◆白雨飛

(河北省石家莊市第二中學)

一、引言

隨著人們對大自然的探索與開發(fā)，人們對幾何圖形的應用日益增多，也逐漸體會到了其形狀的美麗，從而引發(fā)了人們對幾何圖形的研究，幾何學應運而生。隨著對幾何圖形研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)用邊角關(guān)系推算類似圓錐曲線等復雜圖形時十分困難，直到1637年笛卡爾發(fā)明了坐標系，通過借助坐標系采用代數(shù)方法解決幾何問題，可以把原本復雜幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換為簡單的代數(shù)運算，使得人們對幾何的認識更進一步。在計算機出現(xiàn)和發(fā)展之后，如何將幾何圖形呈現(xiàn)在計算機上成了一個迫在眉梢的問題。而坐標幾何就成了一個有利的手段，它在計算機中的實現(xiàn)一時成了人們研究的重要方向。

坐標幾何作為客觀幾何與計算機圖形實現(xiàn)的紐帶，其作用是十分巨大的?；谧鴺藥缀蔚闹匾饔茫瑢ψ鴺藥缀蔚膽靡饬x及其在計算機中的實現(xiàn)進行了深入的分析與總結(jié)，以此為進一步認識數(shù)學與計算機之間的關(guān)系奠定基礎(chǔ)。

二、坐標幾何及其應用

1.坐標幾何概念

坐標幾何是在笛卡爾坐標系的基礎(chǔ)上，由笛卡爾和費馬等數(shù)學家創(chuàng)立與發(fā)展的，用解析式法探究平面幾何中幾何對象性質(zhì)和關(guān)系的一門幾何學分支。坐標幾何包括平面坐標幾何與立體坐標幾何兩部分，通過笛卡爾坐標系，建立實數(shù)與坐標點的一一對應關(guān)系，和空間點線面與方程一一對應的關(guān)系，運用代數(shù)處理方法研究幾何圖形的性質(zhì)，或用幾何圖形的性質(zhì)研究代數(shù)問題。

2.坐標幾何的應用技巧

在面對平面解析幾何或立體幾何類型的問題時，應先在最便于構(gòu)造垂直的位置建立坐標系，之后用長度關(guān)系將各點用坐標表示，進而可以將點、線、面、體的幾何關(guān)系表示為坐標或方程，將所求結(jié)論轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式組，并聯(lián)立求解相關(guān)的問題。結(jié)合筆者的一些應用經(jīng)歷，有些問題可以通過坐標幾何的方法進行簡化處理。

(1)當遇到與向量垂直有關(guān)的問題時，若向量表示出現(xiàn)分數(shù)，則可直接同乘最小公倍數(shù)去掉分母，簡化后面運算且不會影響結(jié)果的準確性。

(2)當遇到斜率相同的線段長度比值時，可直接轉(zhuǎn)化為投影長度比，將大幅節(jié)省時間。

(3)在高中解析幾何問題求解過程中，有許多方便的結(jié)論可以直接使用，在許多題目中均可簡化過程：

①在橢圓x2/a2+y2/b2=1中，若P為橢圓上的一點(x0，y0)，則P的切線方程為x*x0/a2+y*y0/b2=1。

②在橢圓x2/a2+y2/b2=1中，若P為橢圓外的一點(x0，y0)，則過P引橢圓的兩條切線切于P1，P2，過P1P2的直線方程為x*x0/a2+y*y0/b2=1。

③在橢圓x2/a2+y2/b2=1中，不平行于橢圓長短軸的直線交橢圓于A，B兩點，M為AB中點，kab為AB斜率，koM為OM斜率，則kab*koM=-a2/b2。

3.坐標幾何的應用意義

在現(xiàn)今的高考及競賽考綱中，解析幾何都是重點考查內(nèi)容，且分值占總分的比例較高，而且其他部分多數(shù)可以用坐標幾何的方法及思想解決。在生活中，坐標幾何也為生產(chǎn)提供了便利。在機械零件設計圖中，僅用簡單標識的方法很難精準表示每個零件位置，而用坐標幾何的坐標表示則極為便利且精確。

坐標幾何的創(chuàng)立，在當時便體現(xiàn)出了巨大的價值，而在300多年之后，計算機得到大量使用時，解析想法發(fā)揮了重要作用，對于算法、幾何圖形在計算機中的表達和程序的編寫都奠定了基礎(chǔ)，成為計算機應用技術(shù)發(fā)展必不可缺的一部分。

三、坐標幾何在計算機中的表達

1.常見幾何圖形的表達方法

點、線、面、體是我們目前三維空間所有幾何圖形的基礎(chǔ)描述方法。在一般認知中，我們認為點沒有大小，只有位置，而線的形成則是由點移動得到的，面是由線移動得到的，體是由面移動得到的。

在三維直角坐標系中，若用x值描述橫軸數(shù)值，y值描述縱軸數(shù)值，z軸描述豎軸數(shù)值，用(x，y，z)數(shù)對來描述點的位置，用三個不共線的確定的點來確定一個平面，一般用Ax+By+Cz+D=0表示平面，通過待定系數(shù)的方法可以求得唯一的A、B、C、D，因此就得到一個確定平面方程，即所謂的三點確定一個平面。

在平面方程已知的情況下，便可以通過兩平面來描述直線，因為任何一條直線可以看成兩個面的交線，只要將兩個平面方程聯(lián)立即可，如聯(lián)立A1x+B1y+C1z+D1=0與A2x+B2y+C2z+D2=0，相應的其標準式可以寫為(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c，其中(a，b，c)為該直線的方向向量。從這里可以想到，立體結(jié)構(gòu)可以由系列面的不等式組構(gòu)成，這里的面包括曲面，典型的比如長方體，則可以由六個平面不等式組聯(lián)立得到。

2.計算機圖形的幾何變換方法

計算機的圖形顯示是依賴于幾何坐標實現(xiàn)的，只要是計算機圖形軟件，其內(nèi)部的機理本質(zhì)上就是空間坐標的運算，比如涉及計算機圖像的幾何變換，如常見的有空間平移、按特定位置旋轉(zhuǎn)、按比例要求縮放和仿射變換等。

圖像的幾何變換實質(zhì)是改變圖像像素空間位置，按照變化關(guān)系計算圖像在新空間的像素值。一般而言，圖像的幾何變換表達式如式(1)所示。

3.計算機圖形的幾何變換案例

在計算機圖形變化中，對圖像進行方向、尺寸和形狀等方面的變換本質(zhì)上是通過改變圖像的坐標描述來實現(xiàn)。現(xiàn)假設一個三角形三個頂點的坐標為{100，50}，{200，50}，{150，150}，則通過建立一個1000*1000的工作窗口，并定義該工作窗口左上角原始坐標位于(100，100)處。則在計算機圖形中通過軟件可以繪制該三角形，并通過簡單的程序可以進行一些特定的幾何變換，如第一步將三角形沿中心x軸和y軸方向縮小1/2，第二步將圖像沿著初始的位置中心旋轉(zhuǎn)90ο，第三步則將圖像沿著y軸平移200個單位。通過編寫相應的程序如下：

/*****開始：建立畫圖窗口，指定屏幕左上角坐標*****/

glutInitWindowSize(1000，1000)；

glutInitWindowPosition(100，100)；

/*****結(jié)束：建立畫圖窗口，指定屏幕左上角坐標*****/

/*************開始：按要求畫出三角形*************/

void draw_triangle(void)//繪制三角形

{

glBegin(GL_TRIANGLES)；//開始畫三角形

glVertex2f(50，50)；

glVertex2f(200，50)；

glVertex2f(150，50)；

glEnd()；

}

/*************結(jié)束：按要求畫出三角形*************/

/*************開始：功能實現(xiàn)*************/

glScalef (0.5， 0.5， 1.0)；//沿著其中心的x軸，y軸方向縮小%

glTranslatef(0.0，200.0，0.0)；//平移200個單位

glRotatef(90.0，0.0，0.0，1.0)；//旋轉(zhuǎn)90度

glColor3f(0.0，255.0，1.0)；

draw_triangle()；

/*************結(jié)束：功能實現(xiàn)*************/

即可得到相應的效果，如圖1所示?？梢?，在計算機圖形變換中主要是實現(xiàn)坐標的運算，也正是有坐標幾何的理論基礎(chǔ)，才有如今的計算機圖形發(fā)展，這給計算機的發(fā)展帶來了巨大的推動作用。

四、結(jié)論

從坐標幾何創(chuàng)立至今，它的應用范圍正在不斷擴大，人們的重視程度也在不斷增加?？梢哉f，坐標幾何是機械化與信息化發(fā)展的重要動力，而在計算機中的實現(xiàn)則是較主要的研究方向及應用方式，所以，坐標幾何在計算機中的應用已經(jīng)成為眾多計算機應用科學的關(guān)鍵。通過文章對坐標幾何的應用意義和在計算機中的實現(xiàn)方法的研究闡述，可以看到坐標幾何作為計算機相關(guān)學科發(fā)展的基礎(chǔ)，具有重要的理論價值和應用價值，需要得到初學者的重視。