張強(qiáng)

（內(nèi)蒙古巴彥淖爾市烏拉特中旗第一中學(xué)，內(nèi)蒙古巴彥淖爾 015300）

1 背景

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是歷屆高考的必考內(nèi)容。數(shù)列教學(xué)的核心素養(yǎng)——邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算。借助我國(guó)先人之?dāng)?shù)學(xué)經(jīng)典展開(kāi)教學(xué)，讓學(xué)生感受我國(guó)文明之璀璨，把握三維目標(biāo)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)魅力。數(shù)列求和作為數(shù)列教學(xué)的重要模塊，是以兩個(gè)基本數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列為基礎(chǔ)，進(jìn)一步提升邏輯推理和運(yùn)算能力，學(xué)會(huì)建立一般數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)化實(shí)際問(wèn)題的考察。在解決具體問(wèn)題時(shí)，要熟練運(yùn)用分類討論、轉(zhuǎn)化歸納、類比推理等數(shù)學(xué)思想，將表象很難求和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的求和形式。本節(jié)課從公式法求和、分組求和、并項(xiàng)求和、裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位求和五個(gè)角度，闡述數(shù)列求和的方法，遵循學(xué)生循序漸進(jìn)的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在感知知識(shí)的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 提出問(wèn)題 畫(huà)龍點(diǎn)睛

教師：數(shù)列的基本就在于等差數(shù)列和等比數(shù)列，對(duì)于這兩種數(shù)列，我們?cè)鯓忧蠛?，看下面的?wèn)題。

問(wèn)題1：

⑴2+4+6+…+2n=

⑵1+2+2+2+…+2=

學(xué)生1：這兩個(gè)數(shù)列求和，直接用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解。答案是n(n+1),2-1

教師：有不同意見(jiàn)嗎？

學(xué)生2：第⑵題應(yīng)該有n+1項(xiàng)，答案是 2-1

方法點(diǎn)睛（教師）：同學(xué)們，利用公式法求和，一定要搞清首項(xiàng)、公差（公比）以及數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。

教師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察，我們能否對(duì)該數(shù)列求和。

方法點(diǎn)睛（教師）：通過(guò)分組，得到等差或等比數(shù)列，分別求和再相加即可。這種方法叫做分組求和法。

問(wèn)題3：S=1-2+3-4+…+(-1)·n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S= ，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S=

學(xué)生4：類比問(wèn)題2，利用分組求和法。（實(shí)物投影展示）

教師：同學(xué)們，還有其他方法嗎？

方法點(diǎn)睛（教師）：學(xué)生5的方法，把數(shù)列的若干項(xiàng)合并，得到一個(gè)常數(shù)列（也可能得到等差或等比數(shù)列），再進(jìn)行求和，這種方法叫做并項(xiàng)求和法。顯然，問(wèn)題3使用并項(xiàng)求和法更為簡(jiǎn)單。

問(wèn)題4：

方法點(diǎn)睛（教師）：這兩個(gè)數(shù)列求和，都是把數(shù)列中每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，并消掉若干項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)求和。第二個(gè)數(shù)列求和，需配一個(gè)常數(shù)，才能拆項(xiàng)。同學(xué)們要體會(huì)其中的數(shù)學(xué)奧秘。這種數(shù)列求和的方法叫做裂項(xiàng)相消法。

常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式：

問(wèn)題5：1·3+2·3+3·3+…+n·3=

教師：同學(xué)們，仔細(xì)觀察，我們能有什么方法求和？學(xué)生8：令S=1·3+2·3+3·3+·+n·3……①

兩邊同乘3，得：3S=1·3+2·3+3·3+…+n·3……②

①—②得：-2S=1·3+1·3+1·3+…+1·3n·3

方法點(diǎn)睛（教師）：這個(gè)問(wèn)題，我們利用等式的性質(zhì)和方程的思想，通過(guò)錯(cuò)位相減轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問(wèn)題，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)該數(shù)列的求和。這種數(shù)列求和的方法叫做錯(cuò)位相減法。

2.2 歸納總結(jié) 有效提高

教師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)列求和的方法，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下。

學(xué)生9：我們學(xué)習(xí)了公式法求和、分組求和法、并項(xiàng)求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法。

教師：很好，數(shù)列求和是本章的難點(diǎn)，不同的數(shù)列求和方法不同，重在研究數(shù)列的形式和通項(xiàng)公式。通過(guò)分析、歸納、類比，得到數(shù)列的一些規(guī)律，聯(lián)想相應(yīng)的求和方法，既是根本，也是關(guān)鍵。數(shù)列求和的實(shí)質(zhì)就是求數(shù)列{S}的通項(xiàng)公式，它幾乎涵蓋了數(shù)列中所有的思想策略，方法和技巧。所以請(qǐng)同學(xué)們謹(jǐn)記：方法不萬(wàn)能，嘗試是關(guān)鍵，猜想要大膽，百練定成功。

3 教學(xué)反思

（1）數(shù)列求和對(duì)學(xué)生的知識(shí)和思維有很高的要求，通過(guò)自主學(xué)習(xí)、合作探究，激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，與學(xué)生同步而行。不斷挖掘?qū)W生的潛能，啟發(fā)學(xué)生的思考方向和思維角度，把握學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒，獲得學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生找到了方法與技巧，必然帶來(lái)思想上的波瀾，情感上的感染，價(jià)值上的認(rèn)可，從而不斷提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（2）教師在教學(xué)過(guò)程中，充分的參與，恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，肯定的關(guān)注，合理的引導(dǎo)。把握教學(xué)環(huán)節(jié)的突發(fā)事件，應(yīng)對(duì)自如，注重細(xì)節(jié)，使學(xué)生獲得知識(shí)的同時(shí)，產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的濃厚樂(lè)趣。并不是所有學(xué)生都能掌握本節(jié)課的內(nèi)容，但肯定的賞識(shí)，適當(dāng)?shù)谋摅?，定能讓學(xué)生充滿自信，這也是核心素養(yǎng)的體現(xiàn)。

4 結(jié)語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，運(yùn)用各種教學(xué)方法，啟發(fā)思維，激發(fā)興趣，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。