彭連貴 閻瑞霞 陳昭君

（上海工程技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院 上海 201620）

1 引言

Pawlak粗糙集理論［1］作為一種處理不精確、不確定與不完全數(shù)據(jù)的理論，在人工智能、模式識(shí)別以及決策分析等方面得到了廣泛的應(yīng)用和研究。

經(jīng)典粗糙集理論的核心在于利用等價(jià)關(guān)系從近似空間中導(dǎo)出一對(duì)下、上近似算子。因此，粗糙集理論的研究主要集中在三個(gè)方面：等價(jià)關(guān)系、近似空間和論域。針對(duì)很多問(wèn)題中論域上的二元關(guān)系不是等價(jià)的，學(xué)者們研究了基于相似關(guān)系、一般關(guān)系和優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙集［2］；針對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的模糊性和不確定性，學(xué)者們研究了模糊近似空間［3］、變精度［4］和灰色空間下的粗糙集［5］；粗糙集論域擴(kuò)展的研究是從Yao［6］研究粗糙集代數(shù)的信任函數(shù)開(kāi)始的，之后，學(xué)者們對(duì)論域擴(kuò)展的粗糙集模型進(jìn)行了研究。孫文鑫［7］將單論域擴(kuò)展到了雙論域，擴(kuò)展了其應(yīng)用性；閻瑞霞等［8］考察了雙論域粗糙集的不確定性度量；張超等［9］將模糊語(yǔ)言與粗糙集融合，定義了一種新的粗糙集模型。

Zadeh L.A［10］在1996年提出并討論的模糊信息?；瘑?wèn)題之后，信息?；碚摚?1］在集合理論和區(qū)間分析、模糊集、粗糙集、概率論、熵空間理論等架構(gòu)內(nèi)不斷的發(fā)展。Qian 等［12～15］通過(guò)分析粒計(jì)算與粗糙集理論之間的關(guān)聯(lián)，將粒計(jì)算和粗糙集結(jié)合起來(lái)并提出動(dòng)態(tài)粒度理念，之后將單粒度粗糙集擴(kuò)展到多粒度粗糙集。多粒度粗糙集模型作為一種新的多視角數(shù)據(jù)分析方法，克服了經(jīng)典粗糙集理論的缺陷，在目標(biāo)識(shí)別［16］、Web挖掘［17］、輿情預(yù)警決策［18］等眾多方面廣泛應(yīng)用。

在多粒度粗糙集研究中，論域與粒度的權(quán)重問(wèn)題一直是學(xué)者研究的熱點(diǎn)。孫文鑫將單論域擴(kuò)展到雙論域上，卻忽略了在實(shí)際應(yīng)用中不是每個(gè)粒度都是平等的，有的粒度比較重要，需要賦予更大的權(quán)重，而有的粒度作用小，可賦予較小的權(quán)重。張明［19］提出了基于加權(quán)粒度的多粒度粗糙集，差異地考慮了不同粒度在實(shí)際情況下具有不同重要度，卻沒(méi)有放到雙論域上進(jìn)行研究。針對(duì)雙論域粗糙集在粒度重要程度上考慮的不足和加權(quán)多粒度粗糙集在論域擴(kuò)展上的不足，分析并建立雙論域上基于加權(quán)的多粒度粗糙集模型，考慮雙論域內(nèi)不同粒度重要程度的差異性，定義粗糙集模型的上下近似并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。

2 雙論域粗糙集

定義1［20］設(shè)U和V為兩個(gè)非空有限論域，設(shè)R是U和V上的任意二元關(guān)系集，且假設(shè)，為R的m個(gè)屬性子集族，′是V和U上R的逆關(guān)系。，R和R′的特征函數(shù)定義如下：

設(shè)論域U中有m個(gè)元素，論域V中有n個(gè)元素，利用特征函數(shù)定義R的關(guān)系矩陣記為

顯然R′的關(guān)系矩陣為矩陣A的轉(zhuǎn)置A'。如果關(guān)系矩陣A中不存在一行或一列元素全為零，則稱(chēng)關(guān)系矩陣A為信息矩陣。

為了簡(jiǎn)單描述，將論域U，V和關(guān)系R，R′構(gòu)成的系統(tǒng)記為信息系統(tǒng)（U，V，R），其中U和V為兩個(gè)非空的有限論域，和互為逆關(guān)系。

定義2［20］在信息系統(tǒng)（U，V，R）中，，論域V到論域U的粗糙集近似算子P（U）為

3 雙論域上基于加權(quán)粒度的多粒度粗糙集

針對(duì)多粒度粗糙集論域擴(kuò)展與屬性子集權(quán)重研究中的不足，分析并建立雙論域上基于加權(quán)的多粒度粗糙集模型，在將論域進(jìn)行擴(kuò)展的同時(shí)，考慮不同粒度所具有的權(quán)重的不同。下面給出雙論域上的基于加權(quán)的多粒度粗糙集模型的定義及其相關(guān)性質(zhì)。

定義3設(shè)U，V是兩個(gè)不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個(gè)屬性，且假設(shè)為R的m個(gè)屬性子集劃分，（U，V，R）為雙論域上的一般近似空間，，由R導(dǎo)出的粒度空間對(duì)應(yīng)的粒度權(quán)重為，則對(duì)于?，X關(guān)于R的加權(quán)多粒度粗糙集的上下近似定義為

定理1設(shè)U，V是兩個(gè)不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個(gè)屬性，且假設(shè)為 R 的 m個(gè)屬性子集劃分，（U，V，R）為雙論域上的一般近似空間，，由R導(dǎo)出的粒度空間對(duì)應(yīng)的粒度權(quán)重為，則有

定理2設(shè)U，V是兩個(gè)不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個(gè)屬性，且假設(shè)RT=｛R1，R2，…，Rm｝為 R 的 m 個(gè)屬性子集劃分，（U，V，R）為雙論域上的一般近似空間，0＜β≤1，由R 導(dǎo)出的粒度空間 U R1，U R2，…，U Rm對(duì)應(yīng)的粒度 權(quán) 重 為，對(duì) 于，則有

定理3設(shè)U，V是兩個(gè)不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個(gè)屬性，且假設(shè)為R的m個(gè)屬性子集劃分，（U，V，R）為雙論域上的一般近似空間，0＜β≤1，由R導(dǎo)出的粒度空間 U R1，U R2，…，U Rm對(duì)應(yīng)的粒度權(quán)重為，有

3）證明過(guò)程類(lèi)似于2）。

定理4設(shè)U，V是兩個(gè)不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個(gè)屬性，且假設(shè)RT=｛R1，R2，…，Rm｝為 R 的 m個(gè)屬性子集劃分，（U，V，R）為雙論域上的一般近似空間，0＜β≤1，由R導(dǎo)出的粒度空間 U R1，U R2，…，U Rm對(duì)應(yīng)的粒度 權(quán) 重 為，則 對(duì)如果，則有

2）證明過(guò)程類(lèi)似于性質(zhì)（1）。

定義3設(shè)U，V是兩個(gè)不同的非空有限論域，設(shè)R是U和V上的二元關(guān)系集，包含n個(gè)屬性，且假設(shè)為的m個(gè)屬性子集劃分，為雙論域上的一般近似空間，0＜β≤1，由導(dǎo)出的粒度空間對(duì)應(yīng)的粒度權(quán)重為，則對(duì)?Y∈U，X關(guān)于R′的加權(quán)多粒度粗糙集的上下近似定義為其中，稱(chēng)為Y關(guān)于屬性子集族R′的雙論域上的基于加權(quán)粒度的多粒度粗糙集。

4 算例應(yīng)用

雙論域上基于加權(quán)粒度的多粒度粗糙集在將論域擴(kuò)展的同時(shí)考慮粒度的不同重要性的現(xiàn)實(shí)情況，在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)聘案例中有很好的應(yīng)用性。表1～3描述的是外貿(mào)公司選聘人才的情況，其中是由該外貿(mào)公司五位應(yīng)聘者組成的一個(gè)論域，是由公司要求應(yīng)聘者要具備的技能構(gòu)成的一個(gè)論域。其中y1表示的是口才表達(dá)，y2表示的是專(zhuān)業(yè)技能，y3表示的是英語(yǔ)技能，y4表示的是工作態(tài)度。應(yīng)聘者分別由一位主面試官，兩位副面試官為其打分，其中數(shù)字1表示該應(yīng)聘者具備此項(xiàng)能力，0表示該應(yīng)聘者不具備此項(xiàng)能力。

表1 專(zhuān)家1打分情況表

表2 專(zhuān)家2打分情況表

表3 專(zhuān)家3打分情況表

根據(jù)AHP方法，確定專(zhuān)家1、專(zhuān)家2、專(zhuān)家3對(duì)應(yīng)的權(quán)重分配為。通過(guò)專(zhuān)家對(duì)應(yīng)聘者的評(píng)估，我們知道這五位應(yīng)聘者成功應(yīng)聘的為。試問(wèn)在滿(mǎn)足題設(shè)條件的情況下，這五位應(yīng)聘者要想都應(yīng)聘成功，必須具備哪幾項(xiàng)能力，應(yīng)該具備哪些能力。根據(jù)定義3計(jì)算得

比較文獻(xiàn)［7］中粗糙集模型的運(yùn)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：閾值β=2/3的題設(shè)情況下，雙論域粗糙集在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)遍歷；而文中提出的粗糙集模型可以有選擇的訪(fǎng)問(wèn)或來(lái)進(jìn)行運(yùn)算。且在計(jì)算機(jī)中設(shè)計(jì)運(yùn)算時(shí)，首先選擇或，而不會(huì)選擇訪(fǎng)問(wèn)，時(shí)間效率提高了33%；當(dāng)在情況下，遍歷所有的屬性子集，必然造成冗余運(yùn)算和時(shí)間的浪費(fèi)；而雙論域上基于加權(quán)的多粒度粗糙集卻很好地克服了這一點(diǎn)，從可以知道，該模型在滿(mǎn)足一定權(quán)值積累的要求時(shí)即可；關(guān)注那些對(duì)事件發(fā)展具有顯著影響的因子，可以大大提高事件處理的效率。將該模型運(yùn)算的結(jié)果。與文獻(xiàn)［19］模型的運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，該模型具有更高的精確度。

5 結(jié)語(yǔ)

粗糙集處理模糊信息的優(yōu)越性，使其廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域。為了克服雙論域上基于一般關(guān)系的多粒度粗糙集在屬性子集權(quán)重上考慮的不足與加權(quán)多粒度粗糙集在論域擴(kuò)展問(wèn)題上討論的不足，分析并建立雙論域上的基于加權(quán)的多粒度粗糙集模型。通過(guò)實(shí)例的分析驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)：該模型不僅在處理簡(jiǎn)單問(wèn)題具有很好的效果，而且在處理復(fù)雜事件時(shí)，也能夠很好地解決問(wèn)題，同時(shí)在保證運(yùn)算精度的情況下，節(jié)約運(yùn)算的時(shí)間，提高效率。

文章提出一種新的粗糙集模型仍需要繼續(xù)深入研究該模型的不確定性度量和穩(wěn)定性，以及在實(shí)際生活中的應(yīng)用等問(wèn)題，不斷將其優(yōu)化，使其發(fā)揮更大的作用。