潘正高，趙晉陵

1.宿州學院安徽省農(nóng)業(yè)生態(tài)大數(shù)據(jù)工程實驗室宿州實驗室，安徽宿州,234000；2.安徽大學農(nóng)業(yè)生態(tài)大數(shù)據(jù)分析與應用技術(shù)國家工程研究中心，安徽合肥，230601

土壤養(yǎng)分是土壤提供植物生長所必需的營養(yǎng)元素[1-3]。了解土壤養(yǎng)分的空間分布是開展土壤試驗和配方施肥，開展精準農(nóng)業(yè)的基礎(chǔ)。緩效鉀是存在于土壤層狀硅酸鹽礦物層間的一些鉀離子，屬于非交換性鉀，是土壤有效鉀的一部分。土壤中的緩效鉀是速效鉀的儲備，當土壤中速效鉀由于作物吸收而減少時，緩效鉀就會釋放出來以補充速效鉀的缺失[4]。由于土壤養(yǎng)分分布的復雜性和樣本數(shù)據(jù)的局限性，依靠傳統(tǒng)的現(xiàn)場測量難以了解整個研究區(qū)域的養(yǎng)分分布情況?？臻g插值技術(shù)可以從離散的地面真實數(shù)據(jù)中得到空間分布趨勢，極大地促進了大規(guī)模評價土壤養(yǎng)分的工作[5]。

空間插值分析是地理信息系統(tǒng)(GIS,Geographic Information System) 中常用的空間分析方法，也是GIS系統(tǒng)區(qū)別于其他信息系統(tǒng)的重要特征之一[6-7]?？臻g位置距離已知觀測點越近，特征值越接近；空間位置距離已知觀測點越遠，其特征值越不可能相似。這是空間插值技術(shù)最基本的理論假設[8]。在這一理論假設的基礎(chǔ)上，學者們提出了反距離加權(quán)插值、克里金插值、樣條函數(shù)插值、趨勢曲面插值等多種插值方法。

一般情況下，研究者需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的分布特點選擇不同的插值方法。本文以土壤養(yǎng)分中的緩效鉀(SAK，Slowly Available Potassium)為研究對象， 對不同插值分析方法的有效性進行比較研究，以期找出土壤中SAK的最優(yōu)插值方法。

1 材料和方法

1.1 收集和預處理土壤養(yǎng)分數(shù)據(jù)

本文收集了宿州市埇橋區(qū)農(nóng)村麥田土壤養(yǎng)分數(shù)據(jù)。采用網(wǎng)格單點采樣方法，利用亞米高分辨率GPS接收機對采樣點進行精確定位，共收集178個樣本點。利用GIS軟件ArcGIS[9]將GPS測得的采樣點記錄坐標轉(zhuǎn)換為空間坐標的空間點，并進行投影變換，生成含有緩效鉀養(yǎng)分含量信息的樣本分布。

1.2 反距離加權(quán)(IDW,Inverse Distance Weighted)

反距離加權(quán)(IDW)插值法是使用一組采樣點的權(quán)值的線性組合來確定像素點的值[10]。權(quán)值是一個逆距離函數(shù)，其函數(shù)表達式如式(1)(2)所示。

(1)

(2)

其中，ve是與采樣點(xi,yi)相關(guān)的變量值，λi是權(quán)重系數(shù)，p是指數(shù)值，di0是預測點s0與已知樣點si之間的距離。樣點在預測點值的計算過程中所占權(quán)重的大小受參數(shù)p的影響，也就是說，隨著采樣點與預測值之間距離的增加，標準樣點對預測點影響的權(quán)重按指數(shù)規(guī)律減少。在預測過程中，各樣點值對預測點值作用的權(quán)重大小是成正比例的，這些權(quán)重值的總和為1。通過計算均方根的最小誤差，可以求出最佳值。因此，需要插值的曲面是具有局部因變量的曲面。該方法假定，映射變量的減小是由于受到樣本位置之間距離的影響。該方法所有的樣本點都參與未知點的Z值估計，適合樣本數(shù)據(jù)集均勻分布情況，是一種全局插值方法。它是一種精確的插值方法，即插值生成的曲面上的預測樣本點值與實測樣本點值完全相等。

1.3 普通克里金(OK，Ordinary Kriging)

克里金法是一種高級統(tǒng)計方法，通過一組Z值的離散點生成估計曲面[11]。不同于其他插值方法，克里金法采用產(chǎn)生輸出曲面的最佳估計方法，對Z值表示現(xiàn)象的空間行為進行綜合研究。它假設采樣點之間的距離或方向能夠反映出空間相關(guān)性，進而用來說明表面變化。克里金法可以通過數(shù)學函數(shù)擬合指定數(shù)量的樣本點或者指定半徑范圍內(nèi)的樣本點，以確定每個位置的輸出值，常用樣本點的數(shù)據(jù)加權(quán)和表示，如式(3)所示。

(3)

其中Z(si)為位置i的實測值，λi為位置i的未知權(quán)重，s0為未測量位置，N是測量指標。權(quán)重不僅由測點之間的距離決定，還由預測位置決定；它還取決于基于測量點的整體空間布局。該方法常用于土壤科學和地質(zhì)學中。

1.4 樣條函數(shù)(Spline，Spline Function)

樣條函數(shù)插值分析法是采用數(shù)學函數(shù)來估計值，這些函數(shù)最小化了整個曲面的曲率，從而生成剛好通過輸入點的平滑曲面[12]。

樣條函數(shù)有兩種方法：正則樣條函數(shù)和張力樣條函數(shù)。正則樣條函數(shù)方法使用可能超出示例數(shù)據(jù)范圍的值來創(chuàng)建一個漸進光滑的表面。張力樣條函數(shù)法根據(jù)建?，F(xiàn)象的特點控制表面硬度。它使用樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)更嚴格約束的值創(chuàng)建一個不太平滑的表面，曲面插值公式如式(4)。

(4)

其中,N是點的數(shù)量，λj是通過求解一個線性方程組得到的系數(shù)，rj是點(x,y)到點j的距離。根據(jù)所選取的選項，T(x,y)和R(x,y)是不同的。

對于正則化選項，T(x,y)和R(x,y)如方程式(5)和(6)所示。

T(x,y)=a1+a2x+a3y

(5)

(6)

其中，r表示點到樣本之間的距離，τ2是權(quán)重參數(shù)，K0是修正貝塞爾函數(shù)，c是常數(shù)0.577215。權(quán)重參數(shù)τ2確定了在最小化過程中依附于三階導數(shù)項的權(quán)重，增大權(quán)重參數(shù)可以獲得更平滑的曲面，一般取0到0.5之間的值，使用正則化選項可以確保曲面光滑和一階導數(shù)曲面光滑。該方法主要用于計算插值曲面的二階導數(shù)的情況。

對于張力選項，T(x,y)和R(x,y)如式(7)和(8)所示。

T(x,y)=a1

(7)

(8)

其中，r是點到樣本的距離，φ2是權(quán)重參數(shù)，K0是修正貝塞爾函數(shù)，c表示常數(shù)0.577215。權(quán)重參數(shù)確定了在最小化過程中依附于一階導數(shù)項的權(quán)重，當權(quán)值為零時，它就是基準的板樣條函數(shù)插值方法。

1.5 趨勢插值(Trend Interpolation)

趨勢插值是一種全局多項式插值方法，它能擬合由多項式函數(shù)和輸入采樣點定義的光滑曲面[13]。趨勢面將逐漸變化，并在數(shù)據(jù)中捕獲粗尺度模型。模型函數(shù)如式(9)所示。

(9)

1.6 插值結(jié)果檢驗

在生成最終曲面之前，我們需要知道模型在預測未知位置的值的精度。本文采用交叉驗證的方法來測定模型的質(zhì)量[14-16]。目標模型的平均誤差(ME)應該接近于0，且具有較小的均方根誤差(RMSE)。本文以RMSE作為評價四種插值方法的指標，其公式如式(10)所示。

(10)

2 空間插值的結(jié)果和分析

2.1 插值結(jié)果比較

2.1.1 克里金插值模型的比較

普通克里金插值是應用最廣泛的克里金插值，它包括許多半方差函數(shù)類型。本文選取球面函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和高斯函數(shù)三種模型進行插值。三種模型的預測誤差如表1所示。由表可知，指數(shù)函數(shù)模型的RMSE最小，插值效果最好。

表1 普通克里金插值模型的比較

2.1.2 樣條函數(shù)插值模型的比較

采用正則樣條函數(shù)法和張力樣條函數(shù)法進行樣條插值，預測誤差如表2所示。對比兩種插值方法的均方根誤差，張力樣條的RMSE最小。因此，張力樣條函數(shù)的插值方法更為合適。

表2 樣條插值模型的比較

2.2 插補精度分析

本文選擇RMSE作為插補精度的比較指標。我們知道，絕對值越接近，均方根誤差就越小。表3為各種插補方法的交叉驗證結(jié)果。由表可知，克里金插值法的均方根誤差最小，其中指數(shù)函數(shù)法插值法最優(yōu)。

表3 各種插補方法的交叉驗證結(jié)果

3 結(jié) 語

采用不同插值方法對宿州市埇橋區(qū)土壤養(yǎng)分中緩效鉀的插值結(jié)果進行了比較，普通克里金法插值精度高于其他三種插值方法。因此，考慮到插補精度和計算過程的復雜性，普通克里金法是緩效鉀插補的最佳選擇。插值方法的選擇是數(shù)據(jù)類型和計算效率之間的平衡，任何方法都不是絕對唯一的。由于采樣點的密度、現(xiàn)場數(shù)據(jù)的取值或變化范圍、地面液體的復雜程度等因素的影響，不同插值產(chǎn)生的結(jié)果可能會有較大的差異。本文只選取了四種插值方法進行比較，其他插值方法的選擇還需要進一步研究。