邰寒松 張大有

(北京航天計量測試技術研究所，北京100076)

1 引言

正弦壓力信號廣泛應用于計量測試中[1]，北京航天計量測試技術研究所研制了正弦壓力源[2]，以該源為基礎，通過合理的設計，使標準壓力傳感器和被校壓力傳感器同時測量該壓力源的壓力，比較二者的幅值，可實現(xiàn)被校壓力傳感器幅值的校準。為了提高幅值測量準確性，本文提出了一種控制采樣頻率為標準激勵信號頻率整數(shù)倍的算法，可實現(xiàn)幅值的無差運算。

正弦壓力校準時，激勵信號和響應信號都是正弦信號，任意正弦信號都可以表示為公式(1)

式中：A——幅值；ω——角頻率；t——時間；φ——相位。

本文提出的算法，針對式(1)中的幅值處理。

2 常見正弦壓力信號處理方法

目前關于正弦信號采樣復現(xiàn)的算法已經(jīng)有一些研究，比如三點法建立在三角函數(shù)變換基礎上時域中的數(shù)據(jù)擬合方法，頻域方法也稱能量矩平衡法通過FFT來實現(xiàn)，布涅曼(Buneman)方法則通過對離散信號進行傅里葉變化然后插值擬合[3]來得出。

工程實踐中，數(shù)據(jù)處理軟件上最常用的是通用波形復現(xiàn)法，這是目前正弦壓力信號數(shù)據(jù)處理最常用的方法。該方法的處理步驟如下：

a)在示波坐標系中將每一個采樣點表示然后依次連接，以復現(xiàn)波形；

b)取出其中的最大采樣值與最小采樣值，其差值的一半就作為幅值A；

c)相鄰的兩個極大采樣值之間的時間間隔就作為一個周期T；

d)確定周期以后再利用第一個極大采樣值就可以確定相位φ。

以上算法的結(jié)果如圖1所示，隨著采樣頻率的提高，由信號獲得的幅值、相位和周期的準確度都能得到提高，但理論上，誤差始終存在。

圖1 通用波形復現(xiàn)法示意圖Fig.1 General method of reproducing waveform

3 正弦壓力信號幅值測量無差算法

校準裝置產(chǎn)生的正弦壓力源可由公式(2)表征

式中：A0——標準信號源產(chǎn)生的正弦壓力的幅值；φ0——標準信號源產(chǎn)生的正弦壓力的相位。

傳感器的響應信號由公式(3)表征

公式(2)、公式(3)的兩個正弦信號中，正弦壓力源的幅值A0、相位φ0為已知；傳感器響應信號的幅值A、相位φ為未知，兩個信號的頻率一致，共用ω表示。

在測量傳感器響應信號時，按公式(4)控制采樣系統(tǒng)頻率

式中：fS——系統(tǒng)采樣頻率；f——標準信號源產(chǎn)生的正弦壓力的頻率。

根據(jù)奈奎斯特采樣定理，N的最小值是2，工程上一般要求N最好不小于5～10。本文提出的算法的核心在于：將N嚴格控制為一個正整數(shù)，可以得到嚴格意義上沒有誤差的幅值結(jié)果。

假設，在t0時刻采樣系統(tǒng)第1次進入采樣，采到第一個離散值是S1，該值可用公式(5)表征

隨后的N個連續(xù)的采樣數(shù)據(jù)，可以將它們按公式(6)表征

利用三角函數(shù)二倍角公式，注意到ω·Ts=ω·并記常數(shù) θ=2ωt0+2φ，整理可得公式(7)

為了得到公式(7)的值，構造一個有N個元素的復數(shù)序列{rk}，如公式(8)所示

復數(shù)具有向量性質(zhì)?？梢栽趶推矫嫔习霃綖閞的圓上畫出這一組復數(shù)向量，如圖2所示。由于這一個復數(shù)序列具有完備的對稱性[4]，其對應的向量也具有完備的對稱性，所以對于任意大于等于2的正整數(shù)N，不論奇偶，公式(9)都成立。

利用歐拉公式ej·a=cosα+j·sinα，將公式(8)寫為三角形式可得公式(10)

這要求公式(10)表示的復數(shù)實部和虛部均為0，故公式(11)成立。

將該結(jié)果代回公式(7)，可得公式(12)

對公式(12)求解，可得公式(13)

公式(13)表明，當采樣系統(tǒng)的采樣頻率控制為正弦壓力源頻率的正整數(shù)倍(N倍)時，傳感器響應信號的幅值A可通過上式算出，得到的是一個在理論上沒有誤差的結(jié)果。

圖2 復數(shù)序列的向量表示示意圖Fig.2 Vectors of the complex sequence

4 算法的模擬運算

為了驗證該算法，利用MATLAB軟件進行了模擬運算。按公式(14)模擬產(chǎn)生了正弦信號源。按照本文提出的算法和通用波形復現(xiàn)法分別對該信號源進行了數(shù)據(jù)采集。

由公式(14)，正弦信號源的頻率是1/7Hz，以N=7進行采樣，根據(jù)軟件模擬，依次采樣得到的7個點如圖3所示，將該數(shù)據(jù)列表表示，如表1所示。

法國心理學家勒龐認為，人一到群體中就變得低智商、非理性、易盲從，于是他把人群稱為“烏合之眾”，著有著名的暢銷書《烏合之眾：大眾心理研究》，這本書在國內(nèi)也備受推崇。勒龐的看法只是一家之言，未見得便是真理，譬如與他同時代的另一位法國心理學家塔爾德便提出了幾乎相反的觀點。但個體受群體影響，卻是沒有疑義的。

表1 7個采樣點數(shù)據(jù)列表Tab.1 Data of 7 sampling points

采用通用波形復現(xiàn)法，對數(shù)據(jù)進行處理的結(jié)果如圖4，該方法得到的幅值測量值為2A=S2-S6=9.638 048 448，即A=4.819 024 224。

圖3 采樣數(shù)據(jù)示意圖Fig.3 Data of the sampling points

圖4 通用波形復現(xiàn)示意圖Fig.4 General method of reproducing waveform

5 算法適用范圍

以上討論中，正弦信號源是單頻信號。但在動態(tài)壓力校準中，除了單頻模式，還有掃頻信號作為標準激勵信號，即掃頻校準模式。如果進行掃頻校準，標準信號就不再是單頻信號，一般地可以表示為公式(15)

若想向類似算法靠攏時，由于信號源的頻率發(fā)生了改變，就與單頻信號有很大區(qū)別。

5.1 等間隔采樣

可采用與單頻標準信號時完全類似的推導過程，唯一區(qū)別即信號的頻率是一個變化值，但正因此最終無法得出類似的結(jié)論。

5.2 變頻采樣

若使用變頻采樣，即采樣系統(tǒng)的采樣頻率隨標準信號的頻率產(chǎn)生變化，如公式(16)所示

式中：fs(t)——系統(tǒng)采樣頻率隨時間變化的函數(shù)；f(t)——標準信號源產(chǎn)生的正弦壓力的頻率隨時間變化的函數(shù)；ω(t)——標準信號源產(chǎn)生的正弦壓力的角頻率隨時間變化的函數(shù)。

一般設定每兩個采樣點之間的采樣間隔取為后一個采樣點時刻采樣頻率的倒數(shù)，即公式(17)

若記 ω(tk)=ωk，則在tk時刻滿足 ωkTSk=

假設在t0時刻采樣系統(tǒng)第1次進入采樣，即，采到的第一個值是S1，將一系列采樣值記為公式(18)

其中任一項的采樣值記為公式(19)。

將公式(19)進一步化簡，需要拆分括號內(nèi)的相乘的部分，將公式(19)的前一項單獨列出，記為公式(20)

要讓它們之間形成聯(lián)系，于是就涉及到掃頻方式?jīng)Q定的角頻率變化規(guī)律，分為線性掃頻和非線性掃頻兩種情況進行討論。

5.2.1 線性掃頻

設f(t)=f0+f·t，則在tk-1時刻，ωk-1=ω0+ωtk-1，在tk時刻，ωk=ω0+ωtk，則公式(21) 成立

公式(21)是一個類似數(shù)列的迭代關系，不能使得公式(20)的各采樣數(shù)據(jù)之間形成有規(guī)律的數(shù)學關系。

5.2.2 非線性掃頻

非線性掃頻的頻率變化規(guī)律通常為指數(shù)或?qū)?shù)，設f(t)=f0·ep·t，則在tk-1時刻，ωk-1=ω0·ep·tk-1，在tk時刻，ωk=ω0·ep·tk，則公式(22) 成立

公式(22)形成了一個迭代關系，不能使得公式(20)的采樣數(shù)據(jù)之間形成有規(guī)律的數(shù)學關系。

根據(jù)以上簡單的討論，對掃頻信號，本文提出的算法還不適用。

6 實驗驗證

在工作平臺軟件上加入了上面提到的算法。其算法實現(xiàn)局部如圖5所示。

在實驗中，首先仍然采用Labview自帶仿真信號，對3種不同的信號各分別重復實驗10次，控制的采樣頻率與信號頻率之間的比值也有所不同。程序前面板如圖6所示。

圖5 無差算法實現(xiàn)局部Fig.5 Program of the error-free algorithm

圖6 無差算法實現(xiàn)前面板Fig.6 Front panel of the error-free algorithm

所得實驗數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 重復仿真實驗的數(shù)據(jù)Tab.2 Simulation experimental data

續(xù)表2

對比可知，本文提出的新算法的無差性仍然成立。而目前工作程序所使用的Labview自帶的“幅值和電平.vi”程序存在測量誤差。這與上面的分析一致。

然后將圖5的局部加入工作軟件，采用實際信號輸入，重做上述實驗，同樣進行10次，執(zhí)行數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 工作平臺實驗數(shù)據(jù)Tab.3 Data from the work platform

可以看出，實際壓力信號由于存在噪聲干擾或氣源不穩(wěn)定等因素，新算法的無差性受到了影響。但是對比可知，無差算法有以下改進：

(1)誤差更小

利用無差算法的結(jié)果由于抹去了算法上的系統(tǒng)誤差，僅受系統(tǒng)噪聲等干擾，所以其最終的計算誤差比起系統(tǒng)自帶算法明顯減小。

(2)誤差穩(wěn)定性更好

在重復實驗中，利用新算法得到結(jié)果的誤差保持在一個相當小的穩(wěn)定水準，而且經(jīng)過大量實驗發(fā)現(xiàn)這個計算誤差受到噪聲大小的影響不大；而系統(tǒng)自帶算法的測量誤差波動較大，并且嚴重受到噪音大小的影響。這可能是因為根據(jù)公式(13)，無差算法的計算公式具有類似均方根的性質(zhì)，這對噪聲的干擾有一個抑制的作用。

綜上所述，無差算法的應用可以大幅降低實際校準中幅值測量的誤差。

7 結(jié)束語

本文提出了一種提高正弦信號幅值測量準確度的新算法，其關鍵點是通過控制采樣頻率為激勵信號頻率的正整數(shù)倍，可在理論上實現(xiàn)幅值測量沒有誤差。

本文提出的算法，目前僅適用單頻校準，不適合掃頻校準。