王洪燕 郭要紅

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 241000)

1 引言

1919年，Weitzenbock提出了如下不等式：[1]

定理1設(shè)a,b,c,S分別是△ABC的邊長與面積，則

1937年，F(xiàn)insler和Hadwiger建立了一個(gè)更強(qiáng)的不等式如下：[2]

定理2設(shè)a,b,c,S分別是△ABC的邊長與面積，則

《美國數(shù)學(xué)月刊》2016年第9期刊登了馬其頓人Martin Lukarevski提供的問題11938如下：

問題11938[3]設(shè)a,b,c,S,R,r分別是△ABC的邊長、面積、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則

(1)

事實(shí)上，1998年武鋼高三學(xué)生李磊應(yīng)用Kooi不等式[4]證明了不等式(1)[5]，文[6]已收錄不等式(1).

本文對不等式(1)進(jìn)行研討，得到如下不等式：

定理3設(shè)a,b,c,S,R,r分別是△ABC的邊長、面積、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則

(2)

2 兩個(gè)引理

為證明不等式(2)，先給出兩個(gè)引理

引理1(Blundon不等式)[4]設(shè)a,b,c,s,R,r分別是△ABC的邊長、半周長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則

其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形.

引理2設(shè)a,b,c,s,R,r分別是△ABC的邊長、半周長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，則

(3)

其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形.

證明由引理1可知，只要證

由歐拉不等式：R≥2r,只要證

(4)

因?yàn)?(R+r)(R-2r)+3r2≥0，而

=4Rr3+r4≥0.

所以(4)式成立，從而(3)式成立，由以上證明過程可知，(3)式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形.

3 結(jié)論的證明

定理3證明

同理可得

三式相加可得

由三角恒等式

即

利用引理2，由

即有

定理3得證.

4 討論

根據(jù)歐拉不等式：R≥2r，有

所以(2)式是(1)式的加強(qiáng).

≤4R2+4Rr+3r2.

所以引理2是Gerrentsen不等式[4]s2≤4R2+4Rr+3r2的加強(qiáng).