張醫(yī)銘

(中國石化上海石油化工股份有限公司統(tǒng)計(jì)中心，上海 200540)

時(shí)間序列是以時(shí)間為順序排列并隨時(shí)間而變化，同時(shí)又具有一定關(guān)聯(lián)關(guān)系的數(shù)據(jù)序列。時(shí)間序列分析是根據(jù)相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)之間具有相關(guān)性的特點(diǎn)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并實(shí)現(xiàn)相關(guān)信息的有效預(yù)測(cè)[1]。時(shí)間序列分析通常在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛。文章試圖采用這一方法對(duì)中國石化上海石油化工股份有限公司(以下簡(jiǎn)稱上海石化)海運(yùn)碼頭出廠數(shù)據(jù)的計(jì)量誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)，為計(jì)量數(shù)據(jù)管理提供決策依據(jù)。上海石化的柴油海運(yùn)出廠通過計(jì)量流量計(jì)進(jìn)行結(jié)算，但是計(jì)量數(shù)據(jù)和商檢量之間存在著隨機(jī)誤差，并且隨著季節(jié)變化存在周期性特點(diǎn)。為方便管理，需要知道該誤差的趨勢(shì)范圍，以便能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)異常情況，因此擬采用時(shí)間序列分析方法來進(jìn)行分析建模，這里將采用移動(dòng)平均自回歸模型(ARMA)對(duì)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。ARMA模型是一種專門處理一維時(shí)間序列數(shù)據(jù)的模型，可為柴油出廠計(jì)量誤差規(guī)律性分析提供一種新思路。

1 基本原理與方法

時(shí)間序列分析方法最初只有自回歸模型(AR)用于市場(chǎng)變化規(guī)律的預(yù)測(cè)，在此基礎(chǔ)上數(shù)學(xué)家瓦格兒又提出了滑動(dòng)平均模型(MA)和移動(dòng)平均自回歸模型(ARMA)，這3個(gè)模型奠定了時(shí)間序列分析理論的基礎(chǔ)。ARMA模型主要應(yīng)用于對(duì)一維、方差穩(wěn)定的平穩(wěn)時(shí)間序列分析，認(rèn)為時(shí)間序列當(dāng)前觀測(cè)項(xiàng)的值可以表示為其之前的p項(xiàng)觀測(cè)值及q項(xiàng)隨機(jī)誤差的線性組合，即滿足式(1),為移動(dòng)平均自回歸模型，并記作ARMA(p，q)模型[2]。

移動(dòng)平均自回歸模型的數(shù)學(xué)表達(dá)形式為：

Xy-φ1Xt-1-...φpXt-p=εt-θt-1-θqεt-q

(1)

式中：φ1為自回歸因子，θ1為滑動(dòng)平均因子，{ε1}為白噪聲序列。

引入后移算子B，用Bk表示k步線性推移算子，即BkX1=Xt-k,Bkε1=εt-k，令

φ(B)=1-φ1B-φ2B2-...-φpBp

(2)

θ(B)=1-θ1B-θ2B2-...-θpBp

(3)

則(1)式簡(jiǎn)寫為：

φ(B)Xt=θ(B)εt

(4)

這就是p階自回歸q階移動(dòng)平均模型，記為ARMA(p,q)。當(dāng)p=0時(shí)為純滑動(dòng)平均模型，記為MA(q);當(dāng)q=0時(shí)為純自回歸模型，記為AR(p)；當(dāng)p=q=0時(shí)，則模型表示為Xt=εt，此時(shí)，該序列為白噪聲序列[3]。

2 模型應(yīng)用

ARMA模型建模過程主要包括數(shù)據(jù)預(yù)處理、階數(shù)選取、參數(shù)估計(jì)和模型檢驗(yàn)4個(gè)步驟。

(1)數(shù)據(jù)預(yù)處理：使用ARMA模型需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，主要包括異常數(shù)據(jù)剔除和序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)。序列平穩(wěn)性可以通過時(shí)序圖初步判斷，然后通過計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)等判斷。如果自相關(guān)圖是截尾或者拖尾，則可以判斷數(shù)據(jù)適用ARMA模型。如果樣本數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，則可通過差分法處理進(jìn)行非平穩(wěn)序列建模。

(2)階數(shù)選?。捍_定模型的階數(shù)，即p和q值?？梢酝ㄟ^自相關(guān)圖選擇相應(yīng)的階數(shù)進(jìn)行擬合，也可以采用AIC準(zhǔn)則進(jìn)行判斷。

(3)參數(shù)估計(jì)：確定自回歸因子和移動(dòng)平均因子的值。參數(shù)估計(jì)主要包括最小二乘法和極大似然估計(jì)等，文章擬采用極大似然估計(jì)，使用Eviews軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算。

(4)模型檢驗(yàn)：模型檢驗(yàn)的方法主要包括卡方檢驗(yàn)和實(shí)測(cè)檢驗(yàn)法?？ǚ綑z驗(yàn)的基本思路是，在相應(yīng)的顯著性水平下檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臍埐钚蛄惺欠駷榘自肼曅蛄校粚?shí)測(cè)檢驗(yàn)法是將模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，計(jì)算相應(yīng)的誤差，從而進(jìn)一步修改完善模型[4]。

3 實(shí)例分析

由于柴油海運(yùn)出廠并非每天都有，因此數(shù)據(jù)不可能嚴(yán)格連續(xù)，為了更好地分析時(shí)間序列方法在誤差數(shù)據(jù)中的預(yù)測(cè)[5]，選取2015—2017年誤差實(shí)測(cè)月平均數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)直觀法剔除明顯的異常數(shù)據(jù)后得到誤差數(shù)據(jù)時(shí)間序列{Xt}，剔除異常值后的柴油計(jì)量數(shù)據(jù)誤差值時(shí)序圖見圖1。序列自相關(guān)和偏自相關(guān)情況見圖2。

圖1 序列時(shí)序

圖2 序列自相關(guān)情況

綜合分析序列時(shí)序圖、自相關(guān)圖，判定該序列為非平穩(wěn)序列，可以考慮使用差分法對(duì)序列進(jìn)行處理。

一階差分后的序列時(shí)序(y)、一階差分序列自相關(guān)(ACF)和一階段差分序列偏自相關(guān)(PACF)情況見圖3～5。

圖4 一階差分序列自相關(guān)

圖5 一階差分序列偏自相關(guān)情況

由圖4～5可知：該序列圍繞0點(diǎn)上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)和偏自相關(guān)因子很快落入隨機(jī)區(qū)間，說明一階差分后的序列呈現(xiàn)平穩(wěn)性，可以對(duì)其建立ARMA模型。由圖5可見，序列的樣本自相關(guān)因子在k=3處顯著不為0，表現(xiàn)為拖尾性，因此可以考慮q=3；偏自相關(guān)因子表現(xiàn)為一階截尾性，因此可以考慮取p=1。由于對(duì)原數(shù)列進(jìn)行了一階差分，因此最終可以建立ARIMA(1,1,3)模型。模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表1。

表1 模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

根據(jù)自相關(guān)圖顯示的自相關(guān)因子的3階截尾的性質(zhì)，嘗試擬合MA(3)模型，使用極大似然估計(jì)方法，確定MA(3)模型的口徑為：

xt=(1-0.6 046B+0.0 583B2-0.4 535B3)εt

(5)

根據(jù)偏自相關(guān)圖的1階截尾性，可以嘗試使用AR(1)模型進(jìn)行擬合，使用極大似然估計(jì)方法確定模型口徑為：

(6)

參數(shù)估計(jì)完成后，為了驗(yàn)證ARIMA(1,1,3)模型是否符合意義，運(yùn)用白噪聲檢驗(yàn)法對(duì)殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)。通過對(duì)殘差序列的檢驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)該模型是合適的，因此可以對(duì)此進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)結(jié)果見表2,擬合預(yù)測(cè)見圖6。

表2 5期預(yù)測(cè)結(jié)果

圖6 擬合預(yù)測(cè)情況

4 結(jié)論

(1)根據(jù)誤差數(shù)據(jù)的時(shí)序圖分析，發(fā)現(xiàn)該序列為非白噪聲、非平穩(wěn)序列，在對(duì)其數(shù)列進(jìn)行差分后滿足ARMA模型的建模要求。

(2)通過AIC定階準(zhǔn)則選取了ARMA(1，3)模型作為最終的擬合模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，最終使用極大似然估計(jì)的方法確定了模型的擬合方程。

(3)通過小樣本時(shí)間序列的預(yù)測(cè)分析，運(yùn)用ARMA模型對(duì)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，得到具體的分析方程，可以預(yù)測(cè)短期的誤差值，在實(shí)際的計(jì)量數(shù)據(jù)管理中，可以提供甄別異常值的理論依據(jù)，具有較高的實(shí)用價(jià)值。

(4)模型優(yōu)點(diǎn)：通過對(duì)油品出廠計(jì)量數(shù)據(jù)誤差進(jìn)行分析，建立了相應(yīng)的ARMA(p，q)模型，從預(yù)測(cè)的靜態(tài)圖上看，此種方法可以模擬數(shù)據(jù)的走勢(shì)，具有一定的參考意義，可以對(duì)異常數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷。

(5)模型缺點(diǎn)：在數(shù)據(jù)處理上，由于這些數(shù)據(jù)本身具有一定的隨機(jī)性，規(guī)律性較弱，采用單一的模型處理時(shí)會(huì)存在較大的誤差，所以對(duì)于預(yù)測(cè)的具體數(shù)值精度較低，只能提供大概率的置信區(qū)間供參考。