陳偉斌
棱柱是一個重要的幾何體,以棱柱為背景的立體幾何問題,是高考命題的熱點,應引起同學們的高度重視.
一、準確理解棱柱的概念
一般地,由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱,
僅僅記住定義不能算理解,在“平移”的過程中形成的兩個底面、側面、側棱有哪些特點呢?這些特點可以看成棱柱的性質:(1)兩個底面是全等的多邊形,且對應邊互相平行;(2)側面都是平行四邊形;(3)側棱平行且相等,還要理解直棱柱、正棱柱的性質,直棱柱除了具有棱柱的性質外還具有:側棱與底面垂直的性質;正棱柱除了具有直棱柱的性質外還具有:底面是正多邊形的性質,還要厘清特殊的四棱柱之間的包含關系:如圖1.
由此可知正四棱柱是平行六面體的一種特殊情況.簡單地說,正四棱柱是長方體的特殊情況,正四棱柱都是長方體(包括正方體和底面為正方形的長方體).正方體都是正四棱柱,但正四棱柱不都是正方體.長方體都是直四棱柱(底面和側面垂直的四棱柱),但不一定是正四棱柱(長方體底面不一定為正方形).
例1如圖2所示,已知長方體ABCDA1B1C1D1.
(l)這個長方體是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱?為什么?
(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后,各部分形成的幾何體是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱?并指出底面;如果不是,請說明理由.
解析 (l)是棱柱,并且是四棱柱.因為它可以看成由四邊形ADD1A1沿AB方向平移至四邊形BCClB1形成的幾何體,符合棱柱的定義.
(2)截面BCFE右邊的部分是三棱柱BEBl -CFC1,其中△BEB1與△CFC1是底面.截面BCFE左邊的部分是四棱柱ABEA,-DCFDi,其中四邊形ABEA1和四邊形DCFD1是底面.
評注 1.解答本題的關鍵是正確掌握棱柱的幾何特征,本題易出現(xiàn)認為所分兩部分的幾何體,一個是棱柱,一個是棱臺的錯誤.
2.在利用幾何體的概念進行判斷時,要緊扣定義,注意幾何體間的聯(lián)系與區(qū)別,不要認為底面就是上下位置,如此題,底面也可放在前后位置.
二、正確運用棱柱的條件
l.由棱柱概念可直接推出的結論:
(l)上下底面互相平行;
(2)上下底面是全等的多邊形;
(3)上下底面對應邊平行且相等;
(4)側棱平行且相等;
(5)側面是平行四邊形.
2.直棱柱可推出的結論:側棱垂直于底面.
3.有些結論不能直接推出,需要有中間步驟.例如,直棱柱不可直接推出:側棱垂直于底面的一條直線;側面與底面垂直.
三、突出推理過程的邏輯關系
立體幾何中的邏輯思維能力是以立體幾何中的概念、公理與定理為基本形式,以分析與綜合、抽象與概括、歸納與演繹為主要方法,并能準確運用數(shù)學語言進行表達的思維能力.因此,我們在學習中要突出推理過程的邏輯關系,必須注意如下幾點:
1.邏輯段有順序,一個邏輯段出錯,從該段起不得分,并列邏輯段不分順序;
2.推理時也允許同時羅列兩個邏輯段條件,然后一起給出結論;
3.關鍵詞為每個邏輯段的主要條件和結論,在推理證明過程中不可缺少,關鍵詞不容忍字母、數(shù)值的差錯.比如“AA.上平面A1B1C1”寫成“AA1⊥平面A1C1”,得0分;“AA1⊥ AlC1”寫成“AA1⊥A1C”,得0分;
4.第(l)小題中已經書寫的條件、結論,作第(2)小題中的關鍵詞時需寫出,或用“由(l)得”替代.在書寫過程中會用“義因為”。