山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (252000)

王曉卿

圓錐曲線問題是高考的必考內(nèi)容，本文以2018年新課標(biāo)全國卷Ⅲ(理數(shù))的第20題為例，深入探究圓錐曲線的離心率與相交直線斜率的關(guān)系問題.

一、初步探究

對第(1)問，筆者給出兩種證法.

證法1：(聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求證)

整理可得(4k2+3)x2+8kbx+4b2-12=0.

證法2：(將點的坐標(biāo)代入方程，化簡求證)

設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2)，將A,B兩點坐標(biāo)代入橢圓方程，得

二、深入探究

將上述發(fā)現(xiàn)推廣到一般情況，可得到如下定理.

圖1

圖2

三、探究應(yīng)用

下面以2015年新課標(biāo)全國卷Ⅱ(理數(shù))第11題為例，進(jìn)一步說明以上定理在解決有關(guān)圓錐曲線的離心率與相交直線斜率的題目中的應(yīng)用.靈活運用以上結(jié)論，可以簡化做題步驟，提高做題速度.

例題已知A,B為雙曲線E的左右頂點，點M在曲線E上，ΔABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為( ).

圖3