2019年5月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2481設a,b,c>0,證明：

(安徽省六安第二中學 陶興紅 237005)

證明由均值不等式得

由柯西不等式得

當且僅當a=b=c時取等號.

(安徽省樅陽縣宏實中學 江保兵 246700 )

證明連接O1A,O1B,O1D,O1O2,O1P,O1Q,PQ，設O1O2與PQ的交點為點F.

由題意O1O2⊥PQ，O1P=O1Q，所以∠O1PF=∠O1QF=∠PBO1，

所以 ∠PAQ+∠PBO1=∠PO1F+∠O1PF=90°，

即BO1⊥AC，

在圓O2中，BD為直徑，BO1⊥DO1,

所以AC//O1D;

同理CO1⊥AB，

即O1為△ABC的垂心，有AO1⊥BC.

在圓O2中，BD為直徑，

所以CD⊥BC,所以AO1//CD;

所以四邊形AO1DC為平行四邊形，

即CD=AO1=r.

2483在△ABC中，求證：

(四川成都金牛西林巷18號晨曦數(shù)學工作室 宿曉陽 610031)

證明先證在△ABC中，有

(1)

事實上，由

易知(1)式等價于

這是三角形中的常用恒等式，顯然成立.

故(1)式成立.于是在(1)式中作變換

即知證式成立.

(河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)

得AB//CD.

故△MBA∽△MDC(不妨如圖1)．

圖1

設AB、CD的中點分別為F、G，

連結(jié)MF、MG．則由△MBA∽△MDC，

故∠FMA=∠GMC．

同理∠FMB=∠GMD．

于是∠FMB+∠BMC+∠CMG=∠CMD+∠BMC=180°，

從而F、M、G三點共線．

得(a2+4b2)x2-4a2mx+4a2(m2-b2)=0，

2485在△ABC中,設a,b,c,ha,hb,hc,R分別為三邊長、三個高線長及外接圓半徑,指數(shù)p為正數(shù),求證

(1)

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

證明首先證明一個結(jié)論

由不等式(1)的全對稱性,不妨設A≥B≥C,則有

同時有1-2cosA≥0及1-2cosC≤0.

又設不等式(1)左右之差為M,并注意到有ha=2RsinBsinC,那么

即原不等式成立.

2019年6月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(河南省南陽師范學院軟件學院 李居之 孫文雪 473061)

圖1

(成都市金牛區(qū)蜀漢路369號2-2-35 張殿書 610036)

A0x2n+1-A2x2n-1+A4x2n-3-A6x2n-5+…+(-1)nA2nx+(-1)n+1sin(2n+1)α=0

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學院 李永利 467000)

2489已知O為銳角△ABC的外心，過O的直線交AB、AC所在的直線于P、Q兩點.求證：

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)