袁國(guó)慶

摘 要：本文以《利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性》專題復(fù)習(xí)課為例，具體闡述培育學(xué)生研學(xué)能力的做法：在學(xué)生自主梳理知識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)背景提出需要研究的問(wèn)題，通過(guò)教師的組織在問(wèn)題解決過(guò)程中培育學(xué)生研學(xué)能力，并總結(jié)出這類課堂研學(xué)的優(yōu)化策略。

關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué);專題復(fù)習(xí);研學(xué)能力

布魯納認(rèn)為：“教師不能把學(xué)生教成一個(gè)活動(dòng)的書(shū)櫥。而是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何思維，教他們?nèi)绾蜗駳v史學(xué)家那樣研究分析史料，在求知過(guò)程中組織屬于他自己的知識(shí)?！?教育部考試中心任子朝在《從能力立意到素養(yǎng)立意》一文中指出：“高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變，高考命題引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，養(yǎng)成學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而為國(guó)家培養(yǎng)全面而有個(gè)性的社會(huì)主義建設(shè)人才?！笨梢?jiàn)，學(xué)生知識(shí)的獲得是建立在學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探究的基礎(chǔ)之上，并在學(xué)習(xí)、研究的過(guò)程中自主完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步提高數(shù)學(xué)思維能力、發(fā)展核心素養(yǎng)。

本文把自主學(xué)習(xí)、自主探究的能力稱為研學(xué)能力。很顯然，教與學(xué)的過(guò)程既是學(xué)生參與研學(xué)的過(guò)程，同時(shí)也是發(fā)展研學(xué)能力的過(guò)程。高三數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是高三后半段的綜合復(fù)習(xí)教學(xué)，我們需要學(xué)生參與研學(xué)，更需要培育學(xué)生的研學(xué)能力，應(yīng)當(dāng)經(jīng)常性嘗試研學(xué)課堂。筆者通過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)如何在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中培育學(xué)生的研學(xué)能力方面有了些許經(jīng)驗(yàn)并總結(jié)成文，與同行交流、共享，旨在拋磚引玉。

1.教學(xué)實(shí)例

1.1學(xué)情分析

這是一節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的專題復(fù)習(xí)課，主要任務(wù)是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)內(nèi)容和參與數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，加深對(duì)已學(xué)知識(shí)的理解，并使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，提高學(xué)生的概括能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。學(xué)生經(jīng)歷過(guò)一輪復(fù)習(xí)，在知識(shí)水平上已經(jīng)對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念及具體應(yīng)用有較深刻的認(rèn)識(shí)。

1.2教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)學(xué)生自主整理、思考，加深對(duì)知識(shí)的理解。

通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的自主探究，掌握利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性的一般方法。

在學(xué)生自主提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.教學(xué)實(shí)施過(guò)程

本節(jié)課以“導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”為研究的主線，從知識(shí)系統(tǒng)的角度來(lái)看，要考慮到數(shù)學(xué)問(wèn)題的代表性;從發(fā)展學(xué)生認(rèn)知水平的角度來(lái)看，要考慮到數(shù)學(xué)問(wèn)題的層次性與深刻性。在課堂教學(xué)中，通過(guò)學(xué)生自主梳理知識(shí)、并結(jié)合具體的背景提出一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題的情況下，幫助學(xué)生自主構(gòu)建利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的知識(shí)體系、方法體系和思維體系。

2.1自主梳理，已掌握什么？

例題：已知函數(shù)，請(qǐng)你設(shè)置一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí)后，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)已有一定的學(xué)習(xí)，導(dǎo)數(shù)的工具性體現(xiàn)在處理曲線的切線、函數(shù)的單調(diào)性、極值最值等方面，筆者以開(kāi)放題的形式由學(xué)生自主回顧并思考相關(guān)知識(shí)，以期幫助學(xué)生構(gòu)建一個(gè)較完整的“系統(tǒng)”。

2.2問(wèn)題聚焦，研究什么？

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間是高考?？嫉膯?wèn)題，本節(jié)課我們一起來(lái)研究函數(shù)單調(diào)性的一般問(wèn)題。剛才函數(shù)是一個(gè)確定的函數(shù)，同學(xué)們來(lái)思考一下，如何對(duì)該函數(shù)作出適當(dāng)?shù)母淖?？你有什么建議嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生開(kāi)啟對(duì)已有知識(shí)儲(chǔ)備的進(jìn)一步搜索，作為高三學(xué)生已經(jīng)歷過(guò)系統(tǒng)復(fù)習(xí)，對(duì)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性問(wèn)題已有一定的解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)高考的要求也比較清楚，此時(shí)讓他們結(jié)合之前的所學(xué)、所思、所惑，積極思考如何“深化”眼前問(wèn)題，具有現(xiàn)實(shí)意義。并讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題從特殊到一般的演變過(guò)程，有助于培養(yǎng)他們的探索能力，提高知識(shí)掌握的靈活性、深刻性、系統(tǒng)性。

給予學(xué)生一定時(shí)間的思考和討論，教師歸納后大致幾下幾種變式：

類型1：已知單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍

1.若函數(shù)在（a，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2.若函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

類型2：求函數(shù)（含參）單調(diào)區(qū)間

3.討論函數(shù)的單調(diào)性。

4.討論函數(shù)的單調(diào)性。

學(xué)生提出的變式可能會(huì)有重復(fù)性、不全面性，甚至偏離主題或者根本無(wú)法求解等問(wèn)題，作為教師在備課時(shí)要做好充分的準(zhǔn)備，做到在課堂上高屋建瓴，站在系統(tǒng)的角度來(lái)審視各種變式，做到合理選擇、適當(dāng)調(diào)整、必要補(bǔ)充。同時(shí)要以鼓勵(lì)為主，不因?yàn)樘岵怀鰡?wèn)題或是提出的問(wèn)題沒(méi)有價(jià)值而責(zé)備學(xué)生。

2.3問(wèn)題引領(lǐng)，展開(kāi)研究

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一條基本原則，而問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的較高層次是學(xué)生把問(wèn)題視為自己的問(wèn)題，基于前面工作的鋪墊，這樣的設(shè)計(jì)較好地運(yùn)用了高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效課堂”倡導(dǎo)的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)策略，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

教師：第1題的結(jié)果能快速解得嗎？

學(xué)生：函數(shù)是確定的，在上單調(diào)遞增，所以。

教師：非常好！下面我們動(dòng)手做一下第2題。

學(xué)生1：?jiǎn)栴}等價(jià)于在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立;即a≤2x2在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，易得a≤2。

學(xué)生2：?jiǎn)栴}等價(jià)于在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立;令g（x）=2x2-a，結(jié)合圖像可知，a≤2。

學(xué)生3：先解出的解集，考慮到定義域?yàn)椋?，+∞），考慮到極值點(diǎn)是否存在的問(wèn)題，分a≤0和a>0兩種情況考慮，當(dāng)a≤0時(shí)顯然成立，當(dāng)a>0函數(shù)在上單調(diào)遞增，易得，綜上可知a≤2。

老師：以上幾種方法都非常好。同學(xué)們一起來(lái)總結(jié)一下，利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題的方法。

學(xué)生：在處理已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)a的取值范圍問(wèn)題時(shí)，可以將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題來(lái)處理，也可以先通過(guò)求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，然后對(duì)應(yīng)作比較。

老師：3.討論函數(shù)的單調(diào)性。這個(gè)問(wèn)題有解決方案了嗎？

學(xué)生3：剛才我的解法已經(jīng)給出了結(jié)果，當(dāng)a≤0時(shí)，在上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增。

老師：解這個(gè)題目的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生3：求出函數(shù)的零點(diǎn)。有參數(shù)的問(wèn)題中往往求零點(diǎn)不是那么容易，必要時(shí)要分類討論，但不管怎么樣總是有辦法的！

老師：嗯，總有辦法的！我們來(lái)試一試問(wèn)題4.若，該如何討論單調(diào)性？請(qǐng)同學(xué)們思考并解答。

學(xué)生4：定義域?yàn)?，?/p>

令。

①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以f（x）在內(nèi)遞增;

②當(dāng)時(shí)，有兩根，當(dāng)時(shí)f（x）在內(nèi)遞增;當(dāng)x2>0即a>0時(shí)，f（x）在（0，x2）內(nèi)遞減，在（x2，+∞）內(nèi)遞增。

教師：非常棒！分類討論的關(guān)鍵是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是否存在分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)再次進(jìn)行分類討論。

2.4拾級(jí)而上，深入研究

教師：經(jīng)歷了剛才幾個(gè)問(wèn)題的探討，對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)求處理函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題你有什么認(rèn)識(shí)？

學(xué)生（眾）：關(guān)鍵是求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。

教師：一語(yǔ)中的！剛才的幾個(gè)題目我們通過(guò)求出或者表示出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，順序得解，再來(lái)觀察剛才函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)有什么特點(diǎn)？

學(xué)生（眾）：是二次函數(shù)。

教師：二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題我們有統(tǒng)一的解法，但如果導(dǎo)數(shù)不是二次函數(shù)，而是超越函數(shù)呢？剛才同學(xué)們的變式都比較“文氣”，變式后的導(dǎo)函數(shù)都是二次函數(shù)，我們來(lái)嘗試另外的變式，比如：

5.若函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間。

解：，得方程，即，這個(gè)方程不再是二次方程了，怎么辦？

學(xué)生5：根是1，我看出來(lái)了。

教師：觀察發(fā)現(xiàn)1是根，那么會(huì)不會(huì)還有其他根呢？

學(xué)生5：只有1這個(gè)根，函數(shù)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)。

教師因勢(shì)利導(dǎo)，繼續(xù)深化。

6.若函數(shù)，還能求出單調(diào)區(qū)間。

得到方程之后，學(xué)生研究后發(fā)現(xiàn)依然存在唯一的根x0，但無(wú)法表示出來(lái)。

教師點(diǎn)撥：同學(xué)的認(rèn)識(shí)很到位，這個(gè)題目我們無(wú)法表示出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，所以也就無(wú)法表示函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但是我們看到的事實(shí)是盡管無(wú)法具體表示出來(lái)，但它確實(shí)是存在的，且函數(shù)在（0，x0）單調(diào)遞減，（x0，+∞）單調(diào)遞增。所以這樣的問(wèn)題我們可以換個(gè)角度來(lái)變式，比如：

7.（杭州二模）若函數(shù)，證明：

。

學(xué)生恍然大悟，原來(lái)問(wèn)題就是這么演變過(guò)來(lái)的。（PPT展示解題過(guò)程）

教師：今天這節(jié)課我們一起研究了如何利用導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)處理函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，同學(xué)們談?wù)動(dòng)心男┦斋@？

2.5課堂總結(jié)，領(lǐng)悟研學(xué)

師生共同總結(jié)，一是領(lǐng)悟研學(xué)過(guò)程：自主梳理知識(shí)------提出研究問(wèn)題------問(wèn)題引領(lǐng)研究-----總結(jié)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。二是領(lǐng)悟思想方法：主要的思想方法是數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即用圖象來(lái)解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，當(dāng)圖象不明確時(shí)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題。三是用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的一般思路：求導(dǎo)-----零點(diǎn)-----判斷正負(fù);當(dāng)判斷正負(fù)有困難時(shí)可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于零點(diǎn)的代數(shù)式問(wèn)題。

3.課堂研學(xué)策略優(yōu)化

3.1基礎(chǔ)回顧，為研學(xué)夯實(shí)基礎(chǔ)

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)活動(dòng)不是由教師向?qū)W生傳遞知識(shí)，而是學(xué)生根據(jù)外在信息，通過(guò)自己的背景知識(shí)，建構(gòu)自己知識(shí)的過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，也就是說(shuō)我們的教學(xué)活動(dòng)首先關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。

3.1.1內(nèi)容選擇上

作為教師，要在充分了解學(xué)情的情況下選擇恰當(dāng)?shù)乃夭膸椭鷮W(xué)生回顧知識(shí)，夯實(shí)基礎(chǔ)。內(nèi)容選材上要遵循基礎(chǔ)性原則，一方面要為接下來(lái)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究做好鋪墊，另一方面難度不宜偏大，以基礎(chǔ)回顧與整理為主要任務(wù)，面向全體學(xué)生。

3.1.2教學(xué)方式上

教學(xué)方式上可以多樣化，比如：“知識(shí)陳述型”——學(xué)生以口述、填表等形式回顧知識(shí);“問(wèn)題解決型”——設(shè)置若干簡(jiǎn)單題目，通過(guò)學(xué)生解題來(lái)回顧知識(shí);“自主開(kāi)放型”——以開(kāi)放題的形式幫助學(xué)生自主回顧知識(shí)。

回到本節(jié)課，設(shè)置“例題：已知函數(shù)，請(qǐng)你設(shè)置一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。”以開(kāi)放題的形式幫助學(xué)生回顧導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用：求曲線的切線、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值、最值等，并具體求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，為接下來(lái)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究打好基礎(chǔ)。

3.2問(wèn)題聚焦，為研學(xué)搭載平臺(tái)

要培養(yǎng)學(xué)生的研學(xué)能力，就要給學(xué)生搭載有利的平臺(tái)，需要有合適的問(wèn)題，需要有具體的題目。問(wèn)題從哪里來(lái)？

3.2.1問(wèn)題來(lái)自于教師

波利亞說(shuō)：“一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域。”這就要求我們教師研究學(xué)生、研究教材、研究高考，精心準(zhǔn)備題目，最好能形成“問(wèn)題串”，讓學(xué)生有一個(gè)系統(tǒng)的、連續(xù)的、遞進(jìn)的研學(xué)過(guò)程。

3.2.2問(wèn)題來(lái)自于學(xué)生

高三復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)就是幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和研究，自主完善、構(gòu)建新的自己的知識(shí)體系。所以，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，他是怎么思考的？他的困難之處在哪里？這些問(wèn)題也正是我們?cè)谡n堂教學(xué)中需要重視的問(wèn)題。我們也應(yīng)當(dāng)承認(rèn)很多時(shí)候能提出問(wèn)題比能解決問(wèn)題更加重要，作為教師，在自己做到“善于提問(wèn)”的同時(shí)，也應(yīng)該通過(guò)教學(xué)去幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“提出問(wèn)題”，讓學(xué)生從“解自己的問(wèn)題”替代了“解老師的問(wèn)題”，有利于提高學(xué)生參與積極性，培養(yǎng)學(xué)生的研學(xué)意識(shí)和能力。很多時(shí)候?qū)W生很難提出問(wèn)題，或者價(jià)值不高、或者偏離主題，這就需要教師站得高，看的遠(yuǎn)，遵循教學(xué)規(guī)律適時(shí)指導(dǎo)、適當(dāng)調(diào)整、必要補(bǔ)充，相信在教師有方法且長(zhǎng)期的引導(dǎo)和指導(dǎo)下，對(duì)促進(jìn)學(xué)生的研學(xué)能力會(huì)起到一定的幫助，而這些能力將為學(xué)生終生受用。

3.3問(wèn)題引領(lǐng)，實(shí)踐中提升研學(xué)能力

不可否認(rèn)，學(xué)生研學(xué)能力的提高來(lái)源于長(zhǎng)期有效的實(shí)踐過(guò)程。新課程改革倡導(dǎo)自主探究、合作，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生帶著問(wèn)題思考、學(xué)習(xí)、探究，可以有效促進(jìn)學(xué)生的研學(xué)能力，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和探究精神，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。所以，給予學(xué)生實(shí)踐的機(jī)會(huì)非常關(guān)鍵。

3.3.1堅(jiān)持學(xué)生為主體

學(xué)生是參與研學(xué)的主體，要鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與研學(xué)、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流。只有學(xué)生參與研學(xué)的過(guò)程，知識(shí)的獲得才更加自然、系統(tǒng)，同時(shí)也只有通過(guò)學(xué)生參與研學(xué)實(shí)踐，才能真正促進(jìn)他們的研學(xué)能力?；氐奖竟?jié)課中，對(duì)于“問(wèn)題串”的思考、研究和解答都充分給予學(xué)生時(shí)間和空間，做到學(xué)生能說(shuō)的讓學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)生能做的讓學(xué)生來(lái)做。

3.3.2堅(jiān)持教師為主導(dǎo)

2巴布拉與達(dá)菲在《從實(shí)習(xí)場(chǎng)到實(shí)踐共同體》中指出：“教師的工作是通過(guò)向?qū)W生問(wèn)他們自己?jiǎn)栕约旱膯?wèn)題來(lái)對(duì)學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決進(jìn)行指導(dǎo)。這是參與性的，不是指示性的;其基礎(chǔ)不是要尋找正確答案，而是針對(duì)專業(yè)的問(wèn)題解決者當(dāng)時(shí)會(huì)向自己提出的那些問(wèn)題?！眻?jiān)持學(xué)生為主體并不意味著降低了教師的作用，反而是對(duì)教師提出了更高的要求，需要教師在指導(dǎo)學(xué)生參與研學(xué)的過(guò)程中高屋建瓴：當(dāng)學(xué)生有困難時(shí)，給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥;當(dāng)學(xué)生研究有誤時(shí)，給予一定的提醒;當(dāng)學(xué)生考慮不全時(shí)，給予必要的補(bǔ)充;當(dāng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題研究的深度不夠時(shí)，如何拾級(jí)而上？

結(jié)束語(yǔ)：日本數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家米山國(guó)藏說(shuō)：“學(xué)生在初中或高中所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，所以通常是出校門(mén)后不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)揮作用，使他們受益終生”。所以，授人魚(yú)不如授人以漁，要把傳授知識(shí)與培養(yǎng)學(xué)生研學(xué)能力結(jié)合起來(lái)，為學(xué)生的終身發(fā)展而教學(xué)。

參考文獻(xiàn)

[1]任子朝：《從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向》發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)參考》2018年第5期上，教育部考試中心;

[2]巴布拉與達(dá)菲：《從實(shí)習(xí)場(chǎng)到實(shí)踐共同體》，美國(guó)學(xué)者;

[3]米山國(guó)藏：《數(shù)學(xué)的精神思想和方法》，日本數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家;

[4]鄭毓明：《數(shù)學(xué)教育的問(wèn)題導(dǎo)向》發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)參考》2018年第1-2期，南京大學(xué)哲學(xué)系;