2019年6月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2486已知a≥b≥c>0，求證：

(河南省南陽師范學院軟件學院 李居之 孫文雪 473061)

證明由均值不等式得

因為a≥b≥c>0，

所以(a-b)(b-c)(a-c)≥0

?a2b+b2c+c2a≥ab2+bc2+ca2

從而原不等式成立，當且僅當a=b=c時等號成立.

(成都市金牛區(qū)蜀漢路369號2-2-35 610036 張殿書)

圖1

以上各式相乘，又易知∠1=∠1′，∠2=∠2′，∠3=∠3′，∠4+∠4′=180°,∠6=∠2=∠6′，

經(jīng)化簡可得

A0x2n+1-A2x2n-1+A4x2n-3-A6x2n-5+…+(-1)nA2nx+(-1)n+1sin(2n+1)α=0

(1)

(河南質量工程職業(yè)學院 李永利 467000)

證明正弦的n倍角公式為：

(2)

(見唐秀穎主編．數(shù)學解題辭典(三角)[M]．上海辭書出版社，1988年12月第1版，1996年2月第5次印刷，第127頁)．

取n為2n+1，則由(2)式可知

(3)

(3)式整理即得方程(1)．

又因sin(2n+1)α=sin[2jπ+(2n+1)α]，

其中j為整數(shù)，所以由以上討論可知方程(1)的解為

2489已知O為銳角△ABC的外心，過O的直線交AB、AC所在的直線于P、Q兩點.求證：

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

證明如圖連接AO并延長交BC于D，連接BO并延長交AC于E，連接CO并延長交AB于F，連接PD、QD.

再由合比定理得

延長AD交△ABC的外接圓于K，

連接BK、CK，

有∠AKB=∠ACB，∠AKC=∠ABC.

因為AK是△ABC的外接圓直徑，

所以有∠BAK與∠AKB互余，

∠CAK與∠AKC互余.

因此有

∠BAD=90°-∠AKB=90°-∠ACB，

∠CAD=90°-∠AKC=90°-∠ABC.

又由共邊比定理可得

又由梅涅勞斯定理，可得

把②、③、④式代入①，得到

=sin2∠BAC+sin2∠ABC+sin2∠ACB⑤

又因為

sin2∠BAC+sin2∠ABC+sin2∠ACB

=2sin(∠BAC+∠ABC)cos(∠BAC-∠ABC)+2sin(∠BAC+∠ABC)[-cos(∠BAC+∠ABC)]

=2sin(∠BAC+∠ABC)cos(∠BAC-∠ABC)-2sin(∠BAC+∠ABC)cos(∠BAC+∠ABC)

=4sinA·sinB·sinC.

⑤式等價于

=4sinA·sin∠ABC·sin∠ACB.

而利用均值不等式和琴生不等式

≥sin∠BACsin∠ABCsin∠ACB,

等號成立僅當△ABC為等邊三角形.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

即sinα-2sin2αcosα≥0，

根據(jù)均值不等式及上述引理得

sinθ1sinθ2+sinθ3sinθ4

2019年7月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2491已知a,b,c≥0,ab+bc+ca=1,求證:

(陜西省咸陽師范學院教育科學學院 安振平 712000)

2942已知，如圖，AB、AC，CD、BE交于G，并分別交AB、AC于J、K，DK交AB于H，EJ交AC于I，DI與EH交于F，證明：A、F、G三點共線．

(江西師范高等專科學校 王建榮 335000)

2493求證：在△ABC中，有

上式取等號，當且僅當△ABC為正三角形．

(湖北省谷城縣第三中學 賀 斌 李至軍 441700)

2494ABCD對角線交于點O，線段OD上有點E，線段OA延長線上有點F，求證：BD·BE=AC·CF，A、B、C、E四點共圓，B、C、D、F四點共圓，這三個條件任意知道兩個，可得第三個.

(華中師范大學國家數(shù)字化學習工程技術研究中心 彭翕成 430079 )

2495設n∈N*且ai>0(i=1,2,…n).證明:

(安徽銅陵市第一中學 陳良驥 244000)