莊 劍

（國網(wǎng)天津市電力公司 天津 300010）

1 引言

電力公司一直在尋找新技術，以提高電力輸送性能［1］。其中，功率損耗的控制是一個重要問題。配電網(wǎng)的功率損耗計算可以采用以下幾種策略：1）電容器組［2］；2）相平衡［3］；3）配電饋線重構［4］。其中，配電饋線重構是指在發(fā)生突發(fā)事件時，通過系統(tǒng)損耗最小化或服務恢復時間最小化，以控制開關來改變系統(tǒng)拓撲結(jié)構。因此，這需要構造不同的目標優(yōu)化問題。在系統(tǒng)損耗的情況下，主要關心的是盡量減少有功功率損耗。無功功率損耗［5］、停電次數(shù)［6］和恢復時間［7］等因素是電力系統(tǒng)恢復過程中需要最小化的決策變量，對于這兩類問題，數(shù)學模型是一個非線性混合整數(shù)問題［8］。本文討論配電系統(tǒng)有功損耗最小化問題。現(xiàn)有的重構問題的損失最小化解決方法可以被分成兩類：啟發(fā)式算法［9］和人工智能算法［10］。其中，啟發(fā)式算法一般只確定一個特定負載條件的解決方案，通常利用交互過程達到該負載條件。人工智能算法可通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡（ANN）［11］在實時模式下為每個負載模式提供一組高質(zhì)量的拓撲，而不執(zhí)行迭代過程。也就是說，在不執(zhí)行大規(guī)模迭代過程的情況下，當負載配置文件發(fā)生變化時，人工神經(jīng)網(wǎng)絡可以提供解決方案。

本文提出了一個考慮到上述問題的人工神經(jīng)網(wǎng)絡。人工神經(jīng)網(wǎng)絡只使用一個神經(jīng)網(wǎng)絡，并以確定最合適的拓撲結(jié)構進行計算。為了提高人工神經(jīng)網(wǎng)絡的性能和結(jié)構，本文結(jié)合了聚類技術以減少人工神經(jīng)網(wǎng)絡輸入數(shù)據(jù)的數(shù)量。通過使用聚類技術的訓練集確定算法達到最好的性能，從而產(chǎn)生一個更有效的信息源的人工神經(jīng)網(wǎng)絡。其結(jié)果使得人工神經(jīng)網(wǎng)絡具有更強的泛化能力，并有可能確定高品質(zhì)的拓撲與較低的損失。

2 數(shù)學建模

配電系統(tǒng)重構的目標是確定最小有功功率損耗的拓撲結(jié)構。所提出的數(shù)學模型如下：

使得

其中，n為配電網(wǎng)系統(tǒng)中的節(jié)點數(shù)量，sij、iij和zij分別為支路的功率流、電流和阻抗。sdj為總線上節(jié)點 j的負載，vi為節(jié)點i上的電壓，Sfk為饋線 fk上的功率流，如果終端總線和電源之間只有一條路徑，則等于1，否則為零。

在建立的數(shù)學建模公式中，目標函數(shù)式（1）表示系統(tǒng)中的有功損耗；約束條件（2）和（3）代表基爾霍夫定律；約束條件（4）和（5）表示支路的電壓流和應保持在限值內(nèi)的電壓；約束條件（6）是變電站變壓器的運行限值；約束條件（7）是使系統(tǒng)的徑向度約束。相應的數(shù)學模型是一個混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題（MINLP）。

3 神經(jīng)網(wǎng)絡算法

3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡

人工神經(jīng)網(wǎng)絡簡稱為神經(jīng)網(wǎng)絡（NN），它是一種有組織的密集連接節(jié)點系統(tǒng)［12］，通常采用前饋方式。每個連接（或神經(jīng)元）都與一個稱為權重的數(shù)字相關聯(lián)［13］。本文所描述的神經(jīng)網(wǎng)絡是一種標準的多層感知器。如圖1所示，又稱為m-n-k網(wǎng)，它代表m個神經(jīng)元接收來自外部世界的信息輸入層的神經(jīng)網(wǎng)絡，隱藏層神經(jīng)元的n（傳播信息）和輸出層的神經(jīng)元k提供了整個網(wǎng)絡的響應。

圖1 多層神經(jīng)網(wǎng)絡感知器

一個神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出O可以定義為輸入I的函數(shù)和形式為O=φ(I，W)的權重W ，其中 φ表示由NN定義的映射函數(shù)φ:Rm→Rk。神經(jīng)網(wǎng)絡訓練過程包括調(diào)整權值wij，以實現(xiàn)訓練數(shù)據(jù)的“良好”映射。因此，對于懸鏈具有未知數(shù)學關系的數(shù)據(jù)［14］，神經(jīng)網(wǎng)絡提供了映射。執(zhí)行映射的數(shù)據(jù)集以下面的形式表示：

其中，(Ii，Di)表示訓練模式i的輸入和輸出期望。訓練算法尋找具有調(diào)整和泛化訓練集的映射函數(shù)φ，泛化是神經(jīng)網(wǎng)絡為不屬于訓練集的輸入提供足夠的輸出的能力。根據(jù)輸入Ii及其相應的輸出期望Oi，訓練過程使得能量函數(shù)E最小化，這是所有元素P訓練集中D和O之間的平均二次誤差：

對于E(W)≥0，該算法對于所有的訓練集，即理想條件使得代價函數(shù)等于零的權重的組合，試圖找到一個集合W'使得E(W')=0。然而，由于映射函數(shù)φ在不同層的傳遞是非線性的，且訓練算法是一個迭代過程，使得給定的平均二次誤差式（9）最小化，這可用于優(yōu)化無約束非線性問題的任何算法。

利用經(jīng)典的一階和二階算法確定方向。對于第一種情況，通過使用目標函數(shù)（9）的梯度來實現(xiàn)，它們被稱為反向傳播算法或梯度后代。這些算法速度快，唯一的缺點是反向傳播只能應用于具有可微函數(shù)的網(wǎng)絡。訓練算法根據(jù)搜索方向r(t)改變權值：

另一類是由共軛梯度法［15］和擬牛頓法［16］、Levenberg-Marquardt法［17］等算法構成的，即為了簡化高階導數(shù)，表現(xiàn)出良好的性能。

3.2 聚類技術

聚類技術作為分析和創(chuàng)建具有相似特征的數(shù)學工具，具有識別和恢復每個標識組的未知特征。本文提出了一種基于需求值的聚類方法。它沒有考慮到配電網(wǎng)系統(tǒng)的地理局限性。因此，只考慮有功和無功功率。這種方法產(chǎn)生了一組完全代表系統(tǒng)所有需求的負載。應用聚類技術的一個結(jié)果確定輸入層神經(jīng)元，從而提高了神經(jīng)網(wǎng)絡的性能。

聚類技術考慮了兩個基本標準［18］：鄰近度量和分組標準。鄰近度量表示兩個點之間的相似程度，并考慮到系統(tǒng)的特性，以避免某一特性在其他方面占優(yōu)勢。分組標準可以由算法的代價函數(shù)或通過使用鄰近度量允許聚類的另一標準來表示。

模糊C均值（FCM）算法相當于硬C均值（HCM）算 法［19］。 即 對 于 一 組 數(shù) 據(jù) xi∈Rn，i=1，...，n，算法將n個元素分組。算法將元素分組成一個元素屬于不同級別的不同組的集群。該算法的基本目標是找出組c中最有代表性的元素pj，它們將代表每個組或分區(qū)的中心。這些元素被迭代的最小化函數(shù)為式（11），考慮到μj(xj)的值表示分組的元素xi屬于 j組和簇 pj。FCM算法的目標函數(shù)如下所示：

其中，c為簇的數(shù)目，n為可用數(shù)據(jù)的數(shù)量，m為模糊化因子確定模糊集的重疊度，dr是確定xi和 pj之間的距離度量。在本文中，使用歐幾里德距離［20］作為鄰近度量。需要注意的是系統(tǒng)中不同節(jié)點的有功或無功需求。

FCM算法執(zhí)行以下算法來確定最小化的中心值和隸屬度值Jm：

步驟1：計算滿足以下關系的隸屬度值μj(xi)：

步驟2：計算聚類中心簇：

步驟3：更新每一個聚類中心簇的隸屬度值：

步驟4：循環(huán)步驟2和步驟3直至式（11）中的函數(shù)Jm滿足最小收斂迭代。

FCM算法的一個難點是確定簇c的個數(shù)，一個不適當?shù)倪x擇可能產(chǎn)生不利用的 pj，j=1，...，c。解決這個問題的一種方法是使用驗證索引，以允許其對由算法確定的分區(qū)或集群進行比較。

一個分區(qū)的質(zhì)量或組的數(shù)量根據(jù)兩個標準來評估［21］：壓縮和分離。壓縮確定每個組的成員應該盡可能接近彼此，可以通過最小化組的方差來實現(xiàn)。另一方面，分離確立了群體應該被充分分離在他們中間。

由一個驗證函數(shù)組成，決定了一個分區(qū)的分離和壓縮。提出的策略函數(shù)IS如下：

上面的函數(shù)與用于建立分區(qū)的算法無關。然而，如果FCM算法被應用于歐幾里得距離，則可以給出以下關系：

其中，drmin為元素xi和簇 pj之間的最小距離。最好的分區(qū)是通過最小化來找到的，它提供了滿足壓縮和分離標準的分區(qū)。

運用FCM算法解決了不同簇c對元素xi的分區(qū)（即中心和隸屬函數(shù)）；如果每個值的值被評估，那么最好的分組應該滿足Xie-Beni指數(shù)［22］最小值的標準，即 m in2≤c≤n-1Ωc。具體的算法如下所示：

步驟1：初始值 c=2，IS*=∞，c*=1；

步驟2：初始隸屬度值 μj(xi)滿足式（12）；

步驟3：執(zhí)行FCM算法；

步驟4：計算Xie-Beni指數(shù) IS；

步驟5：如果 IS＜IS*，c=c*，即沒有找到最優(yōu)解，則返回步驟2；

步驟6：如果簇c達到極限值，則停止迭代，否則進行步驟7；

步驟7：c=c+1返回步驟2，直至c=n/3。

3.3 配電網(wǎng)重構

利用神經(jīng)網(wǎng)絡方法的配電系統(tǒng)重構問題可以看作是一種模式識別問題，其中每種負荷模式都有一個最小損耗的拓撲結(jié)構。訓練集應提供足夠的信息，以便神經(jīng)網(wǎng)絡能夠提供足夠的問題映射，訓練集的構造也應該與系統(tǒng)大小無關，以使神經(jīng)網(wǎng)絡適用于實際分布系統(tǒng)。

系統(tǒng)的狀態(tài)是由每個系統(tǒng)總線上的有功和無功需求的向量來描述的。因此，對于每個系統(tǒng)狀態(tài)，可能存在一個或幾個徑向拓撲和最小化目標函數(shù)。訓練對由總線上的負載（輸入數(shù)據(jù)）和最小化損失（輸出數(shù)據(jù)）的拓撲構成。式（8）中的一對訓練集i給出了系統(tǒng)狀態(tài)的輸入Ii，以及所需輸出Di的最小化損失拓撲。

如果系統(tǒng)中的n個總線被分組到ms負載類中，則狀態(tài)總數(shù)為 pms，四個離散級別導致64個狀態(tài)。這些以二進制形式編碼的狀態(tài)將作為經(jīng)典訓練集參考的訓練集。負載組由總線上的負載表示，它們具有類似的行為，不依賴于它們連接到的饋線。屬于特定負荷級的組所有母線的負荷可以繪制如圖2所示。

圖2 負載組的有功功率和無功功率

這些負荷值表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量的子向量。圖2中可用的信息可以通過使用較小的有功和無功需求來壓縮。如果有功和無功功率的值是一個FCM聚類算法的輸入數(shù)據(jù)，輸出所減少的有功和無功值組由圖3中的星號代表。

圖3 FCM算法劃分五個聚類代表負荷

一般來說，如果一個分布系統(tǒng)提出了三負荷組n1、n2和n3表示，則狀態(tài)向量的大小為2(n1+n2+n3)，其中負載在第1，2，3組上的子矢量的大小分別為2n1，2n2，2n3。如果使用聚類技術，由此產(chǎn)生的子矢量較小，這是由于對于第i組，ncgi組群數(shù)量低于 ni（即 ncg1＜n1，ncg2＜n2，ncg3＜n3。向量如圖 4所示，其中 n1≠n2≠n3，同樣，ncg1≠ncg2≠ncg3）。

圖4 利用聚類技術減少系統(tǒng)狀態(tài)的大小

集群的數(shù)量由聚類技術應用于每個負載組策略所確定。對所有組重復該過程，以獲得系統(tǒng)狀態(tài)的最佳分區(qū)。這一過程概述如下。

1）建立經(jīng)典訓練集；

2）利用聚類技術定義每個加載組的分區(qū)數(shù)；

3）計算出有功和無功負荷組與FCM算法的功率值。

上面的策略減少了訓練集輸入向量的大小。因此，在輸入層中神經(jīng)元數(shù)目減少的情況下，用神經(jīng)網(wǎng)絡表示總線分布系統(tǒng)。如果不采用聚類技術，輸入層會出現(xiàn)神經(jīng)元，導致大系統(tǒng)分辨率的復雜化。因此，通過使用聚類技術，所需的輸入神經(jīng)元數(shù)量是集群數(shù)量的兩倍。每個分析操作狀態(tài)的神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出代表徑向拓撲，最大限度地減少損失。為了建立具有徑向拓撲的訓練集，采用有兩種方法可以確定輸出中神經(jīng)元的個數(shù)：1）輸出神經(jīng)元的數(shù)目與系統(tǒng)中分支的數(shù)目相同；2）輸出神經(jīng)元的數(shù)目與徑向拓撲數(shù)相同。第一個方案可增強算法的泛化，因為它為系統(tǒng)提供任何徑向拓撲。即所使用的神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構如圖5所示。

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構

4 實驗分析

運用兩個系統(tǒng)來測試本研究所提出的方法：14節(jié)點配電網(wǎng)系統(tǒng)和136節(jié)點配電網(wǎng)系統(tǒng)。

4.1 14節(jié)點系統(tǒng)

系統(tǒng)數(shù)據(jù)采用文獻［23］中實驗數(shù)據(jù)，并將負載分為三組（住宅、商業(yè)、工業(yè)）。載荷進一步離散成四個級別（100%、85%、70%和50%），導致64個狀態(tài)。對于統(tǒng)一地區(qū)采用相同的徑向拓撲結(jié)構，利用重組器最大限度地減少系統(tǒng)的損失。

通過搜索c=2到c=n/3加載組來找到集群的數(shù)量。由于很少有加載總線，所以選擇了c=3作為的最大值。該指標是利用本研究結(jié)合的聚類技術Xie-Beni算法與模糊參數(shù)m=2計算得出。結(jié)果如表1所示。

表1 14節(jié)點系統(tǒng)的驗證指數(shù)

在表1中，通過式（16）計算出最好的聚類數(shù)目為c=3。同時，c=2也表現(xiàn)出較好的聚類結(jié)果。出于這個原因，這個參數(shù)也是用于實驗的仿真過程。輸入向量的大小減少了46.5%，因為26個元素（代表每個總線的兩個數(shù)據(jù)的13個總線）減少到12個元素，代表了兩個負載中心的三個集群中的每一個，有兩個元素（有功和無功需求）。下一步是找到64個狀態(tài)的聚類中心，并確定訓練集。

神經(jīng)網(wǎng)絡提出了12個輸入神經(jīng)元對應的訓練向量的尺寸，20個神經(jīng)元的隱藏層和七個神經(jīng)元的輸出的結(jié)構，這代表了不同的拓撲結(jié)構發(fā)現(xiàn)的數(shù)量。隱藏層的傳遞函數(shù)為輸出函數(shù)的線性函數(shù)。算法在訓練階段完成四個方面：1）自適應速率反向傳播（bp-ra）；2）傳統(tǒng)的 Polak-Ribiere共軛梯度（cg-pr）指數(shù)；3）彈性反向傳播（RBP）；4）共軛梯度（CG）。對64個狀態(tài)中的54個狀態(tài)進行訓練。神經(jīng)網(wǎng)絡泛化能力通過30個狀態(tài)驗證，其中10個來自訓練集，10個為已知情況，但不屬于訓練集，再隨機生成10個狀態(tài)。神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練結(jié)果如表2所示。

由表2可見，給出了達到公差tol=0.0001的迭代總數(shù)，效率列顯示了NN訓練案例的百分比。其余的列顯示了用于驗證泛化能力的30種情況下的神經(jīng)網(wǎng)絡的性能。

表2 12-20-7型神經(jīng)網(wǎng)絡訓練結(jié)果

神經(jīng)網(wǎng)絡與RBP算法在30種狀態(tài)下的29種狀態(tài)相同，可用于驗證重構算法。因此，表2所示的結(jié)果表明，用于訓練階段的所有算法的效率為100%。在泛化階段，其他三種算法的效率為96.67%。需要注意的是神經(jīng)網(wǎng)絡算法提供了次優(yōu)的拓撲結(jié)構，也降低功耗。

對于12-20-16型神經(jīng)網(wǎng)絡拓撲結(jié)構，與以前NN算法的唯一區(qū)別在于輸出層中有16個神經(jīng)元（系統(tǒng)中分支的數(shù)目）。這個系統(tǒng)的結(jié)果在表3兩列進行了補充：循環(huán)和孤島，這是不可行的拓撲結(jié)構和總線拓撲環(huán)孤島的數(shù)量。在訓練階段和推廣階段有100%的效率。與此算法相比具有較低的處理時間，這使得該方法可用于現(xiàn)實環(huán)境中。

表3 12-20-16型神經(jīng)網(wǎng)絡訓練結(jié)果

4.2 136節(jié)點系統(tǒng)

136節(jié)點系統(tǒng)采用文獻［24］中實驗數(shù)據(jù)，負載與前面14節(jié)點系統(tǒng)的分類和離散相類似，用于創(chuàng)建訓練集的64種狀態(tài)。為了減小輸入向量的大小，找到三組（住宅、商業(yè)、工業(yè)）中負載組的最佳簇數(shù)。結(jié)果如圖6～圖8所示。在這個圖中，計算的是不同的負荷中心。

圖6 住宅區(qū)域的聚類數(shù)目

圖7 商業(yè)區(qū)域的聚類數(shù)目

圖8 工業(yè)區(qū)域的聚類數(shù)據(jù)

最好的簇數(shù)是由IS的最小值決定。對于這個系統(tǒng)，它是一個包含28個元素的向量。在這種情況下，根據(jù)集群技術，住宅和商業(yè)的四種負荷和工業(yè)的六種負荷是最有代表性的負荷（圖6和圖7）產(chǎn)生28個元素的向量。集群技術提供的輸入向量的大小從272到28個元素有了顯著地下降，對于136節(jié)點系統(tǒng)，有2×136個有功和無功功率數(shù)據(jù)，從而減少了89%輸入向量的大小。

28-150-156型神經(jīng)網(wǎng)絡采用隱藏層的傳遞函數(shù)和輸出層的線性傳遞函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練與BP-RA算法和RBP算法相比，兩者都表現(xiàn)出更快的收斂性，并采用了提前停止準則來提高泛化。本組實驗中的64個狀態(tài)作為訓練集，隨機生成40個狀態(tài)，以分析泛化能力為目標。結(jié)果見表4和表5。

表4 28-150-156型神經(jīng)網(wǎng)絡訓練階段的結(jié)果

表5 28-150-156型神經(jīng)網(wǎng)絡訓練泛化的結(jié)果

由表4和表5可見，BP-RA算法生成拓撲的訓練階段和兩在泛化階段。因此，該算法提供了最好的性能。生成的所有拓撲都是徑向的。此外，神經(jīng)網(wǎng)絡提供了19個徑向拓撲結(jié)構，其質(zhì)量比標準重構算法在泛化階段發(fā)現(xiàn)的要好。

5 結(jié)語

本文驗證了神經(jīng)網(wǎng)絡求解實際系統(tǒng)的配電網(wǎng)系統(tǒng)重構問題的可行性。結(jié)合聚類技術減少了訓練集的構建，但保留了足夠的數(shù)據(jù)信息以提供給神經(jīng)網(wǎng)絡的進行計算。同時，使用了不同的算法與本文的神經(jīng)網(wǎng)絡算法相比較，對于處理相同的問題，所提出的結(jié)合聚類技術的神經(jīng)網(wǎng)絡算法比傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡算法具有更好的性能。最后，神經(jīng)網(wǎng)絡的處理時間非常低，使得這種方法適用于配電網(wǎng)系統(tǒng)的在線應用，如配電系統(tǒng)恢復問題。