徐章韜

(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 430079)

圓錐曲線是因解倍立方體問題的需要而產(chǎn)生.圓錐曲線的研究法先是純幾何的手法，直至笛卡爾才用坐標(biāo)法研究圓錐曲線，解析幾何產(chǎn)生了.這些成果已反映在現(xiàn)行的教材中.從研究方法上看，直線、圓、圓錐曲線都是坐標(biāo)法的研究對(duì)象，體現(xiàn)了坐標(biāo)法的巨大威力；但從研究?jī)?nèi)容上看，直線、圓、圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性還揭示得不夠.平面幾何花了大量的氣力研究圓，這些學(xué)習(xí)成果應(yīng)在后續(xù)學(xué)習(xí)中體現(xiàn)出來.三角函數(shù)又稱圓函數(shù)，現(xiàn)在人們已經(jīng)逐漸認(rèn)識(shí)到應(yīng)發(fā)揮單位圓在三角學(xué)習(xí)中的支持作用.受此啟發(fā)，在邏輯上圓和圓錐曲線有著內(nèi)在關(guān)聯(lián)，以圓為認(rèn)知工具，可以把直線、圓、圓錐曲線等“一線串”起來，把平面幾何、解析幾何的學(xué)習(xí)有機(jī)關(guān)聯(lián)起來.

1 從圓到圓錐曲線

點(diǎn)可看作半徑為零的圓，直線可看作半徑為無窮大的圓，或曲率為零的圓.作一半徑為2a的圓，利用軸對(duì)稱，用圓可以生成橢圓和雙曲線.還有一些用圓生成圓錐曲線的方法.

圓作為圓錐曲線的“母體”，圓的度量性質(zhì)、仿射性質(zhì)大多可以引申推廣到圓錐曲線中.如，直徑所對(duì)的圓周角為直角、切線與半徑垂直、垂徑定理、圓冪定理都可以推廣.這已形成一種技法，欲探究橢圓的性質(zhì)，有的可以還原到圓上去研究.

2 圓錐曲線間的互變

圓錐曲線同根同源，可以相互轉(zhuǎn)化.

(由圓生成圓錐曲線)設(shè)圓x2+y2=r2(r>0),PP′是圓垂直于x軸的一條弦，M(m,0),N(n,0)是x軸上的不同的兩點(diǎn)，求直線PM與P′N的交點(diǎn)Q的軌跡，則當(dāng)(m+n)2-4a2>0時(shí)，軌跡是橢圓或圓；當(dāng)(m+n)2-4a2=0時(shí)，軌跡是拋物線；當(dāng)(m+n)2-4a2<0時(shí)，軌跡是雙曲線.

雙曲線可視為虛橢圓，兩者同為有心曲線，可以相互轉(zhuǎn)化.

在學(xué)習(xí)、研究有心曲線時(shí)，可以以橢圓為重點(diǎn)，這也是教材淡化雙曲線的重要原因之一.這樣的處理是非常有道理的.

3 幾種特殊的圓

由上述可以看到圓的基礎(chǔ)性，故在研究圓錐曲線時(shí)，要研究幾種特殊的圓.

3.1 輔助圓

借助輔助圓，可以探究橢圓的切線.

性質(zhì)2(過橢圓上一點(diǎn)作切線)橢圓和輔助圓的對(duì)應(yīng)弦相交于長(zhǎng)軸所在直線上.如圖，點(diǎn)F、G為橢圓長(zhǎng)軸上的點(diǎn)，過點(diǎn)F、G分別作垂直于長(zhǎng)軸的線交橢圓和圓于點(diǎn)A、D、B、C，則對(duì)應(yīng)弦AB、DC所在直線交于x軸上一點(diǎn)E.

運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)，可以作過橢圓上一點(diǎn)的切線.

性質(zhì)3(過橢圓外一點(diǎn)作切線)從焦點(diǎn)引橢圓上任一點(diǎn)的切線的垂線，則切線與垂線的交點(diǎn)在該橢圓的輔助圓上.

運(yùn)用這條性質(zhì)可以過橢圓外一點(diǎn)，作橢圓的切線.

過圓錐曲線焦點(diǎn)且垂直于橫軸的弦，叫通徑.過通徑的兩個(gè)端點(diǎn)作圓錐曲線的切線，切線斜率的絕對(duì)值恰好是離心率.這樣就溝通了斜率與離心率之間的關(guān)系，既然可以用斜率來刻畫圓錐曲線，即是所謂的圓錐曲線的“第三定義”，也可以用離心率來刻畫圓錐曲線.

這可以認(rèn)為是為什么要研究圓錐曲線切線的理由之一.

3.2 阿波羅尼奧斯圓

阿波羅尼奧斯，古希臘數(shù)學(xué)家，所著《圓錐曲線論》代表了古希臘演繹幾何的最高成就.

依據(jù)上述阿氏圓定義不難得到以下結(jié)論：

3.3 蒙日?qǐng)A

蒙日，法國(guó)數(shù)學(xué)家，畫法幾何的創(chuàng)始人.蒙日不僅將分析應(yīng)用于幾何，同時(shí)也反過來用幾何去解釋微分方程，推動(dòng)了微分方程的發(fā)展.用特征曲線、特征錐(蒙日錐)探討偏微分方程的特征理論.

借助蒙日?qǐng)A，可以得到一些優(yōu)美性質(zhì):

3.4 相切圓

由定義不難得到，在橢圓中，以焦半徑為直徑的圓與輔助圓均內(nèi)切；在雙曲線中以焦半徑為直徑的圓與輔助圓一個(gè)外切，一個(gè)內(nèi)切；在拋物線中，以焦半徑為直徑的圓與y軸相切；以過拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與其準(zhǔn)線相切.

對(duì)雙曲線、拋物線也有類似的性質(zhì).

橢圓上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成焦點(diǎn)三角形△PF1F2，則其旁切圓的圓心B在長(zhǎng)軸上的射影是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且PB是橢圓的一條切線.

雙曲線上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成焦三角形△PF1F2，則其內(nèi)切圓的圓心B在實(shí)軸上的射影是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，且PB是雙曲線的一條切線.

拋物線上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F的連線為PF，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線PM，垂足為M，作圓B與PF，PM及軸DF同時(shí)相切，則圓心B在軸上的射影是拋物線的頂點(diǎn)，且PB是拋物線的一條切線.

還可以探討圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓等主題.

借助圓，圓錐曲線的性質(zhì)得到了進(jìn)一步的開發(fā).

4 分析與討論

上面討論圓的基礎(chǔ)性，從內(nèi)容上看，的確可以以圓為線索把直線、圓、圓錐曲線的內(nèi)容“一線串”起來，加強(qiáng)內(nèi)容之間的內(nèi)聚性.這是教育數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，教育數(shù)學(xué)還可以通過數(shù)學(xué)研究得到另外的見解.

強(qiáng)調(diào)圓的基礎(chǔ)性，和前面所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行了有機(jī)的溝通，使平面幾何更“有用”.由三角函數(shù)及現(xiàn)在圓對(duì)解析幾何內(nèi)容串通性的研究知道，那種任意刪減平面幾何課程的做法值得商榷.課程的編寫一方面要尊重?cái)?shù)學(xué)歷史的發(fā)展，另一方面要強(qiáng)調(diào)邏輯的內(nèi)在一致性，使學(xué)生從內(nèi)在和諧性中感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在和諧美.這也是一種“立德樹人”.數(shù)學(xué)不是支離破碎的，教育數(shù)學(xué)的研究彌補(bǔ)了課程教材在這方面的不足.

還要強(qiáng)調(diào)發(fā)展性.如果沒有發(fā)展，完全回到圓，圓錐曲線就沒有研究的必要了.這時(shí)，就要強(qiáng)調(diào)圓錐曲線中為圓所沒有的元素.焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率這些圓錐曲線所特有的概念，要重點(diǎn)加以關(guān)注，而且還要溝通它們之間的關(guān)聯(lián).而課程標(biāo)準(zhǔn)、教材則恰恰把這部分內(nèi)容給刪除去了.這樣的后果之一必會(huì)使學(xué)生看到，A就A，B就是B，兩者之間沒有任何關(guān)聯(lián).這種做法或教法，早就引起了學(xué)者的注意“為什么許多國(guó)家不教圓錐曲線？我們則是高考的大頭？”刪除了這部分內(nèi)容，學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)并沒有減輕，“題海還題海，刷題還是刷題”.注重發(fā)展性，為后面以微積分的觀點(diǎn)研究幾何、用射影的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)二次曲線打下了伏筆.

“教什么，怎樣教”，歷來是教育學(xué)討論的重要主題.有人認(rèn)為，教什么比怎樣教更重要，有的觀點(diǎn)則恰好相反.通過教育數(shù)學(xué)的研究，可以認(rèn)為，“教什么”是內(nèi)容選擇，無論“怎樣教”都要注意內(nèi)在的和諧統(tǒng)一性；“怎樣教”是方法選擇問題，要注意歷史上種種研究方法在教學(xué)法上的表現(xiàn)，要以基本內(nèi)容為載體，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.按核心素養(yǎng)的說法，發(fā)展學(xué)生能力的最高水平是知識(shí)創(chuàng)新，以圓錐曲線為載體，讓學(xué)生充分地學(xué)會(huì)類比、猜想，做數(shù)學(xué)，而不是簡(jiǎn)單地解幾道考試題，更有教育價(jià)值.