張琴

【案例背景】

《平行四邊形的面積》是浙教版《數(shù)學》五年級上冊第四單元的學習內(nèi)容，是圖形面積單元的起始課，推導平面圖形面積計算公式的基本活動經(jīng)驗要在這里建立，基本思想方法要在這里滲透，同時也為后續(xù)推導三角形、梯形的面積計算公式提供學習基礎。在教學中，學生通過分割、平移等活動，理解“出入相補”的原理;學生經(jīng)歷探究、歸納與推理的過程，將未知轉(zhuǎn)化為已知，感悟“轉(zhuǎn)化”的思想方法，推導出平行四邊形面積的計算公式;學生通過選擇有效信息運用公式解決問題，發(fā)展空間觀念和邏輯思維能力。本課的教學重點在于探索、理解并掌握平行四邊形面積計算公式的推導原理。教學難點是理解“對應”的底乘高的道理。

然而，在教學前已有不少學生知道了平行四邊形面積計算公式，更有不少學生聽說過將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形求面積的方法。學情究竟怎樣？基于學情開展怎樣的教學？如何使教學更有效？基于以上的種種思考，筆者進行了基于“投票器”實時獲取學情、跟進教學的課堂實踐。共同參與學習的是江山市文溪小學503班39名學生。

【教學實踐】

片段一：學前測試，找準起點

1.激活經(jīng)驗，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化

師：每個小方格的面積為1平方分米，下面各圖形的面積是多少？你是怎么想的？

生：把不規(guī)則的圖形通過分割、平移，都可以轉(zhuǎn)化成規(guī)則的長方形，面積不變，面積都是15平方分米。

簡單的圖形轉(zhuǎn)化，激活了學生分割、平移圖形的經(jīng)驗，滲透了“轉(zhuǎn)化”的思想，學生理解“出入相補”的原理;復習長方形的面積計算公式：S長方形=長×寬，為研究平行四邊形面積設下伏筆。

2.引發(fā)沖突，提出問題

師：一個長5分米、寬3分米的長方形框架，將它沿著對角線方向拉伸，形成一個平行四邊形，面積怎樣計算？

學生運用投票器選擇，結(jié)果顯示：25人選①5×3（鄰邊×鄰邊），12人選②5×2（底×高），2人選③3×2（鄰邊×高）。

由投票數(shù)據(jù)可知，盡管課前已有多數(shù)學生知道平行四邊形的面積計算公式，但在這樣的現(xiàn)實情境中，能正確計算平行四邊形面積的學生僅占30.8%，學生對于平行四邊形面積怎樣算的真實理解情況是非常欠缺的。64.1%的學生受長方形面積計算方法的干擾，認為平行四邊形面積也是邊與邊相乘。

平行四邊形可以由長方形拉伸變形而成，其面積計算的方法是否與長方形面積計算的方法相仿？這引起了學生的認知沖突。平行四邊形的面積究竟怎樣計算？基于投票數(shù)據(jù)，真實的學情告訴我們，學生對平行四邊形面積的計算公式知其然而不知其所以然。找準了這一學習起點，筆者認為，在教學中展開研究平行四邊形面積公式的推導過程顯得非常必要，要突出研究過程中平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長方形的一一對應關系，更要進一步辨析拉伸前的長方形面積與拉伸后的平行四邊形面積間的關系。

片段二：學中檢測，解釋疑點

1.實踐操作，抽象公式

學生通過動手實踐，探究平行四邊形面積的計算方法。

師：想一想、剪一剪、拼一拼（轉(zhuǎn)化成什么圖形）;說一說（轉(zhuǎn)化前后圖形的關系）;量一量、算一算（平行四邊形的面積）;想一想（還有其他畫法嗎）。

師：有位同學是沿對角線分割的，行嗎？為什么？

生：沿對角線剪開不一定能拼成長方形。只有沿高剪開，才能有直角，才能拼成長方形，從而計算出面積。

師：為了把以上兩種方法說清楚，我們給不同的底和高標上號。圖1記為：平行四邊形面積=底1×高1;圖2記為：平行四邊形面積=底2×高2。但為了更方便地記憶，可以統(tǒng)一為“平行四邊形面積=底×高”，只是要明白，這里的底和高是相對應的。字母表達式是S=a×h或S=ah。

學生通過想、剪、拼、量、算、比等活動，經(jīng)歷探究、歸納與推理的全過程，理解“出入相補”的原理，滲透“轉(zhuǎn)化”的思想方法，理解平行四邊形面積計算的方法。基于學生研究出來的兩種剪拼方法，用文字描述計算過程，如平行四邊形面積=底1×高1、平行四邊形面積=底2×高2。通過抽象理解，凝練合并成“平行四邊形面積=底×高”，從而得到平行四邊形面積計算公式，發(fā)展學生的邏輯思維能力。

2.追問置疑，加深理解

師：平行四邊形的面積你會算了嗎？剛才那個由長方形拉成的平行四邊形的面積究竟怎樣算呢？我們再次投票。

本輪投票結(jié)果：9人選①5×3（鄰邊×鄰邊），29人選②5×2（底×高），1人選③3×2（鄰邊×高）。

師：選②5×2（底×高）的同學，這個平行四邊形轉(zhuǎn)化成了一個怎樣的長方形？

生：轉(zhuǎn)化成了一個長是5分米、高是2分米的長方形。

師：選①5×3（鄰邊×鄰邊）的同學，5×3算的是哪個圖形的面積？與現(xiàn)在這個平行四邊形的面積相比，相差了哪個部分？

生：5×3算的是一個以5分米為底、3分米為高的長方形，與現(xiàn)在的這個平行四邊形的面積相比，相差的是黃色的部分5平方分米。

在探究出平行四邊形面積計算公式后，針對同樣一個問題情境——求一個長方形拉伸后的平行四邊形的面積，再次讓學生投票，在反思并選擇的過程中，我們發(fā)現(xiàn)74.4%的學生正確了，正確率明顯提高，但仍有25.6%的學生選擇錯誤。

雖然學生在求平行四邊形的面積上有了很大進步，但仍有學生受拉伸前的長方形的干擾，誤以為平行四邊形的面積計算仍是鄰邊相乘?；谝陨贤镀睌?shù)據(jù)，筆者跟進教學，采用了連續(xù)追問的方式讓學生越辯越明。對于選擇正確的學生，筆者引導學生將轉(zhuǎn)化后的長方形描述出來，這不僅是思維過程的外顯，更是幫助選擇錯誤的學生建立更深的表象;對于選擇錯誤的學生，筆者利用追問，幫助學生更加明確了5×3的幾何意義，并借助圖示將相差的5平方分米展現(xiàn)出來，加深了學生的認識，倒逼學生反思錯誤原因。

片段三：練習反饋，解決難點

練習1：選擇正確的式子計算圖形的面積。

學生投票結(jié)果：2人選①，29人選②，3人選③，5人選④。

師：選②的同學，這個平行四邊形轉(zhuǎn)化成了一個怎樣的長方形？選①和④的同學，都是一條底乘一條高，為什么不對？

生：沿著一條底上對應的高剪開，平移后才能形成一個長方形。

師：值得注意的是，平行四邊形面積=底×高，必須是一組“對應”的底與高相乘。

由投票結(jié)果可見，在計算平行四邊形面積時，選擇鄰邊相乘的學生大大減少，已有92.3%的學生明確平行四邊形面積可由“底×高”得到，但其中19.4%的學生錯誤地選擇了不相對應的底與高相乘。

基于投票數(shù)據(jù)，教學跟進的方向從“平行四邊形面積=底×高”轉(zhuǎn)向了“對應”的底×高。在教學中，筆者仍采用追問的方式調(diào)整教學。針對選擇①和④的學生，借助幾何直觀使得認知再次發(fā)生沖突，促進學生反思錯誤原因，使得“對應”更加深入人心。

練習2：在一組平行線間作3個平行四邊形，哪個面積大？

學生投票結(jié)果：10人選①，7人選②，2人選③，20人選④。

師：選①②③的同學，分別說說你們是怎么想的？

生：看起來比較大。

師：選④的同學，你們?yōu)槭裁凑f面積一樣大？

生：因為平行四邊形的面積=底×高，這三個平行四邊形的底相同、高也相等，所以三個平行四邊形的面積相等。

師：它們都能轉(zhuǎn)化成怎樣的長方形？

……

通過基本練習1，學生已經(jīng)非常明確了平行四邊形面積=底×高（對應），為思維提升奠定了基礎。在判斷一組平行線間的三個平行四邊形面積大小的過程中，強大的視覺沖擊阻礙了學生的理性思考，在投票結(jié)果上，僅51.3%的學生選擇正確。

基于投票結(jié)果，筆者通過提問挖掘?qū)W生的元認知?！八鼈兌寄苻D(zhuǎn)化成怎樣的長方形？”學生開始反思平行四邊形面積計算的方法，甚至開始在頭腦中將平行四邊形還原成對應的長方形。學生的認知從表面的視覺沖擊進入客觀冷靜的覺知，最終發(fā)現(xiàn)并確認這三個平行四邊形是同底等高的，面積相等。

【案例總結(jié)】

《平行四邊形的面積》一課基于投票機制實時追蹤學情，掌握學生在學習進程中的真實情況：通過學前測找準了學習的起點;通過學中測發(fā)現(xiàn)了學生的疑點;通過練中測突破了教學的難點。投票器在教學中的合理使用，提高了教學效率，實現(xiàn)了較好的教學效果。

（浙江省杭州市勝利實驗學校? ?310014）