曾佑軒，馬 立，鐘博文，孫立寧，汪文峰

(1.上海大學(xué),上海 200072;2. 蘇州大學(xué),蘇州 215021)

0 引 言

壓電陶瓷能夠?qū)㈦娔苻D(zhuǎn)換成機(jī)械能,廣泛應(yīng)用于掃描電子顯微鏡(SEM)觀測(cè)、微/納操作系統(tǒng)、集成芯片制造、生物技術(shù)等領(lǐng)域[1-3]。傳統(tǒng)的微位移驅(qū)動(dòng)平臺(tái)無法滿足納米級(jí)高精度的運(yùn)動(dòng)定位需求,壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)具有體積小、高能量密度、高分辨率、快響應(yīng)速度的優(yōu)點(diǎn),克服了傳統(tǒng)驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的不足,已成為精密定位系統(tǒng)中重要的定位及驅(qū)動(dòng)元件[4-5]。

為了滿足對(duì)精密產(chǎn)品日益增長(zhǎng)的需求，對(duì)壓電陶瓷精密定位的研究就顯得越來越重要[6-8]。雖然現(xiàn)有的前饋PID控制速度快,但是前饋逆模型計(jì)算復(fù)雜,難以求逆模型,PID參數(shù)整定困難,難以滿足不同平臺(tái)的控制需求[9]。隨著系統(tǒng)狀態(tài)的變化，壓電陶瓷自適應(yīng)閉環(huán)控制算法可以實(shí)現(xiàn)在線實(shí)時(shí)調(diào)整PID參數(shù)[10-11]。

1 壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)前饋PID控制算法

1.1 壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)驅(qū)傳動(dòng)系統(tǒng)建模

在壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)系統(tǒng)中,以壓電陶瓷作為運(yùn)動(dòng)的載體，以柔性鉸鏈作為傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)。首先，對(duì)該平臺(tái)的傳動(dòng)和驅(qū)動(dòng)部分進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，結(jié)合壓電陶瓷的機(jī)理，建立如圖1所示的等效動(dòng)力學(xué)模型。

圖1 驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型

圖1中,左邊是陶瓷的等效模型,右邊是鉸鏈機(jī)構(gòu)的模型;meff和m分別為陶瓷和鉸鏈的等效質(zhì)量,cp和cs分別為陶瓷和鉸鏈的阻尼系數(shù),Kp和Ks分別為陶瓷和鉸鏈的剛度。F為預(yù)緊力,x為位移,f為陶瓷在電壓下的驅(qū)動(dòng)力。

驅(qū)動(dòng)傳動(dòng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下:

(1)

式中：Δl0為無負(fù)載時(shí)壓電陶瓷的位移。

1.2 遺傳算法PID參數(shù)整定

根據(jù)驅(qū)動(dòng)傳動(dòng)系統(tǒng)傳遞函數(shù),利用式(2)得出最優(yōu)參數(shù)指標(biāo):

(2)

式中:u(t)是控制器輸出；e(t)是系統(tǒng)誤差；tu為上升時(shí)間；w1，w2，w3為權(quán)值；w1=0.999,w2=0.001,w3=2.0。在遺傳算法中，當(dāng)使用的種群個(gè)數(shù)為30時(shí),可以得到變異概率和交叉概率分別為0.033和0.9。經(jīng)過100次迭代,代價(jià)函數(shù)達(dá)到目標(biāo)。PID參數(shù)：kp=0.926 4,ki=0.249 2,kd=0.441 6。圖2(a)和圖2(b)分別為優(yōu)化代價(jià)函數(shù)J過程和階躍響應(yīng)采用整定后的PID控制的效果[12]，圖2(c)為代價(jià)函數(shù)優(yōu)化目標(biāo)。

(a) 代價(jià)函數(shù)的優(yōu)化過程

(b) 整定后的階躍響應(yīng)曲線

(c) 種群PID參數(shù)的優(yōu)化過程

1.3 非對(duì)稱PI遲滯模型的改進(jìn)

針對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)遲滯現(xiàn)象所帶來的非對(duì)稱性問題，改進(jìn)非對(duì)稱PI遲滯模型如下：

(3)

輸入電壓增大時(shí)，權(quán)值為wpj,下降權(quán)值wqj為0；輸入電壓減小時(shí)權(quán)值為wqj,上升權(quán)值wpj為0；F[x(t),y(t),r]為Play算子;z(t)為遲滯模型的輸出。

經(jīng)過MATLAB仿真得到改進(jìn)后PI遲滯模型的擬合曲線和經(jīng)典PI遲滯模型的擬合曲線，如圖3所示。由圖3可以看出,改進(jìn)非對(duì)稱PI遲滯模型的擬合值在下降階段擬合比經(jīng)典PI遲滯模型誤差小[6]。經(jīng)典PI遲滯模型最大擬合誤差為159.5 nm,改進(jìn)的PI遲滯模型最大擬合誤差為66.9 nm。

(a) 經(jīng)典PI遲滯模型擬合

(b) 經(jīng)典PI遲滯模型擬合誤差

(c)改進(jìn)非對(duì)稱PI遲滯模型擬合

(d) 改進(jìn)非對(duì)稱PI遲滯模型誤差

圖3PI模型擬合及誤差

1.4 基于改進(jìn)PI模型的前饋PID控制

基于PI模型比較容易求逆的優(yōu)點(diǎn)，式(3)的逆模型可記作如下：

(4)

結(jié)合PID反饋控制的控制策略，采用基于改進(jìn)的PI逆模型前饋,得到如圖4所示的控制原理圖。在整個(gè)系統(tǒng)中，首先要根據(jù)期望位移值r(t),然后結(jié)合前饋模型獲得相應(yīng)的期望電壓u(t),最后通過PID反饋控制對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行誤差消除。

圖4 前饋PID復(fù)合控制原理

2 壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)自適應(yīng)閉環(huán)控制算法

2.1 基于單神經(jīng)元的自適應(yīng)PID控制

單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制算法：

(5)

經(jīng)過大量實(shí)踐證明，可將單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制算法中的加權(quán)系數(shù)學(xué)習(xí)的修正部分進(jìn)行修改,控制原理如圖5所示。ηI，ηp和ηD為積分I、比例P、微分D的學(xué)習(xí)速率，K為神經(jīng)元的學(xué)習(xí)速率[13]。

圖5 單神經(jīng)元自適應(yīng)控制

改進(jìn)的單神經(jīng)元自適應(yīng)PID系數(shù)在線修正主要是通過參考實(shí)際經(jīng)驗(yàn)得出的，其仿真曲線如圖6所示。

(a) 輸入、跟隨曲線

(b) 輸入、跟隨誤差曲線

(c) PID參數(shù)變化曲線

2.2 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID自適應(yīng)控制

如圖7所示，BP網(wǎng)絡(luò)采用三層結(jié)構(gòu)。網(wǎng)絡(luò)輸入層的輸入:

(6)

圖7 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定的PID控制

在式(6)中,被控系統(tǒng)復(fù)雜程度決定輸入變量數(shù)M。網(wǎng)絡(luò)隱含層的輸入、輸出如下：

(7)

(8)

輸出層的輸入和輸出如下:

(9)

(10)

取性能指標(biāo)函數(shù)如下式:

(11)

取性能指標(biāo)函數(shù)E(k)的負(fù)梯度方向來修正網(wǎng)絡(luò)的權(quán)系數(shù)，再加上能夠使整個(gè)搜索更快速的慣性項(xiàng)，如下式:

(12)

在式(12)中,η，α分別為學(xué)習(xí)率和慣性系數(shù)。輸出層權(quán)的學(xué)習(xí)算法如下：

(13)

同理，可得隱含層加權(quán)系數(shù)的學(xué)習(xí)算法如下：

(14)

基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID控制算法仿真曲線如圖8所示。從圖8(a)和圖8(b)中可以看出，跟隨曲線與輸入曲線的誤差很小,驗(yàn)證了該算法的有效性；從圖8(c)中可以看出，kp,ki,kd的值在實(shí)時(shí)調(diào)整,以調(diào)節(jié)跟隨誤差。

(a) 輸入、跟隨曲線

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

根據(jù)實(shí)驗(yàn)需求，搭建了如圖9所示的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。

圖9 壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)系統(tǒng)

STM32F407作為整個(gè)系統(tǒng)的主控芯片,利用D/A模塊將電壓通過高壓運(yùn)算放大電路輸送到壓電陶瓷,然后通過電阻片將壓電陶瓷的位移反饋到傳感器測(cè)量電路，經(jīng)過處理后將電壓傳給A/D模塊,電容傳感器作為外部測(cè)量設(shè)備檢測(cè)壓電陶瓷運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位移。

3.1 前饋PID控制實(shí)驗(yàn)

對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析,得到其驅(qū)動(dòng)傳動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),由遺傳算法全局尋優(yōu)得到壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的最優(yōu)PID參數(shù),在STM32F407中實(shí)現(xiàn)前饋PID控制算法,其實(shí)驗(yàn)效果如圖10所示。由圖10(a)可知,在電壓上升和下降

(a) 前饋PID控制效果

(b) 前饋PID控制定位誤差

時(shí)，平臺(tái)的定位精度得到提高。前饋PID控制算法定位誤差曲線如圖10(b)所示,其最大定位誤差為40.5 nm,最小定位誤差為3.0 nm,平均定位誤差為16.5 nm。

3.2 改進(jìn)的單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制實(shí)驗(yàn)

基于單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制,其權(quán)系數(shù)的在線修正主要是通過參考實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來確定的。單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制算法的實(shí)驗(yàn)效果如圖11所示。從圖11中可以看出，單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制算法相比于前饋PID控制算法具有更好的線性度。單神經(jīng)元自適應(yīng)PID算法定位誤差曲線如圖11(b)所示,其最大定位誤差為18.5 nm,最小定位誤差為0.5 nm,平均定位誤差8.3 nm。

(a) 單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制效果

(b) 單神經(jīng)元自適PID算法定位誤差

3.3 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制實(shí)驗(yàn)

在BP網(wǎng)絡(luò)PID控制中, 3個(gè)參數(shù)kp，ki，kd的在線調(diào)整主要是通過神經(jīng)元的自學(xué)習(xí)來實(shí)現(xiàn)的。該控制算法也是在STM32F407中來實(shí)現(xiàn),實(shí)驗(yàn)效果如圖12所示。基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制算法相比單神經(jīng)元自適應(yīng)PID算法具有更好線性度。其定位誤差曲線如圖12(b)所示,最大定位誤差為14.0 nm,最小定位誤差為0.5 nm,平均定位誤差5.1 nm。

(a) BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定PID算法控制效果

(b) BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定PID算法定位誤差

4 結(jié) 語

本文建立了壓電驅(qū)動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)傳動(dòng)系統(tǒng)的等效動(dòng)力學(xué)模型,為遺傳算法提供目標(biāo)函數(shù)。形成了以非對(duì)稱PI遲滯模型為前饋模型的前饋PID復(fù)合控制；運(yùn)用基于改進(jìn)的單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制和基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID控制，實(shí)現(xiàn)PID參數(shù)的在線實(shí)時(shí)閉環(huán)控制。

搭建了壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)平臺(tái)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),進(jìn)行閉環(huán)控制實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，驅(qū)動(dòng)平臺(tái)在前饋PID控制下平均定位誤差為16.5 nm;在單神經(jīng)元自適應(yīng)PID算法的控制下平均定位誤差8.3 nm;基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自整定PID控制算法平均定位誤差5.1 nm。自適應(yīng)PID閉環(huán)控制精度優(yōu)于前饋PID控制，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制精度高于單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制。