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        ?

        數(shù)學問題解答

        2019-08-22 01:01:10
        數(shù)學通報 2019年6期
        關鍵詞:外接圓同理安徽省

        2019年5月號問題解答

        (解答由問題提供人給出)

        2481設a,b,c>0,證明:

        (安徽省六安第二中學 陶興紅 237005)

        證明由均值不等式得

        由柯西不等式得

        當且僅當a=b=c時取等號.

        (安徽省樅陽縣宏實中學 江保兵 246700 )

        證明連接O1A,O1B,O1D,O1O2,O1P,O1Q,PQ,設O1O2與PQ的交點為點F.

        由題意O1O2⊥PQ,O1P=O1Q,所以∠O1PF=∠O1QF=∠PBO1,

        所以 ∠PAQ+∠PBO1=∠PO1F+∠O1PF=90°,

        即BO1⊥AC,

        在圓O2中,BD為直徑,BO1⊥DO1,

        所以AC//O1D;

        同理CO1⊥AB,

        即O1為△ABC的垂心,有AO1⊥BC.

        在圓O2中,BD為直徑,

        所以CD⊥BC,所以AO1//CD;

        所以四邊形AO1DC為平行四邊形,

        即CD=AO1=r.

        2483在△ABC中,求證:

        (四川成都金牛西林巷18號晨曦數(shù)學工作室 宿曉陽 610031)

        證明先證在△ABC中,有

        (1)

        事實上,由

        易知(1)式等價于

        這是三角形中的常用恒等式,顯然成立.

        故(1)式成立.于是在(1)式中作變換

        即知證式成立.

        (河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)

        得AB//CD.

        故△MBA∽△MDC(不妨如圖1).

        圖1

        設AB、CD的中點分別為F、G,

        連結(jié)MF、MG.則由△MBA∽△MDC,

        故∠FMA=∠GMC.

        同理∠FMB=∠GMD.

        于是∠FMB+∠BMC+∠CMG=∠CMD+∠BMC=180°,

        從而F、M、G三點共線.

        得(a2+4b2)x2-4a2mx+4a2(m2-b2)=0,

        2485在△ABC中,設a,b,c,ha,hb,hc,R分別為三邊長、三個高線長及外接圓半徑,指數(shù)p為正數(shù),求證

        (1)

        (天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

        證明首先證明一個結(jié)論

        由不等式(1)的全對稱性,不妨設A≥B≥C,則有

        同時有1-2cosA≥0及1-2cosC≤0.

        又設不等式(1)左右之差為M,并注意到有ha=2RsinBsinC,那么

        即原不等式成立.

        2019年6月號問題

        (來稿請注明出處——編者)

        (河南省南陽師范學院軟件學院 李居之 孫文雪 473061)

        圖1

        (成都市金牛區(qū)蜀漢路369號2-2-35 張殿書 610036)

        A0x2n+1-A2x2n-1+A4x2n-3-A6x2n-5+…+(-1)nA2nx+(-1)n+1sin(2n+1)α=0

        (1)

        (河南質(zhì)量工程職業(yè)學院 李永利 467000)

        2489已知O為銳角△ABC的外心,過O的直線交AB、AC所在的直線于P、Q兩點.求證:

        (江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

        (河南輝縣一中 賀基軍 453600)

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