高 強，吳艷紅，欒金擇，李京霖

（航天科工空間工程發(fā)展有限公司，北京100854）

0 引言

在飛行器研制過程中，常通過正弦掃頻振動試驗來考核飛行器結構在低頻段的性能[1]，亦可根據振動試驗的結構響應數據得到結構主模態(tài)信息（共振頻率、放大系數等）[2-3]并進行有限元模型修正。

在正弦掃頻振動中，激勵頻率隨時間變化，因此正弦掃頻振動為非穩(wěn)態(tài)振動，結構響應與穩(wěn)態(tài)振動響應間存在差異，具體表現為：峰值減小，正向掃頻激勵下峰值頻率右移（逆向掃頻激勵下峰值頻率左移）、共振峰形狀扭曲，且掃頻速率越高，上述特征越明顯[4-8]。因此直接使用正弦掃頻振動試驗數據進行有限元模型修正會引入新的誤差。文獻[4-8]對正弦掃頻激勵下的掃頻響應特性進行了分析，但未得出明確的掃頻響應特性與掃頻速率間關系式，且未對多自由度系統的掃頻特性進行研究。

本文使用數值積分方法研究單自由度系統在正弦掃頻激勵下的響應特性，推導了一個量綱為1的掃頻參數η，得到了結構的響應特性與η的關系式；在掃頻參數η相同，其他參數不同的情況下，系統響應特性一致。最后通過簡易衛(wèi)星模型證明，上述關系式亦可適用于多自由度系統在低階模態(tài)處的掃頻響應分析。

1 正弦掃頻激勵下的響應求解

1.1 單自由度系統

圖1 單自由度系統Fig.1 Single-DOFsystem

當系統受到圓頻率為ω的位移激勵uj時，系統的動力學方程為

式中ui為系統的絕對位移。ui與uj的關系為

1.2 線性掃頻激勵和對數掃頻激勵

線性掃頻和對數掃頻是實際應用中常用的正弦掃頻方式。在線性掃頻中，基礎激勵的頻率變化率為Rlinear，Hz/m in；在對數掃頻中，基礎激勵的頻率變化率為Rexp，oct/m in。正向掃頻（由低到高掃頻，下同）時，頻率變化率為正數；逆向掃頻（由高到低掃頻，下同）時，頻率變化率為負數。設掃頻信號的初始頻率為fstart，則線性掃頻和對數掃頻的頻率分別為：

1.3 求解正弦掃頻激勵下系統的響應

將uj的表達式（式(7)或式(8)）代入系統的動力學方程（式(1)），即可求解得到系統響應ui。由于uj為非簡諧振動，所以上述方程很難得到理論解。Cronin[9]使用泰勒級數、傅里葉展開、固定相位法和“鞍點”法等多種方法，推導了正弦掃頻激勵下單自由度系統響應的近似公式。但該近似公式只適用于阻尼比很小（小于0.01）、掃頻速率很慢的情況，不適合進行系統振動響應特性研究。

本文使用Duhamel 數值積分方法求解單自由度系統在正弦掃頻激勵下的響應。為消除初始狀態(tài)對共振峰處響應的影響，仿真時定義掃頻初始頻率fstart=f0/4（正向掃頻）或fstart=4f0（逆向掃頻）。

針對f0=20 Hz、?0=0.02的單自由度系統，分別進行正向（Rexp=2 oct/m in、4 oct/m in）、逆向（Rexp=-2 oct/min、-4 oct/m in）掃頻激勵下的系統響應計算，結果如圖2和圖3所示。圖2為正向掃頻（Rexp=4 oct/min）時，系統響應與激勵頻率（頻率隨時間變化）的關系；圖3為不同掃頻速率下的非穩(wěn)態(tài)振動與穩(wěn)態(tài)振動（Rexp=0）下系統響應的對比。

圖2 正向掃頻（R exp=4 oct/m in）時系統響應與頻率關系Fig.2 Response of positive exponential sweep excitation(R exp=4 oct/min)

圖3 非穩(wěn)態(tài)與穩(wěn)態(tài)振動下的系統響應對比Fig.3 The difference between transient response and steady response at several sweep rates

由圖3可知，在正向和逆向掃頻激勵下，系統響應峰值減小，且共振峰形狀扭曲，半功率帶寬增大；正向掃頻下，峰值頻率增加（右移），大于共振頻率fmax；逆向掃頻下，峰值頻率減小（左移），小于共振頻率fmax；掃頻速率越高，上述特征越明顯。另外，在圖2中，在響應峰值之后，又出現了一個小的峰值，這是由“拍”振動引起的。此處振動由兩部分疊加而成，一部分是系統以共振峰處的振動狀態(tài)為初始條件作有阻尼自由振動，另一部分是系統在該“拍”振動頻率處作受迫振動，兩部分振動的頻率相近，疊加形成了“拍”振動現象。

2 掃頻速率對系統響應影響的定量分析

2.1 共振響應特性

對于f0=20 Hz、?0=0.05的單自由度系統，其靜止初始條件下的共振響應曲線如圖4(a)所示。由圖可知，系統的響應Amp(t)是隨著時間逐漸增大的，經過大約15個循環(huán)之后才達到穩(wěn)態(tài)最大值Ampmax（≈10）。若系統不是從靜止狀態(tài)開始（不失一般性，可假定系統初始速度為0，但初始位移與激勵的位移幅值之比為αAmpmax，其中α∈(-1,1)），則系統的響應為

令α=-0.8，系統的共振響應曲線如圖4(b)所示。由圖可知，系統經過大約9個循環(huán)之后即可達到穩(wěn)態(tài)響應。文獻[10]指出，系統阻尼比?0越小，則響應趨于穩(wěn)定所需的循環(huán)周數就越多。因此在正弦掃頻振動中，由于激勵頻率隨時間變化，掃頻激勵在系統共振頻率處停留的時間很短、循環(huán)次數較少，以致系統響應峰值達不到穩(wěn)態(tài)最大值Ampmax。

圖4 靜止和非靜止初始條件下的系統共振響應曲線Fig.4 Resonance response curve under static (a)and nonstatic(b)initial conditions

2.2 量綱為1的掃頻參數

由式(11)可知，當激勵頻率等于系統共振頻率時，系統響應Amp(t)的值與?0ωt有關。將?0ωt改寫為

圖5 共振頻帶Fig.5 Resonance bandw idth

對于任何一種既定的正弦掃頻模式，β0是確定的，但式(13)中的Δf未定，因此Nr和η無法確定。為此，在系統阻尼比?0較小的情況下，可令圖5中的f1和f2分別為系統半功率帶寬的上、下限，則有：

式(15)適用的前提條件是系統阻尼?0較小、半功率帶寬Δf與品質因子Q的關系式Δf=?0/Q成立、掃頻函數f(t)在半功率帶寬內單調遞增（或遞減）且β0≠0。式(16)中的Nr為系統在半功率帶寬內的循環(huán)次數。此時，對于既定的系統和掃頻模式，掃頻參數η便可確定。

線性掃頻和對數掃頻下，η的表達式分別為：

應用MatLab軟件對線性和對數掃頻下系統的響應特性進行仿真計算。假定系統在掃頻激勵下的響應最大值為Alinear-max和Aexp-max；η相同但其他參數不同的情況下，Alinear-max/Ampmax和Aexp-max/Ampmax的對比結果詳見表1。由表1可知，在掃頻參數η相同、其他參數不同的情況下，線性和對數掃頻的響應幅值（Alinear-max/Ampmax和Aexp-max/Ampmax）基本是一致的；正向掃頻和逆向掃頻的響應幅值有微小差異，逆向掃頻的結果比正向掃頻的大1%～2%；對于正向對數掃頻，當Q值（即Rexp/f0的值）相同時，系統響應幅值完全一致；當Q值較小、掃頻速率較大（Q=5、Rexp/f0=8）時，響應幅值略有偏差，這是由于?0=0.1時式(4)的近似關系存在誤差，且掃頻速率遠大于系統頻率時，系統響應曲線較稀疏，曲線包絡不能準確得到系統響應的最大值，如圖6所示。

表1 掃頻參數η 相同時的線性掃頻和對數掃頻對比Table 1 Comparison of several responses for sameη(exponential and linear)

圖6 掃頻速率遠大于系統頻率時的系統響應曲線Fig.6 Response curve for very large sweep rate

2.3 掃頻參數η 對系統響應的影響分析

由2.2節(jié)可知，在掃頻參數η相同的情況下系統的響應特性基本一致，但當Rlinear/f02 或Rexp/f0變化時結果略有差別，因此本文仿真計算了Rlinear/f02或Rexp/f0變化對系統響應的影響。Rlinear/f02（或Rexp/f0）取值為0.001～10時，Q分別取值5、10、25、50、100，且正向和逆向掃頻都進行仿真；同時，計算了η在0.1～1000間變化對系統響應的影響。文獻[4]的研究中令η值在0.1～1000間變化，Rexp/f0恒定為0.1，只改變Q的值。這是不夠全面的，因為Rexp/f0的變化對結果有一定影響。因此本文分別將Rexp/f0的取值固定為0.05、0.1、0.5、1、2、5、10（Rlinear/f02 的取值固定為0.01、0.1、0.5、1、2、5、10），通過改變Q的值，使η取值在0.1～1000間變化，然后進行正向和逆向掃頻仿真。

圖7、圖8為系統響應與穩(wěn)態(tài)響應的對比關系：圖7為響應峰值與穩(wěn)態(tài)峰值之比；圖8為掃頻響應的峰值頻率的誤差，該誤差用正則化誤差QΔf/fmax表示，其中Δf=|fexp-fmax|或|flinear-fmax|，fexp和flinear分別為對數掃頻和線性掃頻時的峰值對應頻率。由圖7、圖8可知：隨著掃頻參數η增大，系統響應峰值減小、峰值頻率偏差增大，且系統Q值越大，受影響越明顯；正向掃頻和逆向掃頻的結果差異可以忽略；當引入掃頻參數η后，誤差曲線基本合為一條曲線；由圖7(b)可知，Rlinear/f02或Rexp/f0取不同值對結果的影響基本可忽略，4種掃頻類型共28條曲線幾乎重疊。

圖7 R linear/f02 或R exp/f0 及掃頻參數η對系統響應峰值的影響Fig.7 The influence of R linear/f02(or R exp/f0)and ηon the amplitude

圖8 R linear/f02 或R exp/f0 及掃頻參數η對共振頻率的影響Fig.8 The influence of R linear/f02(or R exp/f0)and ηon the resonance frequency

擬合曲線見圖7(b)。

圖8(b)中的28 條曲線基本一致，當η超過100時，出現一定偏差，正則化頻率誤差QΔf/fmax與η的關系為

3 多自由度系統的掃頻響應驗證

文獻[11]對受到線性掃頻激勵的兩自由度系統的響應進行了分析，得出“掃頻速率越慢，系統響應越趨于穩(wěn)定響應”的結論，但對響應的誤差無定量估算。我們對如圖9所示的簡化衛(wèi)星模型進行對數正弦掃頻激勵，討論掃頻速率對多自由度結構響應的影響。該簡化模型尺寸為1m×1m×2 m，橫向一階頻率16.4 Hz。在橫向1g的穩(wěn)態(tài)激勵下，頂點最大響應為18.5g（阻尼比取0.03）。對結構底部施加1g的正弦掃頻激勵，掃頻速率分別為4 oct/min、8 oct/m in、16 oct/m in 時，系統響應峰值和峰值頻率如表2所示，表中單自由度模型結果是將掃頻參數η代入式(19)、式(20)計算得到的。由表2可知，隨掃頻速率增大，結構響應峰值降低，峰值頻率增大；當掃頻速率為8 oct/m in 時，掃頻響應峰值與穩(wěn)態(tài)響應的相差達11%；單自由度模型的計算結果與多自由度模型有微小差異，這是由于模態(tài)疊加時，高階模態(tài)對此處的響應也有一定貢獻?？傮w來看，當多自由度系統模態(tài)稀疏且相鄰模態(tài)之間影響較小時，擬合公式（式(19)、式(20)）以及圖7、圖8基本適用于多自由度系統低階模態(tài)處的掃頻響應分析。

圖9 簡化衛(wèi)星模型Fig.9 Simplified FEM model of a satellite

表2 多自由度系統的掃頻響應Table2 Responses of a multi-DOFsystem under sine-sweep excitations

4 結論

本文使用數值方法，研究了單自由度系統在正弦掃頻激勵下的響應特性；通過單自由度系統的共振響應特性，推導了量綱為1的掃頻參數η；計算結果表明，參數η對單自由度系統的掃頻響應起決定性影響；通過計算得到了掃頻響應峰值、峰值頻率與參數η的關系曲線及擬合公式；最后使用簡化衛(wèi)星模型，驗證了參數η基本適用于多自由度系統的掃頻響應分析。

研究得出結論如下：

1）在正弦掃頻激勵下，系統最大響應減小、正向掃頻峰值頻率增大（逆向掃頻峰值頻率減?。覓哳l速率越高，影響越明顯。

2）線性掃頻和對數掃頻激勵下，系統響應基本一致；正向掃頻和逆向掃頻激勵下，系統響應有微小差異，最大幅值相差1%～2%。

3）在掃頻參數η相同，其他參數不同的情況下，系統響應特性基本一致。

4）對于復雜衛(wèi)星結構（多自由度系統），在低階模態(tài)處、相鄰模態(tài)之間影響較小時，本文基于單自由度系統得到的擬合公式（式(19)、式(20)）以及圖7、圖8可用于預示其掃頻響應特性。

另外，工程試驗人員在正弦振動試驗前，可參考本文研究結果，根據試驗要求或者需要特定考核的頻段，設置合理的掃頻速率，既保證掃頻時間不會太長，又可使試驗結果達到預期的精度；亦可在正弦振動試驗后，根據上述公式或圖表，對試驗得到的響應特性數據進行一定的修正。對于頻帶較寬的掃頻試驗，建議針對不同頻段分別設置不同的掃頻參數，在保證試驗精度的同時節(jié)省試驗時間。例如，對于Q=10、f0=30 Hz 的模態(tài)，Rexp/f0=0.1，即Rexp=3 oct/m in 時，掃頻響應的誤差不足3%；對于Q=10、f0=200Hz 的模態(tài)，Rexp=20 oct/m in 時亦可達到相同的精度。