重慶交通大學 段成均

由于積分上限函數(shù)是一個全新的概念，對它的學習，我們必須把握對數(shù)學概念理解的通用的步驟，那就是：概念的引入，概念的準確描述，概念所定義對象的性質，給定對象是否滿足概念的定義，與概念相關的技巧培養(yǎng)。

一、相關概念的回顧及積分上限函數(shù)的引入

x 1 2 3 4… x 2 8 …

二、積分上限函數(shù)的意義是給出f（x）的一個原函數(shù)

定理1： 設f（x）在區(qū)間[a，b]2上連續(xù)，則φ（x）可導并且φ'（x）=f（x）。

通過對定理的證明，加深學生對f（x）的連續(xù)性假設的理解。同時給出不定積分與積分上限函數(shù)的聯(lián)系，即f（x）的原函數(shù)與積分上限函數(shù)相差常數(shù)C：

三、關于積分上限函數(shù)的分析性質的討論

在介紹和證明積分上限函數(shù)的分析性質時，除了定理1 中的可微性，我們還可以補充一個關于它的連續(xù)性的命題。即：

定理2：設f（x）在區(qū)間[a，b]2上可積分，則φ（x）在[a，b]2上連續(xù)。

為了讓學生對φ（x）的連續(xù)性和可導性有更直觀的了解，介紹如下例題：

解：因為f（x）在[-1,2]有界且僅有一個間斷點，所以f（x）在[-1,2]可積分，從而φ（x）在[-1,2]連續(xù)。

四、與概念相關的技巧訓練

為了讓學生熟練掌握上面的求導公式，我們由淺入深地講解如下三個例題。例2 是常見積分上限函數(shù)求導，例3 是關于積分上限函數(shù)的極限訓練，例4 是常見兩類特殊函數(shù)求導。

例2 計算下列各題：

例4 （1）已知求F'（x）。

分析：被積函數(shù)里含有x，故F（x）不是積分上限函數(shù)，但我們可以通過將x提到積分號外或換元，把問題轉化為可以利用積分上限函數(shù)導數(shù)的問題來做。

（2）令μ=t-x，dt=du，

所以F'（x）=f'（-x）。

總的來說，在講解一個新概念時，我們要思考概念是怎樣引入的，和已經(jīng)學過的舊概念有什么內(nèi)在聯(lián)系，概念的實質是什么，利用概念及其相關結論可以解決哪些問題。同時，由于數(shù)學概念非常抽象，所以我們要想辦法降低其抽象度，以具體數(shù)字代替公式中的字母，用具體表達式代替抽象表達式，多從學生角度思考問題，教學效果會一步一步得到提高。