石志群

(江蘇省泰州市教研室 225300)

數(shù)學(xué)教學(xué)要突出學(xué)科本質(zhì)是所有數(shù)學(xué)教育工作者的共識，為什么要突出學(xué)科本質(zhì)？如何突出數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)呢？這是值得我們思考和研究的基本問題.本文是筆者對這個問題的個人認(rèn)識，只是一孔之見，不當(dāng)之處，敬請指正.

1 一個案例

“橢圓的基本性質(zhì)”是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，也是各種公開課經(jīng)常選擇的教學(xué)內(nèi)容.從筆者所了解的情況看，由于對上述兩個問題的認(rèn)識不到位，導(dǎo)致出現(xiàn)了教學(xué)定位的偏差，從而導(dǎo)致教學(xué)路徑的反向：大多數(shù)教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)(研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn))，先確定研究方向：定義域、值域、變化趨勢、對稱性等，再通過圖形觀察猜想相關(guān)性質(zhì)，最后用橢圓的方程加以證明(或驗(yàn)證).

筆者認(rèn)為，“橢圓的基本性質(zhì)”一課的教學(xué)定位應(yīng)該是：根據(jù)橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)？基于這樣的認(rèn)識，這節(jié)課剛開始時就不應(yīng)該畫出橢圓的圖形，而是從橢圓的方程進(jìn)入新的學(xué)習(xí)過程：

1.問題情境：我們已經(jīng)用解析法研究了直線、圓的幾何性質(zhì)，初步了解了解析幾何的基本思想：用代數(shù)方法研究幾何問題(板書：幾何代數(shù)).它包含兩個方面：將幾何對象代數(shù)化(板書：曲線方程)，即將曲線用方程表示；通過曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì)(板書：曲線方程).最近，我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義，并求出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(板書：如何通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究其幾何性質(zhì)呢？

2．?dāng)?shù)學(xué)建構(gòu)

教師：因?yàn)榍€的幾何性質(zhì)是由曲線上的點(diǎn)所具有的特性決定的，所以，解析幾何的思想就是將曲線上的點(diǎn)所具有的特性轉(zhuǎn)化為對方程的解的特性進(jìn)行研究.

(板書：

……

從上例可以看出，教學(xué)的定位是進(jìn)行教學(xué)路徑選擇的基本依據(jù)，而教學(xué)路徑的確定又是正確設(shè)計(jì)教學(xué)過程的前提，而這一切均取決于教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì).違背了教學(xué)內(nèi)容的學(xué)科本質(zhì)，就不可能有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的價值.哪怕看上去是那么的“遵循”了常規(guī)與習(xí)慣.

2 數(shù)學(xué)教學(xué)如何突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

本質(zhì)，本意是指本身的形體，本來的形體，引申為事物本身所固有的根本的屬性.從哲學(xué)角度看，本質(zhì)是事物存在的根據(jù)，是某類事物區(qū)別于其它事物的基本特質(zhì).通過事物的本質(zhì)可以知道了這個事物在整個事件中的作用和運(yùn)作規(guī)律.因此，“數(shù)學(xué)本質(zhì)”就是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所固有的根本屬性，是本數(shù)學(xué)內(nèi)容區(qū)別于其它學(xué)科內(nèi)容的基本特質(zhì).從價值功能的角度看，數(shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)決定了該內(nèi)容在解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題時其運(yùn)用方法、規(guī)律及作用.根據(jù)上述分析，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)就是要突出地體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容在以下幾個方面的特質(zhì).

2.1 突出數(shù)學(xué)本質(zhì)就要充分揭示數(shù)學(xué)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)內(nèi)涵是指一個數(shù)學(xué)概念所反映的數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的總和，也就是數(shù)學(xué)概念的核心內(nèi)容，因此，內(nèi)涵是本質(zhì)的，數(shù)學(xué)內(nèi)涵一定反映數(shù)學(xué)本質(zhì).

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教材是先給出奇偶函數(shù)的定義，再研究它們的性質(zhì)(圖象對稱性)，現(xiàn)行教材為了突出提出問題的過程，加強(qiáng)探究性，普遍是先有對稱性，再提出研究課題.至于是否“欣賞”自然界、藝術(shù)作品中的對稱圖形，筆者認(rèn)為不是很重要的問題，而數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯關(guān)系倒需要引起重視：是從對稱圖形上發(fā)現(xiàn)f(-x)與f(x)的關(guān)系，還是研究因?yàn)榫哂羞@樣的關(guān)系才導(dǎo)致圖形的對稱性？這是函數(shù)奇偶性的內(nèi)涵的關(guān)鍵之所在！

在這個課題中，我們需要明確的是：為了刻畫圖象的對稱性，我們引入了函數(shù)的奇偶性的概念，而函數(shù)奇偶性的概念作為知識的整體由兩部分構(gòu)成：滿足這樣的條件的函數(shù)叫奇(偶)函數(shù)(概念)；奇(偶)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對稱(性質(zhì)).如果不能明確這個邏輯關(guān)系，就不可能正確認(rèn)識函數(shù)奇偶性的內(nèi)涵，從而使對知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)產(chǎn)生誤解甚至錯亂.

數(shù)學(xué)教學(xué)中此類問題不在少數(shù)，比如，講“函數(shù)的單調(diào)性”時，明明是從單調(diào)增函數(shù)的圖象“發(fā)現(xiàn)”其滿足“對區(qū)間上任意的x1

邏輯順序是數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的非常重要的方面，教學(xué)中要準(zhǔn)確地揭示其“數(shù)學(xué)本質(zhì)”.

2.2 突出數(shù)學(xué)本質(zhì)就要全面審視數(shù)學(xué)體系

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)通常寓于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)體系之中，只有從知識體系的整體架構(gòu)上進(jìn)行考察，才能準(zhǔn)確把握其數(shù)學(xué)本質(zhì).

“平面的基本性質(zhì)”是研究平面性質(zhì)的嗎？從標(biāo)題上看有些像，但看到具體內(nèi)容的“標(biāo)記”就會發(fā)現(xiàn)這個理解是錯誤的，因?yàn)樗鼈兎謩e被標(biāo)以“公理1”、“公理2”、……，公理是規(guī)定的，在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系中顯然不屬于“性質(zhì)”的范疇.如果對教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)搞偏了，教學(xué)定位就會出錯，教學(xué)路徑與教學(xué)過程也就不可能對路，這就是為什么我們讓學(xué)生探索平面的性質(zhì)時，學(xué)生根本無法操作(除非直接看教材)的原因所在.那么，“平面的基本性質(zhì)”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么呢？無論是歐幾里德的《幾何原本》，還是希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》，這些公理都是用來定義點(diǎn)、直線、平面等幾何元素及其之間關(guān)系的，也就是說，滿足了這些公理的數(shù)學(xué)對象就叫做點(diǎn)、直線、平面(歐氏幾何).不同的公理體系可以定義不同的幾何類別(歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何……)，不同類別幾何中的點(diǎn)、直線、平面的意義是不一樣的，這種區(qū)別就是因?yàn)楣?或部分公理)的不同而決定的.

我們學(xué)習(xí)的歐氏幾何中的點(diǎn)、直線、平面雖然沒有數(shù)學(xué)化的標(biāo)準(zhǔn)定義，但其描述性的定義還是有的，如點(diǎn)沒有大小，直線沒有粗細(xì)、筆直的、可以無限延長，平面沒有厚薄、平、可以無限延伸.因此，這里的公理的功能就是用來刻畫歐幾里德幾何中何為點(diǎn)、線、面，而刻畫的方法就是用它們之間的關(guān)系進(jìn)行，于是從點(diǎn)與面、線與面、面與面三個角度進(jìn)行刻畫就自然地確定了，它們分別對應(yīng)于公理3、公理1和公理2.

有了這樣的認(rèn)識，這部分內(nèi)容的教學(xué)定位就得以確定：不是研究平面的性質(zhì)，而是尋找刻畫平面的平、沒有厚薄、無限延伸等特點(diǎn)的“公理”，教學(xué)路徑就是分別從點(diǎn)與面、線與面、面與面的關(guān)系進(jìn)行刻畫.教學(xué)過程也就自然地清晰了，比如，“公理1”(如果一條直線上有兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi).)的教學(xué)可設(shè)計(jì)如下：

首先，通過寧靜的水面、標(biāo)準(zhǔn)的乒乓球臺的表面、鏡面等形成平面的初步“意象”，概括出平面的3個特性(特征)；

其次，提出學(xué)習(xí)任務(wù)：如何通過已經(jīng)學(xué)習(xí)過的點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系，建構(gòu)刻畫平面的這3個基本特性的數(shù)學(xué)模型？并引導(dǎo)學(xué)生明確三個路徑：直線與平面、平面與平面、點(diǎn)與平面；

第三，運(yùn)用學(xué)生的已有知識基礎(chǔ)(初中幾何的學(xué)習(xí)使學(xué)生已經(jīng)知道了：直線沒有粗細(xì)、筆直的、無限延長(沒有端點(diǎn)或終點(diǎn)))探索，如何用直線與平面的關(guān)系刻畫平面的3個特征.如果需要，可以用木匠檢測桌面是否“平”的方法進(jìn)行啟發(fā)，讓學(xué)生自己抽象、概括出公理1的內(nèi)容；

第四，反思：“公理1”怎樣刻畫了平面的3個基本特性？(“直線上所有點(diǎn)都在平面內(nèi)”，由直線的無限延長的特性得到平面的無限延伸的特性；由直線的“直”說明了平面的“平”.)

對公理2、公理3都可以采用上述流程實(shí)施教學(xué)過程.如公理2“如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么這兩個平面相交于過這點(diǎn)的一條直線”，由“相交于一條直線”可以推出“無限延伸”、“平”、“沒有厚薄”3 個特性.

2.3 突出數(shù)學(xué)本質(zhì)就要深入分析數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)學(xué)科由很多不同分支構(gòu)成，這些數(shù)學(xué)分支除了具有數(shù)學(xué)的一些共同的思想外，不同的數(shù)學(xué)分支又有其獨(dú)特的基本思想方法，這種思想方法的獨(dú)特性決定了它們在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)觀念方面的不同作用.數(shù)學(xué)教學(xué)要突出教學(xué)內(nèi)容作為數(shù)學(xué)的學(xué)科分支所具有的獨(dú)特的基本思想，比如，解析幾何教學(xué)就要突出“用代數(shù)工具研究幾何圖形性質(zhì)”的基本思想，因?yàn)槲覀兩系氖墙馕鰩缀握n.上文中的“橢圓的基本性質(zhì)”一課充分說明了這一點(diǎn).

能夠發(fā)現(xiàn)x有怎樣的特性？(實(shí)數(shù)的特性就是其取值范圍的限制)這個特性的幾何意義是什么？(反映到圖形上，有怎樣的性質(zhì)？)

……

也就是說，要圍繞解析幾何的基本思想，始終從方程出發(fā)，發(fā)現(xiàn)代數(shù)上的限定、關(guān)系、特性、規(guī)律，再進(jìn)行幾何解釋，得到曲線(圖形)所具有幾何性質(zhì).這才是真正意義上的解析幾何課.

當(dāng)然，從單個坐標(biāo)到點(diǎn)的坐標(biāo)、從坐標(biāo)到方程，這種從簡單到復(fù)雜的研究路徑也是數(shù)學(xué)思維的常見方式，需要在教學(xué)中加以滲透.

2.4 突出數(shù)學(xué)本質(zhì)就要注重凸顯內(nèi)在關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)本質(zhì)通常體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在關(guān)系之中，凸顯數(shù)學(xué)知識內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，就能揭示出教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì).

在一次省級優(yōu)課評比活動中，課題是“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”，某教師這樣導(dǎo)入新課：如何求sin390°的值？對于手握現(xiàn)代技術(shù)的學(xué)生而言，這絕對不是個難題，也不需要所謂的誘導(dǎo)公式；從數(shù)學(xué)價值和其對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展看，這種實(shí)用性的問題會降低教學(xué)內(nèi)容的教育價值；從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)的規(guī)律看，這種孤立的問題無法促使學(xué)生從整體上、結(jié)構(gòu)上認(rèn)識數(shù)學(xué)；……總之，這是一個意義不大的“問題”.

我們可以這樣提出本節(jié)課的主問題“我們剛剛建構(gòu)了刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型(或者：我們知道，三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型)，那么，它是怎樣來刻畫周期現(xiàn)象的呢？它有著怎樣的性質(zhì)呢？”這是從知識之間的整體結(jié)構(gòu)上提出問題的，是對我們前期數(shù)學(xué)建構(gòu)的成果的進(jìn)一步確認(rèn)，也是數(shù)學(xué)研究中必須要經(jīng)歷的步驟：我們所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型是否達(dá)到了當(dāng)初的設(shè)想？這樣的數(shù)學(xué)模型具有哪些性質(zhì)？

誘導(dǎo)公式1揭示的是三角函數(shù)確實(shí)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，借助單位圓這個原型，從點(diǎn)的周期性運(yùn)動，到角的周期性運(yùn)動，再到三角函數(shù)的周期性變化，就形成了內(nèi)在關(guān)聯(lián)的整體，三角函數(shù)刻畫周期現(xiàn)象的本質(zhì)就顯得非常明了了.當(dāng)然，kπ+α(kZ)與α的正切函數(shù)之間的關(guān)系與公式1有著類似的特點(diǎn).

其它的幾個誘導(dǎo)公式都是分別從單位圓上點(diǎn)的不同的對稱關(guān)系，揭示了這些對稱關(guān)系的幾何表示(具有對稱關(guān)系時對應(yīng)的角)與代數(shù)表示(終邊過這些點(diǎn)的角的三角函數(shù))的關(guān)系，因此，誘導(dǎo)公式實(shí)質(zhì)是將終邊對稱的圖形關(guān)系“翻譯”成三角函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系.

歸結(jié)起來，所有的誘導(dǎo)公式都是對我們選擇的作為研究周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)原型：單位圓的基本性質(zhì)的代數(shù)化研究(單位圓的幾何特征的代數(shù)表征).這樣，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的知識結(jié)構(gòu)框架就建立了，知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)就明確了，所以，其數(shù)學(xué)本質(zhì)也自然就得到揭示.

上述分析說明，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式既是刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型這一工作的自然延續(xù)(與任意角三角函數(shù)概念的聯(lián)系)，又是對研究的原型(單位圓)與建構(gòu)的模型的關(guān)系的揭示，整個過程是由數(shù)學(xué)研究的“基本套路”決定的.

明確了上述問題，本節(jié)課的教學(xué)定位、教學(xué)路徑及教學(xué)過程就一目了然了.

2.5 突出數(shù)學(xué)本質(zhì)就要努力挖掘知識背景

數(shù)學(xué)內(nèi)容的產(chǎn)生都是基于一定的現(xiàn)實(shí)或理論背景的，即知識的生長點(diǎn)(種子)，是知識系統(tǒng)之根(種子生根于土壤，才能形成生命這樹).生命之樹源自種子，生于根基，因此，種子與根基自然地就決定了生命的根本屬性，從數(shù)學(xué)來看，就是數(shù)學(xué)本質(zhì).數(shù)學(xué)教學(xué)需要揭示內(nèi)容的背景，只有這樣，才能揭示必要性、合理性，才能讓學(xué)生認(rèn)識到其本源所在，本質(zhì)所指.

最近看到章建躍先生的一本書[注]章建躍.數(shù)學(xué)教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017，6，章先生對目前各地中考試卷中關(guān)于二次函數(shù)綜合試題的評價非常中肯，這些胡編亂造的所謂“能力”題，完全背離了函數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，其對教學(xué)的導(dǎo)向非常有害.

盡管數(shù)學(xué)中有很多人為編造的函數(shù)(如著名的“狄里克雷函數(shù)”)，但在函數(shù)概念形成之初，它是基于描述或刻畫一個變化過程中的兩個變化狀態(tài)之間的關(guān)系的需求的，通過將狀態(tài)的數(shù)量化，得到兩個變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，即函數(shù)模型.即使是數(shù)學(xué)中的一些著名的、人為編造的函數(shù)，都是數(shù)學(xué)家們基于一定的目的，用以完善數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的產(chǎn)物.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)就應(yīng)該充分地揭示函數(shù)的這一背景，以通過背景揭示函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì).

為此，函數(shù)概念的教學(xué)不應(yīng)該從幾個具體函數(shù)例子(如解析式給出的、表給出的及圖象給出的)，讓學(xué)生研究它們的共同特征(學(xué)生很難知道為什么要研究它們的共同特征，也不具備概括、提煉共同特征的能力)，而應(yīng)該給一個具體的背景性的應(yīng)用性問題，如：如何知道水庫里的蓄水量？水庫工作人員是根據(jù)什么知道水庫蓄水量的？借助水庫里的標(biāo)示水位的桿子啟發(fā)學(xué)生：只要知道了水位，就可以知道蓄水量，然后提出問題：為什么知道了水位就能確定蓄水量呢？這里的蓄水量與水位有著怎樣的關(guān)系呢？

通過這個問題的研究，學(xué)生就能夠弄清函數(shù)概念的本質(zhì)：單值對應(yīng)，而且對要求具有“單值對應(yīng)”特征的原因有了充分的認(rèn)識.

當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)的情況是，怎么教還取決于怎么考，所以，章先生批評甚至可以說是批判的考試命題的問題同樣影響著數(shù)學(xué)教學(xué)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的追求.從目前看，在這方面情況并沒有好轉(zhuǎn)，并有愈演愈烈之勢.這是很令人擔(dān)憂的.

以上討論了數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，還很不全面，甚至可能有的觀點(diǎn)很值得商榷.但筆者以為，數(shù)學(xué)教學(xué)必須堅(jiān)持突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，因?yàn)槲覀兪窃诮虜?shù)學(xué)，是在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并通過其達(dá)成立德樹人的根本目標(biāo).