邵俊杰 李金興

(1.北京郵電大學(xué)計算機(jī)學(xué)院 102206;2.浙江省蕭山中學(xué) 311201)

圓錐曲線作為中學(xué)解析幾何學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，擁有悠久的歷史和眾多性質(zhì)；其中圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)極為特殊.人教A版教材介紹了光線經(jīng)過圓錐曲線焦點(diǎn)時的光學(xué)性質(zhì)；那么，那些不經(jīng)過圓錐曲線焦點(diǎn)的光線又有何特性呢？

1 橢圓中的兩個類包絡(luò)現(xiàn)象

考慮到圓錐曲線中只有橢圓是封閉曲線，光會一直在內(nèi)部反射，我們先對橢圓中的一般弦做出研究.根據(jù)初始光線與兩焦點(diǎn)連線段的三種關(guān)系：初始光線經(jīng)過某焦點(diǎn)、初始光線與焦點(diǎn)連線段不相交、初始光線與焦點(diǎn)連線段相交但交點(diǎn)非焦點(diǎn)，分別討論光線的反射性質(zhì).

1.1 過橢圓焦點(diǎn)的光線性質(zhì)

引理1設(shè)F1,F2分別是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn),則從F1發(fā)出的光線經(jīng)過P點(diǎn)處橢圓反射后的反射光線經(jīng)過點(diǎn)F2.

由此可見，如果初始光線沿過焦點(diǎn)的弦(非長軸)，則經(jīng)過橢圓反射后會通過另一個焦點(diǎn)，不斷反射后交替地通過兩個焦點(diǎn).

圖1

圖2

1.2 初始光線與橢圓兩焦點(diǎn)連線段不相交時的光學(xué)性質(zhì)

為使證明過程簡潔，我們先來證明幾個引理.

引理3橢圓C以F1、F2為焦點(diǎn)，A、B為C上兩點(diǎn)，l1、l2分別為橢圓C在A、B點(diǎn)處的切線，F(xiàn)為l1與l2的交點(diǎn)，則∠AFF1=∠BFF2(如圖3).

圖3

圖4

由上述引理可得，當(dāng)初始光線與橢圓焦點(diǎn)連線段不相交時有如下結(jié)論：

定理1如圖5，橢圓C1以F1、F2為兩焦點(diǎn)，橢圓C1的弦S1S2與線段F1F2不相交，從S1發(fā)出的光線S1S2經(jīng)橢圓C1反射后反射光線為S2S3，則S1S2和S2S3均與另一個以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓C2相切.

圖5

圖6

于是可知，設(shè)橢圓C0內(nèi)部初始光線所在直線為l0，經(jīng)橢圓C0反射n次后的反射光線所在直線為ln.當(dāng)l0與橢圓C0焦點(diǎn)連線段不相交時，由定理1得，可設(shè)l0與l1同與橢圓C1相切，l1與l2同與橢圓C2相切，……，ln與ln+1同與橢圓Cn+1相切…；其中C1，C2，…，Cn+1，…均與C0同焦點(diǎn).因此C1，C2共焦點(diǎn)且與同一條直線l1相切，故C1，C2為同一個橢圓，記作橢圓C′；同理Cn,Cn+1共焦點(diǎn)且與同一條直線ln相切，故Cn,Cn+1也為同一個橢圓；不難得到，C1，C2，…，Cn+1，…均為橢圓C′；因此所有光線均與同一個橢圓C′相切.此性質(zhì)類似于包絡(luò)，故稱橢圓C′為“包絡(luò)”橢圓.對于一般情況，如圖7所示，當(dāng)光線經(jīng)橢圓不斷反射無數(shù)多次后，光線將圍出一個橢圓(即C′)，但因?yàn)槲覀儫o法證明橢圓C′上的每一點(diǎn)都是光線與C′的切點(diǎn)，故不能嚴(yán)格證明這是一個包絡(luò)現(xiàn)象.對于更特殊的情況(如圖8)，光線還會形成回路.

圖7

圖8

1.3 初始光線與橢圓兩焦點(diǎn)連線段相交(交點(diǎn)非端點(diǎn))時的光學(xué)性質(zhì)

為證明方便，我們先介紹雙曲線焦點(diǎn)弦的光學(xué)性質(zhì).

引理4點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線上，從F2射出的光線經(jīng)過P點(diǎn)雙曲線反射后的反射光線與從F1點(diǎn)射出經(jīng)過P點(diǎn)的光線在同一條直線上.

圖9

至此我們便可以討論初始光線與橢圓兩焦點(diǎn)連線段相交時的光學(xué)性質(zhì)了.

定理2如圖10，橢圓C以F1、F2為兩焦點(diǎn)，橢圓C的弦S1S2與線段F1F2相交(交點(diǎn)異于F1、F2)，從S1發(fā)出的光線S1S2經(jīng)橢圓反射后反射光線為S2S3，則入射光線S1S2和反射光線S2S3所在直線均與一個以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線C′相切.

圖10

圖11

于是可知，設(shè)橢圓C0內(nèi)部初始光線所在直線為l0，經(jīng)橢圓C0反射n次后的反射光線所在直線為ln.當(dāng)l0與橢圓C0焦點(diǎn)連線段相交(交點(diǎn)非端點(diǎn))時，由定理2得，可設(shè)l0與l1同與雙曲線C1相切、l1與l2同與雙曲線C2相切，…，ln與ln+1同與雙曲線Cn+1相切…；其中C1、C2，…,Cn+1，…均與C0同焦點(diǎn).因此C1，C2共焦點(diǎn)且與同一條直線l1相切，故C1，C2為同一個雙曲線，記作雙曲線C′；同理Cn,Cn+1共焦點(diǎn)且與同一條直線ln相切，故Cn,Cn+1也為同一個雙曲線；不難得到，C1，C2，…,Cn+1，…均為雙曲線C′；因此所有光線均與同一個雙曲線C′相切.與之前結(jié)論一樣，這是一個類似于包絡(luò)的現(xiàn)象(我們無法嚴(yán)格證明)，故稱雙曲線C′為“包絡(luò)”雙曲線，對于一般情況，如圖12所示，當(dāng)光線經(jīng)橢圓不斷反射無數(shù)多次后，光線將圍出一個雙曲線(即C′).

圖12

2 拋物線中相應(yīng)的結(jié)論與證明

參考橢圓中的不同情況，在拋物線中也對初始光線的位置分三種情況討論.

第一種情況：當(dāng)光線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)時，相關(guān)結(jié)論已廣為人知，下面給出一種證明.

定理3拋物線C以A為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線，點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn)，從點(diǎn)A射出的光線經(jīng)過點(diǎn)P處拋物線反射后的反射光線與l垂直.

在討論第二種情況前，先證如下引理：

引理6如圖13，在定理3中作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P處拋物線切線的對稱點(diǎn)A′，則A′在準(zhǔn)線l上，且A′P⊥l.

圖13

證明過點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為點(diǎn)A″，由拋物線定義知|A″P|=|AP|，又由定理3知∠A″PT=∠γ=∠α，故可得點(diǎn)A″與點(diǎn)A′重合，故引理成立.

第二種情況：過拋物線焦點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段，當(dāng)初始光線與該垂線段相交時，有如下光學(xué)性質(zhì)：

定理4過拋物線C1的焦點(diǎn)F作準(zhǔn)線l1的垂線段，拋物線弦S1S2與該垂線段相交，從S1發(fā)出的光線S1S2經(jīng)拋物線反射后反射光線為S2S3，則入射光線S1S2與反射光線S2S3均與另一個以F為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線與l1平行的拋物線C2相切.

圖14

對于第三種情況：過拋物線焦點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段，當(dāng)初始光線與該垂線段不相交時，得到如圖15所示的現(xiàn)象，無法得到良好的性質(zhì).

圖15

3 結(jié)語

通過探究我們發(fā)現(xiàn)，光線經(jīng)雙曲線反射后很快發(fā)散(如圖16、圖17所示)，因此未能找到良好的性質(zhì).在橢圓中我們還企圖通過解析法對反射之后的坐標(biāo)與方程進(jìn)行研究，以觀察能否找到一些規(guī)律，以確定哪些特殊情況能夠使反射光線形成回路；很遺憾，通過Mathematica的計算結(jié)果來看，一次反射之后的坐標(biāo)與方程已經(jīng)過于復(fù)雜，難以找出規(guī)律，希望能通過后續(xù)的研究取得一些新的進(jìn)展.此外，對橢圓中光線能否形成包絡(luò)現(xiàn)象？如果能夠形成包絡(luò)現(xiàn)象的話對初始光線有何限制條件？等問題都有待進(jìn)一步的探究.

圖16

圖17