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        指數(shù)分布無(wú)失效數(shù)據(jù)下參數(shù)的單側(cè)M-Bayes估計(jì)

        2019-08-29 09:17:52李億民
        關(guān)鍵詞:指數(shù)分布置信均勻分布

        李億民

        (山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 淄博 255049)

        對(duì)于指數(shù)分布的定數(shù)截尾壽命試驗(yàn),已經(jīng)有了比較成熟的處理方法[1-2]。對(duì)于定時(shí)截尾壽命試驗(yàn),如果規(guī)定的截尾時(shí)間較短,特別是對(duì)于高可靠產(chǎn)品,在規(guī)定時(shí)間內(nèi)失效個(gè)數(shù)往往比較少,甚至出現(xiàn)無(wú)失效的情形[3-5]。

        設(shè)產(chǎn)品壽命T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,即

        T~f(t)=λexp{-λt},t>0

        (1)

        式中:λ>0為產(chǎn)品的失效率,R(t)=exp{-λt}為產(chǎn)品在時(shí)刻t的可靠度。

        為了充分利用產(chǎn)品的試驗(yàn)信息{(ni,0,τi),i=1,2,…,m}和總體參數(shù)的先驗(yàn)信息,對(duì)式(1),本文試圖給出參數(shù)λ的單側(cè)M-Bayes置信上限[6]和可靠度R(t)的單側(cè)M-Bayes置信下限,并討論估計(jì)量的有關(guān)性質(zhì)。

        1 失效率λ的單側(cè)M-Bayes置信上限定義

        對(duì)于參數(shù)λ,可以選擇其先驗(yàn)密度函數(shù)為

        π(λ|a)=aexp(-aλ),λ>0

        (2)

        式中a>0為超參數(shù)[6]。

        證明 在無(wú)失效數(shù)據(jù){(ni,0,τi),i=1,2,…,m}情況下,樣本的似然函數(shù)為L(zhǎng)(0|λ)=exp{-Sλ},若λ的先驗(yàn)密度函數(shù)由式(2)給出,由Bayes定理,得參數(shù)λ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

        對(duì)于a>0,假定其上界為c,由于不知a服從(0,c)上的具體分布類型,為此,假定其密度函數(shù)為

        (3)

        (4)

        式中j≥0。當(dāng)j=0時(shí),即為(0,c)上的均勻分布;兩種密度函數(shù)從圖形上差別較大,式(3)為a的嚴(yán)格遞減函數(shù),式(4)為a的嚴(yán)格遞增函數(shù)。在對(duì)參數(shù)沒有任何信息時(shí),常常選用無(wú)信息先驗(yàn)分布,即選擇均勻分布。在式(3)、式(4)中,選擇了參數(shù)的單調(diào)遞減函數(shù)和單調(diào)遞增函數(shù),即選擇了比較極端的先驗(yàn)分布情況下對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì),目的在于比較極端情況下參數(shù)估計(jì)結(jié)果的差異,從而說(shuō)明該方法的穩(wěn)健性。

        2 失效率λ的單側(cè)M-Bayes置信上限函數(shù)性質(zhì)

        證明 (i)由定義,得

        對(duì)任意0

        (5)

        所以

        3 可靠度R(t)的單側(cè)M-Bayes置信下限定義

        為便于應(yīng)用,本文給出a的3個(gè)特殊先驗(yàn)密度函數(shù)為:

        (6)

        (7)

        (8)

        (i)固定c,參數(shù)λ的置信水平為1-α(0<α<1)的單側(cè)M-Bayes置信上限分別為:

        4 實(shí)例分析

        現(xiàn)有某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的一組無(wú)失效數(shù)據(jù),見表1。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn),該產(chǎn)品的壽命T服從失效率為λ的指數(shù)分布式(1)。

        表1 發(fā)動(dòng)機(jī)的無(wú)失效數(shù)據(jù)
        Tab.1 No failure data for engine

        i 123 4 5τi/s115185 783 8701 450ni/個(gè)27 13 4 52

        c 15001 0003 0005 000極差λ^MBU11.885 0×10-41.870 4×10-41.856 1×10-41.802 2×10-41.753 0×10-42.320×10-5λ^MBU21.884 9×10-41.856 0 ×10-4 1.828 1×10-4 1.726 8×10-41.639 0×10-42.459×10-5λ^MBU31.884 9×10-41.846 4×10-41.809 5×10-4 1.677 0×10-41.563 2×10-43.217×10-5極差0.01×10-62.40×10-6 4.66×10-612.52×10-618.98×10-6

        c 1 5001 000 3 0005 000極差R^MBU1(100)R^MBU2(100)R^MBU3(100)極差0.9813 2 0.981 47 0.981 610.982 140.982 620.001 290.981 330.981 610.981 890.982 880.983 740.002 410.981 330.981 710.982 070.983 370.984 490.003 160.000 010.000 240.000 460.001 230.001 87R^MBU1(500)R^MBU2(500)R^MBU3(500)極差 0.910 050.910 720.911 370.913 830.916 080.006 02 0.910 060.911 380.912 650.917 280.921 320.011 260.910 060.911 810.913 500.919 670.924 820.014 76 0.000 010.001 090.002 130.006 840.008 74

        從計(jì)算結(jié)果看,無(wú)論是失效率λ的還是可靠度R(t)的單側(cè)M-Bayes估計(jì),在0

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