☉江蘇省常熟市尚湖高級中學 馬怡平

很多同學在學習過程中，采用題海戰(zhàn)術，為的是抓住高考的脈絡重點，但是高考題型層出不窮，變幻多端，題海戰(zhàn)術只能暫時地提高學生的答題能力，而真正提高答題能力的關鍵是要理解數(shù)學公式的原理及思想方法.老師作為引路人，更要注意這一點，并在教學過程中注重讓學生主動思考，以激發(fā)他們的創(chuàng)造能力.

一、分析案例

課本中運用高斯加法來計算等差數(shù)列前n項的和.以一位教師的分析為例：

（1）求和：1+2+3+…+100=？大多數(shù)學生利用高斯加法直接寫出了答案，即1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=101×50=5050.

（2）若是上式再加101，即1+2+…+100+101能快速求和嗎？

有學生認為：

還有同學認為：

如此看來同學們已經(jīng)能很好地利用高斯加法了.

（3）若上式變?yōu)椋?+2+…+n（n∈N*），那么它的和為多少呢？

有學生說：高斯加法可以完美地解決問題（1），是因為求和個數(shù)是偶數(shù).以此觀之，上式可分為兩種情況：

①若n是偶數(shù)，則與高斯加法完美契合，首末相加為n+1，推算得

②若n是奇數(shù)，易得居中的數(shù)為，去掉中間數(shù)，剩下的共有n-1個數(shù)，首末相加為n+1，共計個n+1，推算得.這位學生分情況討論了這個問題，而這也是學生需要熟練掌握的整合與轉化的思想.

有學生認為：奇偶求法一樣.當n是奇數(shù)時，那我們可以構造偶數(shù)，求出，即可得.這位同學用的也是轉化思想，將陌生的問題轉變成熟悉的問題.

老師問同學們是否還有其他方法來解決上述問題.學生開始重新思考，但還是一籌莫展，多項求和分類法最為常見.老師開始引導學生思考，讓他們從頭開始，現(xiàn)有的方法是將其變成相同的數(shù)相加起來，那除了分類，還有其他方法可以做到嗎？可以不分類討論嗎？可以將算式重新編造嗎？這時有位學生想到了：我將算式改一下，變成n+n-1+…+2+1，即可得到：

這位老師的案例分析是讓學生自主發(fā)現(xiàn)倒序相加法，并自主推導公式，一切過程水到渠成，在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)新問題，教學過程合理且富有趣味性，激發(fā)了學生的求知欲和探索欲，學生得到的不單單是1+2+…的結果，還有求知過程中體會到的分析問題和解決問題的方法，這是大有裨益的.但是數(shù)學就是由一系列問題組成的，這位教師的問題過于細致，以致于筆者認為他的問題設計完全禁錮了學生的思維能力，學生一直按照老師的套路在走，整個過程過于自然，讓筆者對學生掌握這類方法的使用程度持懷疑的態(tài)度.

二、復習高斯加法

學生幾乎沒有接觸過這類無窮無盡的數(shù)相加的問題，那么我們該如何運用已經(jīng)學過的知識去解決這類問題呢？“最近發(fā)展區(qū)理論”認為，學生有兩種發(fā)展水平：一是學生原有的水平，是指學生可自行解決問題的水平；二是學生可能發(fā)展的水平，是指學生通過學習可提高的水平.兩者之間只存在最近發(fā)展區(qū)的差異.我們的教學內容應尊重學生的最近發(fā)展區(qū)，給他們提供有難度但可以自行解決的題目，讓其體驗到解決問題的樂趣，豐富其知識，從而晉升到下一個層次.

1.進一步認識高斯加法

對于數(shù)列求和，學生的基礎只有加減乘除，那么如何解決這個問題呢？高斯加法的本質其實是加法結合律：1+2+…+99+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50，這種方法是新課程理念所倡導的，根據(jù)已有的加法結合律，對數(shù)列進行求和，即把1+2+…+100變成101×50.這是學生在解題過程中對知識的利用與探討，這無疑可以使學生更上一個臺階.

2.對高斯加法思想的應用

學生經(jīng)過思考，肯定會有人想出方法，這種思考方式是一種引導，也是一種激勵，更是一種探索，大家所思考出來的方法，可以很清楚地知道這是解決1+2+…+100的求和思想方法，也是上述所說的最近發(fā)展區(qū)，那么對于1+2+…+100+101的求和，大家也肯定是手到擒來，如下方法也會自然產(chǎn)生：

評價：（1）已知1+2+…+100的方法來看1+2+…+100+101的問題，可分成兩部分，即1+2+…+100和101.

（2）提出51，其余數(shù)為100個，可分為兩部分，即1+2+…+50+52+53+…+101+51=50×102+51.

方法：（2）提取51使其變成偶數(shù)，我們也可以加102使其變成偶數(shù)，這也是一種方法.其實求1+2+…+n-1+n的和，就是將1+2+…+100推廣至一般情形，將1+2+…+100的計算方法進行挪用重組，但n的奇偶性是未知的，第一種情況，n為偶數(shù)，上式共有組，每組都為n+1.第二種情況，n是奇數(shù)，易得n+1是偶數(shù)，上式分為個n，和1+2+…+100+101類似，其他分組也是行得通的.上述問題的解決方法都是偶數(shù)個數(shù)的求和，萬變不離其宗.

3.如何形成倒序相加

上述的解決方法對于奇偶性的討論是必要的，若是偶數(shù)則較為容易，若是奇數(shù)則有點煩瑣.那么有沒有一種方法對于奇數(shù)和偶數(shù)都適用呢？對于這個問題學生其實很難去下手，因為偶數(shù)配對簡單，但對于奇數(shù)來說，無論如何也無法進行配對，必須提取或者添加，同學們就需要再次思考上述問題的使用方法能否更近一步，很長時間的討論使得大家發(fā)現(xiàn)如果在原式上再加一個1+2+…+（n-1）+n的話，就是2n個數(shù)的和，2n必定是偶數(shù)，這樣就可以分成n組，即n個（n+1）的和.

其實倒序相加法仍是變相的加法結合律，去探索這個問題的學生，其思考產(chǎn)生的效益對其是大有裨益的，而且思維的過程會比技巧來得更加重要.

4.從根本去探索

很多老師在教授等差數(shù)列求和的內容時千篇一律，按部就班，先介紹高斯加法，然后告訴同學用倒序相加來求解等差數(shù)列，其實這個過程鍛煉的只有計算能力，學生對于高斯加法和倒序相加法的理解仍舊很片面，而且其思維的創(chuàng)造性也無法得到有效的提高.如果有一題“計算1-2+3-4+…+（-1）2n-1·2n的和”，就會有同學懷疑倒序相加真的有用嗎？其實經(jīng)過分析不難發(fā)現(xiàn)，1-2+3-4+…+（-1）2n-1·2n的第一項與第二項相加為-1，第三項與第四項相加為-1，…，第2n-1項與第2n項相加為-1，共有n組，易得1-2+3-4+…+（-1）2n-1·2n=-n，其實每一個問題都有它的解決方法，其解決方法大多是類似題型的解決方法的延伸，就像等差數(shù)列求和，說到底都是算式的重組.以等差數(shù)列為例，an=a1+（n-1）d（d是等差數(shù)列{an}的公差），先將a1+a2+…+an進行重構，視為a1+a1+…+a1（n個a1的和）和［1+2+…+（n-1）］d的和.其實這樣做的目的能涉及1+2+…+（n-1）的已知答案，故容易得出

綜上所述，等差數(shù)列的求和就是算式的重組，利用舊知識來解決新問題，把復雜問題簡單化，這就需要同學們熟練掌握并運用基礎知識與公式，解題時要深入挖掘其本質內容，解不解的出其實無所謂，注重的就是思考的過程.思考的過程就是學生對知識重新理解的過程，因為思維方式及思維方法才是真正提高能力的關鍵.其次，對于公式也要重視，公式就是最好的例題，能夠正確理解公式的推導過程對解題來說是很有好處的.