吳晨

【摘 要】本文通過具體實例抽象出數(shù)學(xué)問題，結(jié)合已有知識，探究并證明正弦定理，通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程，以及例題講解細(xì)化正弦定理的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】三角形;邊角關(guān)系;正弦定理

一、教學(xué)內(nèi)容分析

1.教材內(nèi)容及地位

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是一種重要的數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和生產(chǎn)生活中具有重要作用，解三角形則是三角函數(shù)知識的延伸。通過對任意三角形的探索，能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到并掌握正弦定理、余弦定理，從而應(yīng)用其解決一些簡單的與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。

2.教學(xué)重點

通過對三角形邊角關(guān)系的研究，證明正弦定理，并用它們解決有關(guān)問題。

3.教學(xué)難點

將銳角三角形、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，證明猜想。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

1.通過對具體實例的思考，直觀感受測量問題中需要進(jìn)一步研究任意三角形邊與角的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生分析問題與解決問題的積極性。

2.通過對三角形邊角關(guān)系的探究、小組討論，知道正弦定理的證明過程，體會由特殊到一般及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。

3.會敘述正弦定理，能總結(jié)出應(yīng)用正弦定理可以解決的解三角形問題，體驗方程思想在解三角形問題時的重要作用。

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生通過初中的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了相關(guān)邊角關(guān)系的定性結(jié)果，在高中必修四中又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定困難。教師在教學(xué)中要恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生，并通過小組合作的方式，自主探究正弦定理的證明過程，從而提高學(xué)習(xí)主動性，并品嘗勞動成果的喜悅。

四、教學(xué)策略分析

1.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)

以三張圖片展現(xiàn)具體測量實例，引出解決問題的具體辦法——深化三角形的邊角關(guān)系，實現(xiàn)目標(biāo)1。

2.探索證明

以直角三角形為例，推導(dǎo)出■=■=■，并大膽猜想其在一般三角形中也成立，學(xué)生分組探究，加以證明，并總結(jié)定理，實現(xiàn)目標(biāo)2。

3.應(yīng)用舉例

通過例題，總結(jié)出正弦定理的兩個主要應(yīng)用，體會正弦定理解決實際問題的過程，從而實現(xiàn)目標(biāo)3。

五、教學(xué)過程分析

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題1：（1）我國古代就有嫦娥奔月的神話故事，那月亮離我們到底有多遠(yuǎn)呢？（2）湖南衛(wèi)視的一檔節(jié)目《奇妙的朋友》中有一個任務(wù)是測量長頸鹿的身高，怎樣測量更方便呢？（3）在無法到達(dá)河對岸的情況下，如何測得河的寬度呢？

【設(shè)計意圖】以身邊的實例激發(fā)學(xué)生研究問題的興趣，經(jīng)過引導(dǎo)，將問題歸結(jié)為三角形的邊角關(guān)系。

問題2：在初中我們學(xué)習(xí)過哪些與三角形邊角有關(guān)的結(jié)論呢？

【設(shè)計意圖】初中已學(xué)習(xí)過“大邊對大角，小邊對小角”這一定性結(jié)論，而具體的距離、高度等是數(shù)量，教師需引導(dǎo)學(xué)生探究任意三角形中角A、B、C與邊a、b、c之間的定量關(guān)系。

2.小組合作探究，探索定理

問題3：哪種三角形特殊？在初中我們學(xué)過哪些與直角三角形有關(guān)的結(jié)論呢？

【設(shè)計意圖】從直角三角形出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并證明■=■=■成立。大膽猜想這一結(jié)論對斜三角形也成立。

活動1：分組討論，證明上式在銳角三角形中成立。

活動2：類比銳角三角形中證明上式成立的方法，證明其在鈍角三角形中也成立。

【設(shè)計意圖】轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，這里通過將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，應(yīng)用三角函數(shù)定義表示出高線，進(jìn)而證明該結(jié)論也對銳角三角形成立;學(xué)生通過分組討論，應(yīng)用類比思想加以證明，體驗從大膽猜想到小心求證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，進(jìn)而得到正弦定理。

問題4：誰能給大家總結(jié)一下正弦定理的內(nèi)容？

【設(shè)計意圖】檢測目標(biāo)3。

3.典例精講

問題5：已知邊長a、角A、角B，能求邊長b、c及角C嗎？已知邊長b、角A、角C，能求邊長a、c及角B嗎？以上的解唯一嗎？

【設(shè)計意圖】引出解三角形的定義，并總結(jié)出應(yīng)用正弦定理可以解決的一類問題，即已知角角邊、角邊角解三角形，發(fā)現(xiàn)其恰好為初中學(xué)習(xí)過的三角形全等的判定定理之中的兩條，使得學(xué)生的知識框架更為完整。

例1：在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

例2：在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形。

變式：在△ABC中，已知b=10，c=5■，C=60°，解三角形。

【設(shè)計意圖】檢測學(xué)生對正弦定理的理解程度，并考查能否運(yùn)用方程思想完成解答。由此總結(jié)出正弦定理的兩個應(yīng)用：（1）已知兩角及任意一邊，可以求出其他兩邊和另一角;（2）已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角。又通過變式講解，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確什么情況下三角形的解是唯一的，什么情況下三角形的解不確定，為下節(jié)課做鋪墊。

4.總結(jié)知識，優(yōu)化結(jié)構(gòu)

課堂小結(jié)：由學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課學(xué)到的正弦定理的內(nèi)容及主要應(yīng)用。

【設(shè)計意圖】理清本節(jié)課的教學(xué)重點，使學(xué)生明確知道本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么以及該如何應(yīng)用。

5.作業(yè)設(shè)計

課后探究：

（1）正弦定理的其它證明方法。

（2）已知三角形兩邊及其中一邊的對角，三角形解的情況。

（3）■=■=■的比值等于什么？

作業(yè)：

教科書第4頁練習(xí)1、2。

六、教學(xué)評價與反思

需要教師的精心設(shè)計，平衡高中課堂學(xué)習(xí)時間的有限性與對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，。在本節(jié)教學(xué)設(shè)計中，運(yùn)用問題解決教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生思考，能夠充分還給學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動探究的時間，使其以小組討論的形式，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想證明出正弦定理。學(xué)生積極性很高，能通過親身體驗透徹理解正弦定理并清除分析相關(guān)問題，在后續(xù)的例題講解中學(xué)生作答流暢，基本完成了預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修5[M].北京：人民教育出版社，2007

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003