王夢陽， 王華慶， 董 方， 任幫月， 宋瀏陽

(北京化工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100029)

在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，由于零部件產(chǎn)生故障的位置與程度各有不同，經(jīng)常導(dǎo)致多種故障特征相互耦合在一起，相比單一故障形式，復(fù)合故障發(fā)生時給機(jī)械設(shè)備帶來的危害更嚴(yán)重，診斷難度也更大，所以，對復(fù)合故障進(jìn)行診斷具有重大意義。

盲源分離方法能夠在缺少一定的先驗(yàn)條件下，僅通過傳感器獲取到的觀測信號，便可以分離出未知源信號，是解決復(fù)合故障信號分離的有效方法之一[1]。其中，獨(dú)立分量分析(Independent Component Analysis, ICA)，稀疏分量分析(Sparse Component Analysis, SCA)，非負(fù)矩陣分解(Non-negative Matrix Factorization, NMF)由于具有強(qiáng)大的理論優(yōu)勢和廣泛的應(yīng)用前景，已成為盲源分離的主流方法。然而，各種方法也都存在自身的不足，如當(dāng)傳感器采集到的觀測源信號數(shù)目小于故障源數(shù)目時，即欠定盲分離問題，ICA和NMF算法無法直接應(yīng)用；SCA算法雖然可以解決欠定盲分離問題，但要求源信號必須充分稀疏，對于實(shí)際信號很難有效提取稀疏源[2]。為了解決欠定盲分離問題，傳統(tǒng)的方法采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解 (Empirical Mode Decomposition,EMD)，集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD)，變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition, VMD)等算法將源信號擴(kuò)充為多個虛擬的通道，再根據(jù)相關(guān)信息選取合適的分量進(jìn)行盲源分離。如陳曉朦[3]將EMD與NMF算法結(jié)合實(shí)現(xiàn)了語音信號的盲分離；Wang等[4]運(yùn)用EEMD以及ICA算法成功分離了軸承與齒輪箱復(fù)合故障信號；Tang等[5]采用VMD并結(jié)合ICA算法實(shí)現(xiàn)了軸承復(fù)合信號的盲分離。同時，Mirzaei等[6]提出基于貝葉斯非負(fù)矩陣分解實(shí)現(xiàn)了混響音頻的盲分離；Abdali等[7]利用正則化非負(fù)矩陣分解實(shí)現(xiàn)聲音信號的分離；文獻(xiàn)[8]通過頻域聚類的非負(fù)矩陣分解算法實(shí)現(xiàn)了心肺信號的分離提取。但各種算法也存在一定的局限性，如EMD方法出現(xiàn)的模態(tài)混疊、邊界效應(yīng)[9]；EEMD方法復(fù)雜度較大，計(jì)算時間較長；VMD方法雖然能有效避免模態(tài)混疊問題，但對于實(shí)際信號，很難在缺少先驗(yàn)知識的情況下，自適應(yīng)地設(shè)定VMD中的模態(tài)個數(shù)，從而導(dǎo)致信號分解不徹底或出現(xiàn)過分解的現(xiàn)象。

針對VMD算法中模態(tài)分量個數(shù)選取方法存在的不足，且NMF算法由于缺少相關(guān)約束，對故障源相互耦合，特征信息較微弱分解效果并不理想，提出了基于能量收斂因子為判斷準(zhǔn)則的能量變分模態(tài)分解(Energy Variational Mode Decomposition, EVMD)與局部非負(fù)矩陣分解(Local Non-negative Matrix Factorization, LNMF)相結(jié)合的復(fù)合故障信號分離方法。EVMD算法能夠自適應(yīng)確定VMD算法中模態(tài)分量個數(shù)；LNMF算法可以有效地突出分解后的局部特征信息，將兩者結(jié)合并應(yīng)用在軸承復(fù)合故障診斷中，可以準(zhǔn)確表達(dá)源信號所包含的故障成分，增強(qiáng)耦合故障特征信息，分離提取出更為清晰的故障特征。

1 基本原理

1.1 變分模態(tài)分解原理

VMD的實(shí)質(zhì)是基于Wiener濾波、Hilbert變換和混頻的變分問題求解過程，通過搜尋約束變分模型最優(yōu)解來實(shí)現(xiàn)信號自適應(yīng)分解[10-11]。相應(yīng)的步驟可概括如下：

步驟1對于每一個模態(tài)分量um(t)，通過Hilbert變換，計(jì)算得到相關(guān)的解析信號

(1)

步驟2對每個解析信號，加入指數(shù)項(xiàng)調(diào)整各自預(yù)估的中心頻率ωm，把每個解析信號的頻譜調(diào)制到相應(yīng)的基帶上

(2)

步驟3中心頻率ωm的帶寬由以上解調(diào)信號的H1高斯平滑度來估算，這樣就可以得到一個受約束的變分問題

(3)

步驟4在此基礎(chǔ)上，引入二次懲罰因子和拉格朗日乘子，使其轉(zhuǎn)換成無約束變分問題。其表達(dá)式為

(4)

式中：α為懲罰因子；λ(t)為拉格朗日乘子。

這樣變分問題就可以利用交替方向乘子算法來求解，通過交替更新中心頻率和帶寬，求取式(4)的鞍點(diǎn)，即得到多個模態(tài)分量，實(shí)現(xiàn)信號的自適應(yīng)分解。

1.2 局部非負(fù)矩陣分解原理

NMF的基本思想可以簡單描述為：對任意給定的一個非負(fù)矩陣A，NMF算法能夠?qū)ふ业揭粋€非負(fù)矩陣W和一個非負(fù)矩陣H，使其滿足

An×m=Wn×rHr×m

(5)

從而將一個非負(fù)的矩陣分解為左右兩個非負(fù)矩陣的乘積[12]。 式中：n為矩陣的維數(shù)；m為樣本個數(shù)；r為矩陣的秩。一般要求：nm>r(n+m)，即實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的降維。LNMF方法是在傳統(tǒng)非NMF基礎(chǔ)上提出的，最初是應(yīng)用在圖像處理領(lǐng)域。LNMF算法是基于KL散度模型，對目標(biāo)函數(shù)施加基的正交性約束，從而減少基向量之間的冗余。

LNMF算法的目標(biāo)函數(shù)如式(6)所示

(6)

式中： [uij]=U=WTW； [aij]=A=HHT；α,β為正常數(shù)。

LNMF算法主要對目標(biāo)函數(shù)施加三個約束條件[13]：

(3) 計(jì)算maxaii，使基向量有最大的代表性。

Wij與Hji的迭代公式為

(7)

(8)

(9)

2 基于EVMD-LNMF的復(fù)合故障分離方法

2.1 基于能量收斂因子VMD算法(EVMD)

根據(jù)VMD算法原理可知，利用該方法進(jìn)行信號處理時，必須預(yù)先設(shè)定分解模態(tài)分量個數(shù)。然而，由于實(shí)際信號受現(xiàn)場復(fù)雜環(huán)境的影響，模態(tài)分量個數(shù)通常很難設(shè)定，這對算法的自適應(yīng)性產(chǎn)生嚴(yán)重影響?，F(xiàn)有大部分都采取觀察中心頻率的方法來確定模態(tài)分量個數(shù)，當(dāng)相鄰模態(tài)的中心頻率過于相近時，即出現(xiàn)了過分解。但這種過于相近的情況并沒有量化，均是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷。

針對模態(tài)分量個數(shù)選取方法存在的不足，提出了基于能量收斂因子為判據(jù)的EVMD，構(gòu)造了能量收斂因子，并以其為判斷準(zhǔn)則來確定算法中模態(tài)分量個數(shù)，即原始信號經(jīng)VMD算法分解后，計(jì)算分解之后模態(tài)的總能量，將所得能量的余量與原始信號的能量作比值，并定義相鄰比值的差值為能量收斂因子Δ，如式(10)

(10)

式中：S為原始信號。

當(dāng)Δ值小于一定閾值時，則認(rèn)為能量收斂，此時信號分解相對完全。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1初始化模態(tài)分量個數(shù)值M=2；

步驟2利用VMD算法對原始信號進(jìn)行分解，得到多個模態(tài)分量um；

步驟4由式(10)，得能量收斂因子Δ，并更新模態(tài)分量個數(shù)M=M+1；

步驟5重復(fù)步驟步驟2～步驟4，直至滿足迭代終止條件：能量收斂因子Δ<ε，結(jié)束循環(huán)，即可自適應(yīng)得到最佳模態(tài)分量個數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及多組實(shí)驗(yàn)信號驗(yàn)證，文中取ε=0.02。(參考劉尚坤等的研究)

2.2 LNMF最優(yōu)分解維數(shù)的獲取

對于LNMF來說，數(shù)據(jù)降維后的維數(shù)是算法中的重要參數(shù)，直接影響到特征提取的效果。如果維數(shù)值選擇過大，則會損失部分信息量，達(dá)不到準(zhǔn)確降維的效果；維數(shù)值選擇過小，則會降低分解精度，增大信息的冗余。本文采用鄰近特征值占優(yōu)法來確定維數(shù)值，即通過EVMD算法處理后，得到多個模態(tài)分量，加入原始信號組成多維信號模態(tài)矩陣Xm(t)，如式(11)

Xm(t)=[s,x1,x2,…,xm-1,xm]

(11)

然后，計(jì)算其協(xié)方差矩陣Rm(t)，并對協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解如式(12)

(12)

再對所有特征值采用降序排列，求取相鄰特征值的比值，如式(13)

Λi,j={λi/λj},i=1,2,…,n-1;
j=i+1

(13)

特征值占優(yōu)法根據(jù)相鄰特征值之間的最大下降比速，即找出式(13)中的最大值，通過確定最大值來獲取最優(yōu)分解維數(shù)。

2.3 基于EVMD-LNMF的復(fù)合故障分離方法

針對軸承的復(fù)合故障，本文提出了基于EVMD-LNMF的故障分離方法，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下，流程圖如圖1所示。

步驟1利用EVMD算法將信號自適應(yīng)地分解為多個模態(tài)分量；

步驟2對多個模態(tài)分量采用鄰近特征值占優(yōu)法確定最優(yōu)分解維數(shù)；

步驟3將分解后的多個模態(tài)分量重構(gòu)，使其滿足LNMF算法的輸入矩陣A；

步驟4利用LNMF算法對矩陣A進(jìn)行最優(yōu)維數(shù)分解，得到基矩陣W和系數(shù)矩陣H；

步驟5對每個基矩陣W進(jìn)行包絡(luò)頻譜分析，提取軸承的故障特征。

圖1 軸承復(fù)合故障分離流程圖Fig.1 Flow chart of bearing compound fault separation

3 仿真信號分析

為驗(yàn)證所提算法的有效性，使用兩個不同的源信號通過隨機(jī)矩陣混合為單通道的觀測信號，具體表達(dá)式如式(14)和式(15)所示

(14)

S(t)=A[s1(t),s2(t)]T

(15)

式中：a1=0.4；f1=200 Hz；a2=1；fn=3 000 Hz為固有頻率；g=0.1為阻尼系數(shù)；T=1/95 s為重復(fù)周期，即特征頻率為95 Hz，采樣頻率fs=25 600 Hz，并取0.4 s時間片段，A=[0.814 7，0.905 8]，為一個隨機(jī)產(chǎn)生的混合矩陣，通過式(15)混合得到復(fù)合信號S(t)， 混合信號歸一化后的時域波形圖和頻譜圖，如圖2所示。

根據(jù)所提出的方法，首先利用EVMD算法對原始信號進(jìn)行處理，即根據(jù)“2.1”節(jié)中的步驟計(jì)算出不同模態(tài)數(shù)下能量余量的比值Ei(i=2,3,…)，結(jié)果見表1。進(jìn)而得到能量收斂因子Δ12=0.928 1，Δ23=0.013 2。因?yàn)棣?3=0.013 2<ε，所以最佳分解模態(tài)個數(shù)為2。同時，因?yàn)槟B(tài)個數(shù)為2，也可直接確定最優(yōu)分解維數(shù)值為2。

表1 不同模態(tài)數(shù)下所得能量余量的比值

圖2 仿真信號時域圖及頻譜圖Fig.2 Waveform and spectrum of simulated signals

然后，對模態(tài)分量重構(gòu)并作其局部非負(fù)矩陣分解，得到分離結(jié)果的時域圖和頻譜圖，歸一化處理后如圖3和圖4所示。

圖3 分離信號時域圖Fig.3 Waveform of separated signals

圖4 分離信號頻譜圖Fig.4 Spectrum of separated signals

從圖4可以看出，經(jīng)EVMD-LNMF方法處理后可以分離得到兩種信號成分，分別為200 Hz信號和95 Hz信號，這與所假定源信號特征成分相同。因此從仿真信號的分析中可以得出結(jié)論，本文所提出的方法可以有效地從混合信號中分離得到源信號，在頻譜中也可以提取源信號特征頻率，驗(yàn)證了該方法在復(fù)合信號分離的有效性。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 信號采集

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性，采用實(shí)測的軸承信號為研究對象。采用NTN N204型號的圓柱滾子軸承，用線切割的方法分別在軸承的外圈和滾動體上加工寬度為0.5 mm、深度為0.15 mm的缺陷。將電機(jī)轉(zhuǎn)速設(shè)為1 300 r/min和900 r/min，采樣頻率為100 kHz，采樣時間為10 s。由式(16)和式(17)及軸承參數(shù)(見表2)可以計(jì)算得到滾動軸承各部件的理論特征頻率，如表3所示。

表2 軸承NTN N204參數(shù)

表3 各部件的理論特征頻率

外圈缺陷特征頻率(fo)

(16)

滾子缺陷特征頻率(fb)

(17)

式中：z為滾子數(shù)目；d為滾珠的直徑；D為外節(jié)圓直徑；α為滾子與保持架間的接觸角；fr為電機(jī)轉(zhuǎn)頻。

4.2 結(jié)果分析

通過實(shí)驗(yàn)臺采集得到1 300 r/min外圈與滾子復(fù)合故障信號，截取0.1 s數(shù)據(jù)片段歸一化后的時域波形如圖5所示。其歸一化后的包絡(luò)頻譜圖如圖6所示。

圖5 原始信號時域圖Fig.5 Waveform of signal

圖6 原始信號包絡(luò)頻譜圖Fig.6 Envelope spectrum of signal

由時域波形圖可以明顯地看出沖擊性，表明該軸承已發(fā)生故障。在包絡(luò)頻譜圖中，外圈缺陷特征可以明顯識別出來，但是滾子缺陷特征被噪聲成分淹沒，難以識別。在頻譜圖中18 Hz左右處出現(xiàn)的峰值，該頻率值與保持架的轉(zhuǎn)動頻率即軸承滾動體公轉(zhuǎn)頻率的二次諧波相近，因此該峰值可能是由滾動體運(yùn)動沖擊造成的。

根據(jù)論文提出的方法，首先利用EVMD算法對原始信號進(jìn)行處理，即根據(jù)“2.1”節(jié)中的步驟計(jì)算出不同模態(tài)數(shù)下所得能量余量的比值Ei(i=2,3,…)，結(jié)果見表4，進(jìn)而得到能量收斂因子Δij(i=1,2,…,M;j=i+1)，如表5所示。

表4 不同模態(tài)數(shù)下所得能量余量的比值

表5 能量收斂因子

從表5可知，Δ67=0.014 5<ε，即可以認(rèn)為信號分解完全，所以最佳分解模態(tài)數(shù)為6。

此時，將最佳的6個模態(tài)分量與原始信號組成模態(tài)矩陣，并對其進(jìn)行協(xié)方差計(jì)算及奇異值分解，得到相應(yīng)的特征值，如表6所示。

表6 模態(tài)矩陣特征值

根據(jù)表6，作相鄰特征值的比值可得知， maxΛi,j=λ1/λ2=6.61，即LNMF中最優(yōu)分解維數(shù)為2，也說明原始信號中存在兩種故障源成分，通過LNMF分離并作歸一化處理，得到的包絡(luò)頻譜圖，如圖7所示。

圖7 EVMD-LNMF信號分離頻譜圖Fig.7 Spectrum of separated signals

由圖7可知，經(jīng)EVMD-LNMF方法處理后可以分離得到兩種源信號成分，分別對應(yīng)外圈故障特征頻率和滾動體故障特征頻率，這與理論計(jì)算出的特征成分相吻合，并且各自的高次諧波也被明顯地提取出來。因此，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出結(jié)論，本文所提出的方法可以有效地從單通道混合信號中分離出故障源信號，在包絡(luò)頻譜中也可以提取出故障特征頻率，驗(yàn)證了該方法在軸承復(fù)合故障診斷中的有效性。

進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性，選用900 r/min外圈與滾子復(fù)合故障信號，截取0.1 s數(shù)據(jù)片段歸一化后的時域圖及包絡(luò)頻譜，如圖8和圖9所示。

圖8 原始信號時域圖Fig.8 Waveform of signal

圖9 原始信號包絡(luò)頻譜圖Fig.9 Envelope spectrum of signal

通過所提出方法進(jìn)行分離，并作分離后的包絡(luò)頻譜圖，歸一化后如圖10所示。

圖10 EVMD-LNMF信號分離頻譜圖Fig.10 Spectrum of separated signals

從圖10可知，經(jīng)EVMD-LNMF方法處理后得到與理論值相吻合的外圈故障和滾動體故障特征頻率，并且各自的高次諧波也被明顯地提取出來。驗(yàn)證了該方法在軸承復(fù)合故障診斷中的有效性。

4.3 與VMD-LNMF算法對比分析

為了驗(yàn)證本文所提出基于能量收斂因子確定VMD算法中模態(tài)分量個數(shù)方法的優(yōu)勢，與未改進(jìn)的VMD算法進(jìn)行對比。這里選用1 300 r/min的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將未改進(jìn)VMD算法中模態(tài)分量個數(shù)設(shè)為7，并對原始信號進(jìn)行分解，得到7個模態(tài)分量，將模態(tài)分量重構(gòu)使其滿足LNMF算法的輸入矩陣。然后對重構(gòu)的模態(tài)矩陣采用LNMF算法分離，得到兩個源信號，歸一化后作其包絡(luò)頻譜圖，如圖11所示。

圖11 VMD-LNMF信號分離頻譜圖Fig.11 Spectrum of separated signals

從圖11可知，存在于原始信號中的兩種故障源成分，經(jīng)過未改進(jìn)的VMD與LNMF算法處理后，并未得到有效分離，僅可以識別出外圈故障特征頻率成分，而滾動體故障成分被淹沒。說明當(dāng)VMD算法中模態(tài)分量個數(shù)未達(dá)到最優(yōu)值時，信號不能得到有效分離。

4.4 與EVMD-NMF算法對比分析

為了驗(yàn)證LNMF算法在軸承復(fù)合故障診斷的優(yōu)勢，分離階段采用傳統(tǒng)的NMF算法進(jìn)行對比。首先將VMD算法中模態(tài)分量個數(shù)設(shè)定為最優(yōu)值6，并對原始信號進(jìn)行分解，得到6個模態(tài)分量，將其重構(gòu)滿足其作為NMF算法的輸入矩陣，然后采用傳統(tǒng)的NMF算法對重構(gòu)的模態(tài)矩陣分離，得到兩個源信號，歸一化后作其包絡(luò)頻譜圖如圖12所示。

圖12 EVMD-NMF信號分離頻譜圖Fig.12 Spectrum of separated signals

從圖12可知，經(jīng)過EVMD與傳統(tǒng)NMF算法處理后，并未對原始復(fù)合故障信號實(shí)現(xiàn)有效分離，僅外圈故障特征頻率成分比較明顯，滾動體故障成分被淹沒。而通過LNMF算法可以有效地分離出外圈和滾動體故障成分，對比圖12和圖7可知，由于LNMF增強(qiáng)了基向量之間的獨(dú)立性，因而可以分離出源信號。圖12中由于傳統(tǒng)NMF算法缺少相關(guān)約束，導(dǎo)致基向量之間存在冗余，無法準(zhǔn)確描述兩個故障源信號。從而驗(yàn)證了LNMF在軸承復(fù)合故障診斷中的獨(dú)特優(yōu)勢。

5 結(jié) 論

(1) 針對復(fù)合故障難以分離提取的問題，提出了基于EVMD-LNMF的復(fù)合故障信號分離方法。首先，構(gòu)造了能量收斂因子，并以其為判斷準(zhǔn)則，自適應(yīng)確定VMD算法中最佳模態(tài)分量個數(shù)，解決了實(shí)際信號由于背景噪聲干擾嚴(yán)重，模態(tài)分量個數(shù)難以確定的問題。

(2) 采用鄰近特征值占優(yōu)法獲取LNMF算法中的最優(yōu)分解維數(shù)，估計(jì)出耦合故障信號源數(shù)目，實(shí)現(xiàn)了矩陣的準(zhǔn)確降維。

(3) 結(jié)合LNMF算法，增強(qiáng)了信號分離后彼此之間的獨(dú)立性，減少相關(guān)信息的冗余，有效提取出耦合故障特征信息，實(shí)現(xiàn)了軸承的復(fù)合故障診斷，并且同未改進(jìn)的VMD-NMF方法相比，分離效果更佳，優(yōu)勢明顯。