不只是收獲一兩個解決特殊問題的公式。學生需要掌握的模型是一般化的?，F(xiàn)實數(shù)學教育中的模型都是源自具體的問題情境，這樣解決數(shù)學問題就有了實際意義。學生解決同類問題越有經(jīng)驗，這個模型也就掌握得越發(fā)牢固。

三、中國現(xiàn)實數(shù)學教學策略

荷蘭的現(xiàn)實數(shù)學教學策略也為我們帶來一些啟示：數(shù)學教育目標由“雙基”向“四基”轉(zhuǎn)變，數(shù)學教育越來越關(guān)注現(xiàn)實生活與數(shù)學的聯(lián)系，將數(shù)學定位為能夠幫助學生更好地生活的一門學科。

（一）關(guān)注學生作品，讓學生通過數(shù)學化實現(xiàn)再創(chuàng)造

在教學中，教師的目標都是幫助學生數(shù)學化，但是在教學過程中很多教師忽略了逐步實現(xiàn)這個的過程。一些教師常常急于讓學生掌握最簡潔的成果，而忽略了學生建立思維的過程。數(shù)學化的結(jié)果固然重要，但逐步建立的過程必不可少，否則學生只是按照教師的思路在學習，而沒有自己進行數(shù)學化，更沒有可能自己進行再創(chuàng)造。下面通過“11-20各數(shù)的認識”一課的教學實例來說明教師如何引導(dǎo)學生逐步數(shù)學化。

在“11-20各數(shù)的認識”一課的教學中，教師提出了這樣的問題：“通過小棒擺一擺，怎樣能夠一眼看出是12根小棒呢？”學生呈現(xiàn)了如圖1的作品：

顯然這些學生作品的呈現(xiàn)層次就隱含著逐步數(shù)學化的過程。教師接著問學生：“你覺得哪種擺法可以一眼看出是12根？”在教師的引導(dǎo)下，學生很快發(fā)現(xiàn)，前三個作品都不能一眼看出來，而是要通過計算，而第四個作品可以一眼看出是12根。大多數(shù)時候教學在這里就停止了，像是完成了數(shù)學化的過程，而我們聽到一位教師有不同的處理辦法。就在大多數(shù)學生都認可第四個作品時，教師開始引導(dǎo)學生提出疑問。有學生提出了質(zhì)疑，10個擺一堆才能一眼看出來，怎么保證那一堆就是10個呢？其實這堂課這位學生的質(zhì)疑才是點睛之筆。這一堆為什么是10個呢，學生按群認數(shù)最多能認識5個或者6個，10個一堆不容易按群認出來。可是十個十個數(shù)顯然更方便，怎樣解決這個問題呢？這時教師拿出了一根橡皮筋，這是學生之前學習“1-10的認識”時見過的，啟發(fā)學生想到約定10根小棒捆成一捆，能夠看到用橡皮筋捆成一捆就想到10。到這里十進制的概念才真正轉(zhuǎn)化為學生自己的經(jīng)驗，實現(xiàn)了數(shù)學的再創(chuàng)造。

在課堂教學中，教師一定要關(guān)注各個層次的學生作品來呈現(xiàn)學生的學習過程，呈現(xiàn)出數(shù)學化的路徑，讓學生看到逐步數(shù)學化的過程，不能省略其中的關(guān)鍵步驟。利用教師呈現(xiàn)的數(shù)學化的過程，學生能夠在學習過程中了解知識形成與發(fā)展的過程，更好地將數(shù)學知識與自己的原有經(jīng)驗結(jié)合起來，從逐步數(shù)學化的程序中反思自己的思考步驟，學會數(shù)學化的方法，建構(gòu)自己的知識結(jié)構(gòu)。

（二）利用學生經(jīng)驗，從情境推動學生思維的發(fā)展

教學的起點是學生的經(jīng)驗，教師將數(shù)學知識與學生熟悉的經(jīng)驗結(jié)合在一起能夠更好地幫助學生理解數(shù)學概念，下面通過“集合”一課的教學案例來說明。

集合的學習對于小學生來說有一定難度，集合這個概念比較抽象，當兩個集合有交集的時候，原先直接把兩部分加起來求總數(shù)的經(jīng)驗已不再適用。教師在教學中需要巧妙地利用學生的經(jīng)驗來幫助學生理解集合的概念。首先，教師給出了一幅圖，圖中有蘋果、菠菜、梨、土豆，讓學生把相同類別的物品圈在一起，來感受相同類別的物品可以組成一個集合。接著教師提出了這樣的情境性問題：“咱們班的同學前段時間參加了語文和數(shù)學的競賽，4位同學獲得了語文優(yōu)勝獎，5位同學獲得了數(shù)學優(yōu)勝獎，但獲獎人數(shù)卻只有8位，大家知道是怎么回事嗎？”面對這個真實的情境問題，學生對結(jié)果十分好奇，“明明語文和數(shù)學一共有9張獎狀，為什么只有8個人呢？”“4+5=8這個算式不成立啊，怎么回事？”這時有位同學說道：“XXX同學平時語文和數(shù)學都很好，會不會他既得了語文優(yōu)勝獎，又得了數(shù)學優(yōu)勝獎呢？”這位學生的提示幫助大家解開了迷思。于是教師選了幾位學生在臺上演示，讓大家來觀察。臺上演示的學生讓獲得語文優(yōu)勝獎的學生站在左邊，獲得數(shù)學優(yōu)勝獎的站在右邊，而把學生XXX放在了中間，他們認為這一位學生和兩邊的獲得語文或者數(shù)學優(yōu)勝獎的學生不一樣。教師質(zhì)疑道：“那XXX同學既不屬于左邊這個集合也不屬于右邊這個集合，那和臺下沒有獲獎的同學有什么區(qū)別？”學生開始思考怎樣表示出XXX同學既屬于左邊又屬于右邊。教師鼓勵學生用集合圈把自己的思考表示出來。這個外顯化的操作，讓學生紛紛有了想法，學生紛紛畫出了自己的集合圈。

畫圖后，學生理解到兩個集合圈包含了三個部分，即只獲得語文優(yōu)勝獎的學生、只獲得數(shù)學優(yōu)勝獎的學生和兩個獎都獲得的學生。那么算式就應(yīng)該是3+1+4=8，也有學生寫出了4+5-1=8的算式，將重復(fù)計算的人數(shù)減去得到最后的答案。接著教師繼續(xù)啟發(fā)道：“圖中是有8位同學獲獎，那么獎狀數(shù)目不變，獲獎人數(shù)還有沒有其他可能？”借助現(xiàn)實的經(jīng)驗以及直觀的操作，學生把可能的情況考慮得非常全面，還創(chuàng)造性地畫出了一個集合包含另一個集合的情況，如圖2所示?？梢?，只有充分利用學生經(jīng)驗建立起的情境，才有可能幫助他們完成自己的再創(chuàng)造。

在教學中，教師選用適當?shù)那榫?、概念來?dǎo)入新的學習內(nèi)容是十分必要的。而且同一個內(nèi)容可能有很多原型可以聯(lián)系起來，教師應(yīng)對比不同的情境選用一種或幾種適合學生的教學現(xiàn)象來幫助學生建立新的認識。這不但要求教師涉獵廣泛，了解數(shù)學發(fā)展的歷程，也要求教師能夠聯(lián)系不同的事物為學生提供豐富的情境幫助學生數(shù)學化。

（三）借助具體模型，幫助學生搭建通往正式數(shù)學的橋梁

在教學中，教師會遇到這樣一個問題：同一個類型的問題，學生只會做教過的那一種，面對變式學生就像遇見新問題一樣不知所措或錯誤百出，不能進行知識遷移。這是因為學生只掌握了一兩個具體的模型，并沒有將模型一般化讓其適應(yīng)其他類似的情況。下面以“植樹問題”一課為例來闡述教師怎樣搭建模型讓學生掌握一般化的知識模型。

教師用植樹節(jié)的情境引入這堂課，并提出問題：如果園林工人要在全長1000米的小路一邊植樹，每隔10米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？學生給出了很多答案：

作品一 1000÷10=100（棵）

100+1=101（棵）

作品二 1000÷10=100（棵）

100+2=102（棵）

作品三 1000÷10=100（棵）

100×2=200（棵）

此時學生只是利用已有經(jīng)驗列式，對結(jié)果的含義并沒有深入地思考，出現(xiàn)了多樣性的答案。這時，教師并沒有急于給出評判，而是繼續(xù)給學生充分的時間，讓學生利用學具擺一擺或在紙上畫一畫，把自己的想法用實物或者圖畫呈現(xiàn)出來。這時學具與畫圖就是教師提供給學生的具體模型，學生可以借助具體模型來描述數(shù)量之間的關(guān)系。有的學生用一根小棒代表一段路，一個磁扣代表一棵樹;有的學生用了更抽象的線段圖模型，用點代表樹，用線段代表一段路。借助實物或線段圖，學生探索并發(fā)現(xiàn)兩端種樹時點與段之間的對應(yīng)關(guān)系，只要抓住這個對應(yīng)關(guān)系，問題就迎刃而解了。緊接著教師又引導(dǎo)學生對一般化模型進行推廣：如果我們把每棵樹的位置看成“點”，樹與樹之間的距離看成“段”，生活中像棵數(shù)和段數(shù)這樣有點、段關(guān)系的事物還有很多，你能舉出相關(guān)的例子嗎？由于點段之間的對應(yīng)關(guān)系已經(jīng)根植于學生頭腦當中，所以學生可以用點或段去代表不同的東西。于是學生紛紛舉例，如安裝路燈、鋸木頭、上樓梯、在操場上插彩旗。這些問題雖然看似不再和植樹相關(guān)，但是背后蘊含的原理卻是一致的，學生不僅學會了解決植樹問題，更是學會了解決這一類問題的模型。

我們可以看到教師的幾次引導(dǎo)讓學生經(jīng)歷了從具體情境到數(shù)學問題的橫向數(shù)學化后，又有一個縱向數(shù)學化的過程。這個過程將具體的數(shù)學模型抽象為更一般的數(shù)學模型，讓它的應(yīng)用更廣泛。所以在教學中教師要引導(dǎo)學生關(guān)注問題中的數(shù)學關(guān)系，幫助他們擺脫對情境中具體圖像的依賴，建立數(shù)學模型，讓數(shù)學作為一種模式的作用逐漸體現(xiàn)出來。

（吳加奇? 張春莉，北京師范大學教育學部，北京 100875）

參考文獻：

[1] Gravemeijer K， Stephan M， Julie C， et al. What Mathematics Education May Prepare Students for the Society of the Future？[J]. International Journal of Science & Mathematics Education， 2017（1）：105-123.

[2][10] 張楠.發(fā)展中的荷蘭真實數(shù)學教育RME[J].數(shù)學通報，2006（2）：23-24.

[3][11] Wolfram C.Teaching. Kids Real Math with Computers[EB/OL]. http：//www.ted.com/talks/conrad wolfram teaching kids real math with computers， 2010-07.

[4] David C Webb，Henk van der Koojj，Monica R Geist. Design Research in the Netherlands： Introducing Logarithms Using Realistic Mathematics Education [J]. Journal of Mathematics Education at Teachers College， 2011（1）：47-53.

[5][9] [荷]弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學[M]. 陳昌平，唐瑞芳，等，編譯.上海：上海教育出版社，1995：146，111.

[6] Van den Heuvel-Panhuizen M. Mathematics Education in the Netherlands： A Guided Tour[J]. Freudenthal Institute CD-rom for ICME9， 2000（8）： 1-32.

[7] [荷]弗賴登塔爾.數(shù)學教育再探：在中國的講學[M].劉意竹，等，譯.上海：上海教育出版社，1999：110.

[8] Gravemeijer K. Local Instruction Theories as Means of Support for Teachers in Reform Mathematics Education[J]. Mathematical Thinking & Learning， 2004（2）：105-128.

[12] Gravemeijer K P， Lehrer R， Oers H J V. Symbolizing， Modeling and Tool Use in Mathematics Education[J]. Mathematics Education Library， 2010（1）：66.

[13] Freudenthal H. Why to Teach Mathematics so as to Be Useful[J]. Educational Studies in Mathematics， 1968（1-2）：3-8.

（責任編輯：夏豪杰）