羅 敏, 徐亭亭, 王 晶, 李巧珍, 張佳賀

(1.東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江大慶 163318; 2.東北石油大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,黑龍江大慶 163318)

管內(nèi)可控萬向鉸接柔性細(xì)長桿是超短半徑側(cè)鉆水平井的特有結(jié)構(gòu),柔性桿多段鉸接使其能順利通過曲率半徑較小的彎曲井眼。在鉆進(jìn)過程中,各段柔性桿不在一條直線上,同時(shí)還會與外管產(chǎn)生隨機(jī)多向接觸,使摩擦力增大,引起載荷傳遞損失,所以管內(nèi)可控萬向鉸接柔性細(xì)長桿的力學(xué)分析對超短半徑水平井鉆井具有重要意義。針對柔性鉆具,國內(nèi)學(xué)者開展了相關(guān)的力學(xué)分析。蘇義腦等[1-2]將鉸鏈接頭視為平面鉸鏈,建立了鉸接式柔性鉆具的力學(xué)模型,推導(dǎo)出任一鉸鏈處的受力狀況,確定了鉆壓與大鉤載荷之間的關(guān)系。帥健等[3-4]采用凝聚自由度方法,建立了鉸接式鉆具組合的二維有限元模型,并對其進(jìn)行了單因素影響分析。高加強(qiáng)[5]和LIU等[6]考慮柔性鉆桿的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和受力狀態(tài),建立了單節(jié)柔性鉆桿的三維有限元模型,實(shí)現(xiàn)了對柔性鉆桿的強(qiáng)度評價(jià)。在國外,超短半徑水平井鉆井多采用高壓射流技術(shù)[7-11]。Gary[12]設(shè)計(jì)了柔性鉆井工具,但由于其柔度和強(qiáng)度有限,并沒有應(yīng)用到超短半徑水平井鉆井中,需要進(jìn)一步研究和改進(jìn)。綜上所述,國內(nèi)外學(xué)者對于鉸接連接的柔性細(xì)長桿與外管的接觸問題研究較少,目前的研究方法均局限于二維情況,且鉸接處沒有考慮相對轉(zhuǎn)角限制,因此筆者對可控萬向鉸接柔性桿與外管接觸非線性問題開展研究。

1 柔性桿與外管接觸模型的建立

假設(shè)外管的軸線為任意圓弧與直線的組合,外管內(nèi)鉸接柔性桿的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。將柔性桿和外管看作是三維有限應(yīng)變梁單元,單節(jié)柔性桿之間通過萬向鉸連接,柔性桿在外管內(nèi)的徑向運(yùn)動受外管內(nèi)壁約束,致使桿管之間發(fā)生接觸,單獨(dú)的空間梁單元模型不能解決鉸接柔性桿與外管邊界的接觸非線性問題。本文中采用空間梁單元、萬向鉸單元和接觸單元的混合有限元模型解決可控萬向鉸接柔性桿與外管接觸問題。

圖1 外管內(nèi)鉸接柔性桿結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of hinged flexible rod in outer tube

1.1 可控萬向鉸接梁單元的分析模型

采用有限元法,用兩節(jié)點(diǎn)十二個(gè)自由度的空間梁單元對柔性桿進(jìn)行離散,整體平衡方程可表示為

F=Kδ.

(1)

式中,F為節(jié)點(diǎn)力列陣;K為總體剛度矩陣;δ為節(jié)點(diǎn)位移列陣。

基于可控萬向鉸可在兩個(gè)方向上發(fā)生相對轉(zhuǎn)動的特點(diǎn),通過兩個(gè)節(jié)點(diǎn)對其進(jìn)行定義,節(jié)點(diǎn)I和J重合,每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有3個(gè)平動位移以及3個(gè)轉(zhuǎn)動位移,萬向鉸單元坐標(biāo)表示如圖2所示,兩個(gè)節(jié)點(diǎn)須定義局部直角坐標(biāo)系描述運(yùn)動約束,y軸方向?yàn)閭鲃虞S方向?？煽厝f向鉸是在萬向鉸的基礎(chǔ)上,在兩個(gè)方向上只能相對轉(zhuǎn)動固定的角度,當(dāng)達(dá)到轉(zhuǎn)動限制度數(shù)時(shí),連接方式就變?yōu)閯傂赃B接,其運(yùn)動由機(jī)構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)問題。

圖2 萬向鉸單元坐標(biāo)示意圖Fig.2 Coordinate representation diagram of universal joint element

任意給定時(shí)刻萬向鉸單元的運(yùn)動約束表示為位移約束和轉(zhuǎn)動約束。

位移約束為

uI=uJ.

(2)

轉(zhuǎn)動約束為

(3)

式中,uI和uJ分別為節(jié)點(diǎn)I和節(jié)點(diǎn)J的線位移向量;eIx、eJz、eIy和eJy均為沿各局部坐標(biāo)系相應(yīng)方向的單位向量。

節(jié)點(diǎn)I和節(jié)點(diǎn)J的局部坐標(biāo)系相對位置的第一和第三卡登角[13],分別為

(4)

(5)

兩局部坐標(biāo)系相對轉(zhuǎn)角的改變Δφ和Δψ可表示為

Δφ=φ-φ0,

(6)

Δψ=ψ-ψ0.

(7)

式中,φ0和ψ0分別為節(jié)點(diǎn)I和節(jié)點(diǎn)J的局部坐標(biāo)系相對位置的初始第一和第三卡登角。

當(dāng)Δφ和Δψ達(dá)到轉(zhuǎn)動限制度數(shù)時(shí),萬向鉸單元的運(yùn)動約束表示為

uI=uJ,θI=θJ.

(8)

式中,θI和θJ分別為節(jié)點(diǎn)I和節(jié)點(diǎn)J的角位移向量。

由上述分析可知,萬向鉸單元由于節(jié)點(diǎn)位置重合,因此其沒有形函數(shù),只通過給定運(yùn)動約束實(shí)現(xiàn)其功能,將萬向鉸單元與梁單元的平衡方程相結(jié)合,經(jīng)過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和拼裝過程得到萬向鉸連接的梁單元的總體平衡方程為

F=Knδ.

(9)

式中,Kn為整體坐標(biāo)系下萬向鉸連接的梁單元的總體剛度矩陣。

1.2 柔性桿與外管接觸分析模型

1.2.1 接觸單元描述

為分析柔性桿與外管的接觸問題,創(chuàng)建接觸單元和目標(biāo)單元,分別依附在柔性桿的外表面和外管的內(nèi)表面,接觸單元和目標(biāo)單元與所依附的梁單元滿足變形協(xié)調(diào)條件。當(dāng)柔性桿與外管未發(fā)生接觸時(shí),它不影響柔性桿的運(yùn)動,當(dāng)接觸時(shí),其剛度為某一給定值,阻抗接觸體之間的相互侵入。

1.2.2 摩擦模型

當(dāng)柔性桿與外管接觸時(shí),接觸面有法向接觸壓力,若柔性桿與外管發(fā)生相對滑動,有軸向摩擦阻力存在,本文中采用經(jīng)典的庫倫摩擦模型,即

Ff=μP.

(10)

式中,P為法向接觸壓力,N;μ為摩擦系數(shù);Ff為軸向摩擦力，N。

1.2.3 接觸判定條件

理論上,兩物體在變形過程中會出現(xiàn)分離狀態(tài)和侵入狀態(tài),而實(shí)際上侵入狀態(tài)不可能發(fā)生。為了消除這種可能性,引入間隙函數(shù)h定義兩物體的接觸狀態(tài),當(dāng)間隙函數(shù)小于零,可判定接觸存在。

定義兩根梁的間隙函數(shù)的基礎(chǔ)是找到一對最接近的點(diǎn)Pm和Pn,如圖3所示。曲線上任意點(diǎn)的位置可以分別由局部坐標(biāo)系em和en定義。

圖3 梁在梁內(nèi)接觸模型Fig.3 Beam in beam contact model

在全局坐標(biāo)系(X,Y,Z)中,曲線上的每個(gè)點(diǎn)都與位置向量xm或xn相關(guān)聯(lián)。由于間隙函數(shù)必須始終在當(dāng)前構(gòu)型中確定,在增量處理變形過程的每次迭代中,這些向量都對應(yīng)于當(dāng)前梁的構(gòu)型。它們可以表示為初始構(gòu)型點(diǎn)的位置向量Xm、Xn和位移向量um、un的和,即

(11)

兩根梁最接近點(diǎn)Pm和Pn在曲線上的位置向量xm和xn必須滿足連接線與這些點(diǎn)上與曲線相切的直線之間的正交條件。這些條件可以表示為

(12)

其中

在一般情況下,當(dāng)梁的初始軸線發(fā)生變形時(shí),式(12)構(gòu)成一組非線性方程組。方程組的解可以通過局部坐標(biāo)系em和en的形式給出,它描述了最近點(diǎn)Pm和Pn的位置。對式(12)進(jìn)行線性化處理,計(jì)算局部坐標(biāo)增量Δem和Δen為

(13)

其中

求出兩根梁最接近點(diǎn)Pm和Pn的位置后,可以計(jì)算出它們之間的距離Δ為

Δ=|xm-xn|.

(14)

在計(jì)算出最接近點(diǎn)的距離基礎(chǔ)上,間隙函數(shù)h可由幾何關(guān)系確定為

h=rw-rc-Δ.

(15)

式中,rw為外梁的內(nèi)徑,m;rc為內(nèi)梁的外徑,m。

基于接觸表面沿法線方向的接觸間隙,并滿足接觸邊界上的變形協(xié)調(diào),采用增廣拉格朗日算法計(jì)算法向接觸力Ft。

綜合可控鉸接連接的機(jī)構(gòu)問題及接觸非線性問題,結(jié)合梁單元、萬向鉸接單元和接觸單元,可得到實(shí)現(xiàn)分析外管內(nèi)可控萬向鉸接柔性桿接觸非線性的整體平衡方程為

F+Ft=(Kn+Kt)δ.

(16)

式中,Ft為接觸力列陣,是節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù);Kt為接觸剛度矩陣。

由于式(16)第一次求得的解通常不能滿足接觸判定條件,須反復(fù)迭代計(jì)算,直到得出全部滿足接觸判別條件的解為止,因此選用修正的牛頓辛普森法進(jìn)行求解。

2 模型驗(yàn)證

內(nèi)桿彈性模量E為210 GPa,直徑為20 mm,長為2l=2 m,內(nèi)桿與外管間隙δ=3 mm。 內(nèi)桿兩端固定,中間鉸接處受集中載荷作用F=80 N,外管全固定,如圖4所示。QA、QB、MA和MB分別為A點(diǎn)和B點(diǎn)的支反力及彎矩,FC為接觸反力。

圖4 內(nèi)桿與外管結(jié)構(gòu)及力學(xué)模型Fig.4 Structure and mechanical model of inner rod and outer pipe

根據(jù)結(jié)構(gòu)的對稱性和平衡條件可知,內(nèi)桿與外管接觸點(diǎn)位于C點(diǎn),內(nèi)桿AC段在F和FC單獨(dú)作用下的撓度分別用yF和yFC表示,其撓曲線微分方程為

(17)

在固定端A,轉(zhuǎn)角和撓度均等于零,即

(18)

內(nèi)桿AC段的總撓度為ysum,其值等于yF與yFC的和,內(nèi)桿與外管在x=l處發(fā)生接觸,則

(19)

根據(jù)式(17)和(18)可確定yF和yFC的表達(dá)式,最后根據(jù)式(19)確定FC,FC可表示為

(20)

采用本文中的鉸接柔性桿與外管接觸模型(不限制鉸接處轉(zhuǎn)動度數(shù))和數(shù)值求解算法,所得結(jié)果與解析解進(jìn)行對比,結(jié)果見表1。

表1 計(jì)算結(jié)果對比

由表1可知,C點(diǎn)彎矩為0,驗(yàn)證了鉸傳遞力不傳遞彎矩的特點(diǎn),理論解與數(shù)值解最大誤差僅為1.08%,接觸力的誤差僅為0.64%,驗(yàn)證了接觸模型的正確性。

3 工程算例

將可控萬向鉸接柔性桿與外管的接觸模型應(yīng)用到鉆井工程中,對超短半徑水平井造斜段柔性鉆具進(jìn)行接觸非線性分析。

3.1 柔性鉆具力學(xué)模型的建立

超短半徑水平井造斜段曲率半徑為3.2 m,井斜角為90°,選取柔性鉆桿和導(dǎo)向篩管為研究對象,柔性鉆桿和導(dǎo)向篩管材料均為35CrMo,屈服強(qiáng)度為835 MPa,抗拉強(qiáng)度為980 MPa,彈性模量為210 GPa,泊松比為0.3,密度為7 850 kg/m3。導(dǎo)向篩管的外徑為110 mm,內(nèi)徑為95 mm,柔性鉆桿與導(dǎo)向篩管的摩擦系數(shù)取0.3。

柔性鉆桿可控鉸接連接部件結(jié)構(gòu)如圖5(a)所示,由于研究的重點(diǎn)在于細(xì)長柔性鉆桿與導(dǎo)向篩管之間的接觸狀態(tài),并非工具的強(qiáng)度,故為了提高計(jì)算效率,考慮柔性鉆桿的內(nèi)部結(jié)構(gòu),將其簡化為相應(yīng)截面尺寸的圓柱結(jié)構(gòu),簡化后的結(jié)構(gòu)如圖5(b)所示。單節(jié)柔性鉆桿各截面S1～S5對應(yīng)的長度分別為33、28、38、32和27 mm,對應(yīng)的外徑分別為54、84、84、91和69 mm,內(nèi)徑均為30 mm,鉸接位置位于截面S2和截面S3之間。

圖5 單節(jié)柔性鉆桿結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure of single flexible drill rod

柔性鉆桿及導(dǎo)向篩管均采用梁單元進(jìn)行離散,柔性鉆桿鉸接連接采用萬向鉸單元進(jìn)行離散,由于單節(jié)柔性鉆桿有5個(gè)不同的截面,因此將單節(jié)柔性鉆桿劃分為5個(gè)梁單元,1個(gè)萬向鉸單元,導(dǎo)向篩管的單元長度與柔性鉆桿相對應(yīng)。導(dǎo)向篩管全約束,柔性鉆桿上端約束橫向線位移,柔性鉆桿下端約束線位移和扭轉(zhuǎn)方向的角位移,柔性鉆桿與導(dǎo)向篩管之間為接觸摩擦邊界,柔性鉆桿承受自重q和T=2 kN·m的扭矩,柔性鉆具力學(xué)模型如圖6所示。

圖6 柔性鉆具力學(xué)模型Fig.6 Mechanical model of flexible drilling tool

3.2 柔性鉆具力學(xué)分析

為了研究柔性鉆桿中鉸接點(diǎn)的影響,給出了無萬向鉸接和有萬向鉸接的計(jì)算結(jié)果,對于有萬向鉸接的柔性鉆桿,又給出了不同鉸接轉(zhuǎn)動限制度數(shù)的計(jì)算結(jié)果。柔性鉆桿在重力和扭矩作用下發(fā)生變形,將柔性鉆桿變形放大50倍,得到無鉸、鉸接處轉(zhuǎn)動限制度數(shù)分別為1°、3°和不限制鉸接處轉(zhuǎn)動度數(shù)的柔性鉆桿變形和總位移分別如圖7、8所示,柔性鉆桿鉸接處繞x方向和z方向的轉(zhuǎn)角如圖9所示,柔性鉆桿與導(dǎo)向篩管的接觸壓力如圖10所示,柔性鉆桿的扭矩如圖11所示。

圖7 柔性鉆桿變形Fig.7 Flexible drill rod deformation

圖8 柔性鉆桿總位移分布Fig.8 Distribution of total displacement of flexible drill rod

圖9 柔性鉆桿鉸接處轉(zhuǎn)角Fig.9 Angle of hinged joint of flexible drill rod

結(jié)合圖7～11可知,有鉸時(shí),柔性鉆桿的變形相對于初始構(gòu)型呈現(xiàn)“折線形”的變形,隨著鉸接處轉(zhuǎn)動限制度數(shù)的增大,柔性鉆桿的平均總位移、相對轉(zhuǎn)角逐漸增大,“折線形”變形趨勢越明顯;鉸接連接的柔性鉆桿總位移上下波動較大,隨著進(jìn)尺的增大,單節(jié)柔性鉆桿相同截面處的位移總體呈減小的趨勢,鉸接位置處的總位移大于非鉸接處。無鉸時(shí),柔性鉆桿的總位移變化較平穩(wěn),且隨著進(jìn)尺的增大,先增大后減小;當(dāng)鉸接處不限制度數(shù)時(shí),鉸接位置最大轉(zhuǎn)角為5°,這是由于柔性鉆桿與導(dǎo)向篩管之間的間隙決定的,當(dāng)鉸接處限制度數(shù)為1°和3°時(shí),鉸接位置轉(zhuǎn)角多數(shù)達(dá)到限制度數(shù),柔性鉆桿由機(jī)構(gòu)變?yōu)榻Y(jié)構(gòu);柔性鉆桿與導(dǎo)向篩管的接觸壓力隨著柔性鉆桿鉸接處限制度數(shù)的增大而增大,只有柔性鉆桿最大截面處與導(dǎo)向篩管接觸,且接觸壓力呈隨機(jī)分布狀態(tài);柔性鉆桿的扭矩隨著鉸接處限制度數(shù)和進(jìn)尺的增大而逐漸減小,柔性鉆桿扭矩的損失包括兩部分,一部分是環(huán)向摩擦造成扭矩?fù)p失,一部分是萬向鉸傳動軸不在一條直線上,存在一定的夾角,導(dǎo)致扭矩?fù)p失,因此在設(shè)計(jì)柔性鉆桿時(shí),應(yīng)充分考慮萬向鉸轉(zhuǎn)動限制度數(shù)對載荷傳遞的影響。

圖10 接觸壓力分布Fig.10 Contact pressure distribution

圖11 柔性鉆桿扭矩分布Fig.11 Torque distribution of flexible drill rod

4 結(jié) 論

(1)考慮可控萬向鉸連接的機(jī)構(gòu)問題及接觸非線性問題,將空間梁單元、萬向鉸單元和接觸單元相結(jié)合,建立了外管內(nèi)可控萬向鉸接柔性桿接觸非線性有限元模型,給出了數(shù)值計(jì)算方法。

(2)典型算例的理論解與數(shù)值解十分吻合,最大誤差僅為1.08%,說明所建模型和算法具有可行性。

(3)鉸接柔性鉆桿的變形相對于初始構(gòu)型呈現(xiàn)“折線形”的變形,隨著鉸接處轉(zhuǎn)動限制度數(shù)的增大,柔性鉆桿的平均總位移、相對轉(zhuǎn)角逐漸增大,柔性鉆桿與導(dǎo)向篩管的接觸壓力逐漸增大,接觸位置增多,柔性鉆桿扭矩逐漸減小,為柔性鉆桿的設(shè)計(jì)和現(xiàn)場施工提供理論指導(dǎo)。